求轨迹方程题型全归纳.docx

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1、求轨迹方程的六种常用方法1直接法根据条件及一些根本公式如两点间距离公式,点到直线的距离公式,直线的斜率公式等,直接列出动点满足的等量关系式,从而求得轨迹方程。 例1线段,直线相交于,且它们的斜率之积是,求点 的轨迹方程。解:以所在直线为轴,垂直平分线为轴建立坐标系,那么,设点的坐标为,那么直线的斜率,直线的斜率 由有 化简,整理得点的轨迹方程为练习:1平面内动点到点的距离与到直线的距离之比为2,那么点的轨迹方程是 。2设动直线垂直于轴,且与椭圆交于、两点,是上满足的点,求点的轨迹方程。3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A直线B椭圆C抛

2、物线D双曲线2定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形,再求其轨迹方程,这种方法叫做定义法,运用定义法,求其轨迹,一要熟练掌握常用轨迹的定义,如线段的垂直平分线,圆、椭圆、双曲线、抛物线等,二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。例2假设为的两顶点,与两边上的中线长之与是,那么的重心轨迹方程是_。解:设的重心为,那么由与两边上的中线长之与是可得,而点为定点,所以点的轨迹为以 为焦点的椭圆。所以由可得故的重心轨迹方程是练习:4方程表示的曲线是A椭圆 B双曲线 C线段 D抛物线3点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法,其根本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程,然而相减,利用平方差

3、公式可得,等关系式,由于弦的中点的坐标满足,且直线的斜率为,由此可求得弦中点的轨迹方程。例3椭圆中,过的弦恰被点平分,那么该弦所在直线方程为_。解:设过点的直线交椭圆于、,那么有可得而为线段的中点,故有所以,即所以所求直线方程为化简可得练习:5以为圆心的圆与椭圆交于、两点,求弦的中点的轨迹方程。6双曲线,过点能否作一条直线与双曲线交于两点,使 为线段的中点?4转移法转移法求曲线方程时一般有两个动点,一个是主动的,另一个是次动的。当题目中的条件同时具有以下特征时,一般可以用转移法求其轨迹方程:某个动点在方程的曲线上移动;另一个动点随的变化而变化;在变化过程中与满足一定的规律。例4 是以为焦点的双

4、曲线上的动点,求的重心 的轨迹方程。解:设 重心,点 ,因为那么有, 故代入 得所求轨迹方程例5抛物线的焦点为,过点作直线交抛物线、两点,再以、为邻边作平行四边形,试求动点的轨迹方程。解法一:转移法设,平行四边形的中心为,将,代入抛物线方程,得,设,那么为的中点.,消去得,由得,故动点的轨迹方程为。解法二:点差法设,平行四边形的中心为,设,那么有由得 而为的中点且直线过点,所以代入可得,化简可得由点在抛物线口内,可得将式代入可得故动点的轨迹方程为。练习:7,在平面上动点满足,点是点关于直线的对称点,求动点的轨迹方程。5参数法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个根本问题之一,求符合某种条件的动点的轨

5、迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,通过“坐标互化将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后,有时题目会就方程中的参数进展讨论;参数取值的变化使方程表示不同的曲线;参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同;参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。例6过点作直线交双曲线于、两点,。1求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线;2是否存在这样的直线,使矩形?假设存在,求出的方程;假设不存在,说明理由。解:当直线的斜率存在时,设的方程为,代入方程,得因为直线与双曲线有两个交点,所以,设,那么设,由 得 所以,代入可得,化简得即 当直线的斜率不存在时,易求得满足方程,故所求轨迹方程为

6、,其轨迹为双曲线。也可考虑用点差法求解曲线方程2平行四边为矩形的充要条件是即 当不存在时,、坐标分别为、,不满足式当存在时,化简得,此方程无实数解,故不存在直线使为矩形。练习:8设椭圆方程为,过点的直线交椭圆于点、,是坐标原点,点满足,点的坐标为,当绕点旋转时,求:(1)动点的轨迹方程; (2)的最小值与最大值。9设点与为抛物线上原点以外的两个动点,且,过作于,求点的轨迹方程。6交轨法假设动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程,也可以解方程组先求出交点的参数方程,再化为普通方程。例7是椭圆中垂直于长轴的动弦,、是椭圆长轴的两个端点,求直线与的交点的轨迹方程。解1:(利用点

7、的坐标作参数)令,那么而.设与的交点为因为共线,所以 因为共线,所以两式相乘得, 而即代入得,即交点的轨迹方程为解2: (利用角作参数)设,那么所以 , 两式相乘消去即可得所求的点的轨迹方程为 。练习:10两条直线与的交点的轨迹方程是_ _。总结归纳1要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件,也就是曲线上点的坐标的取值范围由曲线与方程的概念可知,在求曲线方程时一定要注意它的“完备性与“纯粹性,即轨迹假设是曲线的一局部,应对方程注明的取值范围,或同时注明的取值范围。2“轨迹与“轨迹方程既有区别又有联系,求“轨迹时首先要求出“轨迹方程,然后再说明方程的轨迹图形,最后“补漏与“去掉增多的点,假设轨迹有不同

8、的情况,应分别讨论,以保证它的完整性。练习参考答案12解:设点的坐标为,那么由方程,得由于直线与椭圆交于两点、,故即、两点的坐标分别为由题知即即所以点的轨迹方程为3D 【解析】在长方体中建立如下图的空间直角坐标系,易知直线与是异面垂直的两条直线,过直线与平行的平面是面,设在平面内动点满足到直线与的距离相等,作于,于,于,连结,易知平面,那么有,(其中是异面直线与间的距离),即有,因此动点的轨迹是双曲线,选D.4A5解 设,PMA那么,由, OB两式相减并同除以得 ,而, 又因为所以 化简得点的轨迹方程6先用点差法求出,但此时直线与双曲线并无交点,所以这样的直线不存在。中点弦问题,注意双曲线与椭

9、圆的不同之处,椭圆不须对判别式进展检验,而双曲线必须进展检验。7解:设,那么由即所以点的轨迹是以为圆心,以3为半径的圆。点是点关于直线的对称点。动点的轨迹是一个以为圆心,半径为3的圆,其中是点关于直线的对称点,即直线过的中点,且与垂直,于是有即故动点的轨迹方程为。8解:(1)解法一:直线过点,设其斜率为,那么的方程为 记、由题设可得点、的坐标、是方程组 的解 将代入并化简得,所以于是 设点的坐标为那么消去参数得 当不存在时, 、中点为坐标原点,也满足方程,所以点的轨迹方程为 解法二:设点的坐标为,因、在椭圆上,所以 得,所以 当时,有 并且 将代入并整理得 当时,点、的坐标为,这时点的坐标为也满足,所以点的轨迹方程为 (2)解:由点的轨迹方程知,即所以 故当,取得最小值,最小值为时,取得最大值, 最大值为9解法1 :(常规设参)设,那么由共线得 那么把代入上式得化简得的轨迹方程为)解法2: (变换方向) 设的方程为,那么的方程为由 得 , 由得所以直线的方程为 因为,所以直线的方程为 即得的轨迹方程: 解法3: (转换观点) 视点为定点,令,由可得直线的方程为, 与抛物线联立消去得,设,那么又因为,所以 故即所以点的轨迹方程为10第 14 页

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