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1、-求轨迹方程题型全归纳-第 11 页求轨迹方程的六种常用方法1直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。 例1已知线段，直线相交于，且它们的斜率之积是，求点 的轨迹方程。解：以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立坐标系，则，设点的坐标为，则直线的斜率，直线的斜率 由已知有 化简，整理得点的轨迹方程为练习：1平面内动点到点的距离与到直线的距离之比为2，则点的轨迹方程是 。2设动直线垂直于轴，且与椭圆交于、两点，是上满足的点，求点的轨迹方程。3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于
2、另一条直线的平面内的轨迹是（）A直线B椭圆C抛物线D双曲线2定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。例2若为的两顶点，和两边上的中线长之和是，则的重心轨迹方程是_。解：设的重心为，则由和两边上的中线长之和是可得，而点为定点，所以点的轨迹为以 为焦点的椭圆。所以由可得故的重心轨迹方程是练习：4方程表示的曲线是（）A椭圆 B双曲线 C线段 D抛物线3点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点
3、的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程。例3椭圆中,过的弦恰被点平分,则该弦所在直线方程为_。解：设过点的直线交椭圆于、，则有可得而为线段的中点，故有所以，即所以所求直线方程为化简可得练习：5已知以为圆心的圆与椭圆交于、两点，求弦的中点的轨迹方程。6已知双曲线，过点能否作一条直线与双曲线交于两点，使 为线段的中点？4转移法转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程：某个动点在已知方程的曲线上移动；另一个动点随的变化而变化
4、；在变化过程中和满足一定的规律。例4 已知是以为焦点的双曲线上的动点，求的重心 的轨迹方程。解：设 重心，点 ，因为则有， 故代入 得所求轨迹方程例5抛物线的焦点为,过点作直线交抛物线、两点,再以、为邻边作平行四边形，试求动点的轨迹方程。解法一：（转移法）设，平行四边形的中心为，将，代入抛物线方程,得，设，则为的中点.，消去得，由得，故动点的轨迹方程为。解法二：（点差法）设，平行四边形的中心为，设，则有由得 而为的中点且直线过点，所以代入可得，化简可得由点在抛物线口内，可得将式代入可得故动点的轨迹方程为。练习：7已知，在平面上动点满足，点是点关于直线的对称点，求动点的轨迹方程。5参数法求曲线的
5、轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。例6过点作直线交双曲线于、两点，已知。（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（2）是否存在这样的直线，使矩形？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。解：当直线的斜率存在时，设的方程为，代入方程，得因为直线与双曲线有两个交点，所以，设，则设，由 得 所以，代入
6、可得，化简得即 当直线的斜率不存在时，易求得满足方程，故所求轨迹方程为，其轨迹为双曲线。（也可考虑用点差法求解曲线方程）（2）平行四边为矩形的充要条件是即 当不存在时，、坐标分别为、，不满足式当存在时，化简得，此方程无实数解，故不存在直线使为矩形。练习：8设椭圆方程为,过点的直线交椭圆于点、,是坐标原点,点满足,点的坐标为,当绕点旋转时,求:(1)动点的轨迹方程； (2)的最小值与最大值。9设点和为抛物线上原点以外的两个动点，且，过作于，求点的轨迹方程。6交轨法若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。例7已知是椭圆中垂
7、直于长轴的动弦，、是椭圆长轴的两个端点，求直线和的交点的轨迹方程。解1:(利用点的坐标作参数)令，则而.设与的交点为因为共线，所以 因为共线，所以两式相乘得， 而即代入得，即交点的轨迹方程为解2: (利用角作参数)设，则所以 , 两式相乘消去即可得所求的点的轨迹方程为 。练习：10两条直线和的交点的轨迹方程是_ _。总结归纳1要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明的取值范围，或同时注明的取值范围。2“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时首先要
8、求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。练习参考答案12解：设点的坐标为，则由方程，得由于直线与椭圆交于两点、，故即、两点的坐标分别为由题知即即所以点的轨迹方程为3D 【解析】在长方体中建立如图所示的空间直角坐标系，易知直线与是异面垂直的两条直线，过直线与平行的平面是面，设在平面内动点满足到直线与的距离相等，作于，于，于，连结，易知平面，则有，(其中是异面直线与间的距离)，即有，因此动点的轨迹是双曲线，选D.4A5解 设，PMA则，由， OB两式相减并同除以得 ,而, 又因为所以 化简得点的轨迹方程6先用点差
9、法求出，但此时直线与双曲线并无交点，所以这样的直线不存在。中点弦问题，注意双曲线与椭圆的不同之处，椭圆不须对判别式进行检验，而双曲线必须进行检验。7解：设，则由即所以点的轨迹是以为圆心，以3为半径的圆。点是点关于直线的对称点。动点的轨迹是一个以为圆心，半径为3的圆，其中是点关于直线的对称点，即直线过的中点，且与垂直，于是有即故动点的轨迹方程为。8解：(1)解法一:直线过点，设其斜率为,则的方程为 记、由题设可得点、的坐标、是方程组 的解 将代入并化简得,所以于是 设点的坐标为则消去参数得 当不存在时, 、中点为坐标原点,也满足方程,所以点的轨迹方程为 解法二:设点的坐标为,因、在椭圆上,所以 得,所以 当时,有 并且 将代入并整理得 当时,点、的坐标为，这时点的坐标为也满足,所以点的轨迹方程为 (2)解:由点的轨迹方程知，即所以 故当,取得最小值,最小值为时,取得最大值, 最大值为9解法1 ：(常规设参)设，则由共线得 则把（）代入上式得化简得的轨迹方程为)解法2： (变换方向) 设的方程为，则的方程为由 得 ， 由得所以直线的方程为 因为，所以直线的方程为 即得的轨迹方程: 解法3： (转换观点) 视点为定点,令，由可得直线的方程为, 与抛物线联立消去得,设，则又因为，所以 故即所以点的轨迹方程为10