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1、 之气、常微分为程试题、本页仅作为文档封面，使用时可以删除This docu1nent is for reference only-rar21 year.Maih 常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分1.一阶微分方程的通解的阁像是2 维空间上的一族曲线2.二阶线性齐次微分方程的两个解Y,（功，Y2(X）为方程的基本解组充分必要条件是3.方程y2y y=O的基本解组是4.一个不可延展解的存在在区间一定是一一一区间5.方程生,i丁7的常数解是dx 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分6方程去入y满足栅问题解存在且唯一定理条件的区域是（)(A）上半平丽(B)xoy平面Cc）下半
2、平面(D）除y轴外的全平商7方程坐飞y+I(）奇解dx .(A）有一个(B）有两个Cc）无(O）有无数个8.f(y）连续可微是保证方程生f(y）解存在且唯一的（）条件cb:(A）必要(B）充分(C）充分必要(D）必要非充分9.二阶线性非齐次微分方程的所有解（.(A）构成一个2维线性空间(B）构成一个3维线性空间(C）不能构成一个线性空间(D）构成一个无限维线性空间10.方程丰3y；过点（0,0）有（B).ax(A）无数个解(B）只有一个解(C）只有两个解(D）只有三个解三、t才算题（每小题6分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分：11.艺yln y ay-I,y、y 与-JI（一）一ax
3、v x x dv,13.t=y砂J14.2xy址x+(x2-y2)dy=O15.y 秽2(y四、t才算题（每小题10分，本题共20分16.求方程y-5y 5泛的通解17.求下列方程组的通解dx I-=v-dtsin t dy-x dt 五、证明题（每小题10分，本题共20分18.设f(x）在（0，。）上连续，且funf(x)=0，求证：方程宵；，dy 忑Y=f(x)的一切解y(x），均有funy(x)=0.归，19.在方程y+p(x)yq(x)y=O中，p(x),q(x）在（，）上连续，求i正：若p(x）恒不为零，贝lj该方程的任一基本解组的朗斯基行列式W(x）是（-O,+O）上的严格单调函数
4、常微分方程模拟试题参考答案一、填空题（每小题3分，本题共15分1.2 2.线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零3.e,xe 4.开5.y=1 二、单项选择题每小题3分，本题共15分6.D 7.C 8.B 9.C 10.A 三、讨第题（每小题6分，本题共30分）11.解：y=I为常数解(1分）当y,t,O,y;cJ时，分离变量取不定积分，得j斗fdx+Cy UI y(3分）通积分为lny=Ce(6分注：y=I包含在常数解中，当c=O时就是常数解，因此常数解可以不专门歹1出。13.解：方程两端同乘以y-5，得y-5去y-令y-4=z，贝。4y-5 生，代入上式，得”dx dx I dz 一z=
5、x(3分4 dx 这是一阶线形微分方程，对应一阶线形齐次方程的通解为z=ce4-(4分利用常数变易法可得到一阶线形微分方程的通解为z=Ce-4.,-x+_!_ 4 因此原方程通解为(S分(6分）y-咐x+-1-MN 14.解：因为一一2x一，所以原方程是全微分方程&y x 取（xo,Yo)=(0,0），原方程的通积分为f均由f,；向1y=C讨算得(4分x2yJ=C叫15.解：原方程是克莱洛方程，通解为y=Cx+2C3(6分四、讨算题（每小题10分，本题共20分16.解：对应齐次方程的特征方程为2-5.i=0(1分特征根为(2分）1=0，也5,(2分齐次方程的通解为y=C1+C2e5(4分因为0
6、是特征根。所以，设非齐次方程的特解为y1(x)=x(Ax2+Bx+C)(6分）代入原方穗，比较系数确定出I I 2 A=-,B=-,C二L3 5 25(9分原方程的通解为I,I。2v=C.+C两e+-x+-x 一 x 3 5 25(10分）17.解：齐次方程的特征方程为I I凋41=0-I-.JI(1分）特征根为i(2分）求得特征向量为(3分因此齐次方1莹的通解为 x =，工r:i=C+C y-int cost 令非齐次方穰特解为(4分l=C,(t)I l+C2(t)I;,I口I：(S分C1(t),C2(t）满足丁乙:=解得smt 0(6分q(t)峦c2(1)=1s分积分，得C，（巾叫m牛C2
7、（巾f(9分）通解为I=c I I I I I 10分 x 1.r叫2fsintI osth1 Y J L-s叫Leos/L-sinth1 五、证明题（每小题10分，本题共20分18.证明：设y=y(x）是方程任一解，满足y(xo)=Yo，该解的表达式为取极限 j f(s)e叫idsy(x)斗二L.,.t 巳UC飞”r.t f(s)e(s-.o)ds fun y(x)汕n告二讪土L一x=-;:-时岳阳帽旷吻问c而叮(4分）。若J:f（旷叫dsoo=O+fun血红工0，若rf（旷削ds=oo 可，。Co,-o(10分）19.证明：设Y,（吟，为（x）是方程的基本解组，则对任意x e（町，叫，朗斯基行列式在（叭。）上有定义，且W(x);,=0.叉主女1维尔公式.Y(x)=W(x0）巳J.,p(s)d.Xo E（叫oo)(S分-I P付出W(x)=W(x0）巳p(x)由于V(x0);,=0,p(x);,=0，于是对一切xe(-oo,+oo），有w）0或 W（x)0 故W(x）是（，）上的严格单调函数(10分它们