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1、7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）当力学系统相对惯性系处于静平衡时,必要条件的证明：对理想约束第1页/共24页7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）若系统的主动力虚功之和为零,充分条件的证明：对于受有理想约束的系统 力学系统的约束是定常的,各质点的无限小实位移必与其中一组虚位移重合,故系统的主动力和约束力的实功之和也满足上式 根据质点系的动能定理 说明系统开始时静止,以后就会始终保持静止 第2页/共24页7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）几点说明：(1)普适性.(2)在变动中寻找平衡的条件.例如单摆(3)与牛顿力学不同,分析力学的方法不是将注意力放在区分内力和外力上,而是放在区分主动力
2、和约束力上.第3页/共24页7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）如图所示提升重物的装置,以把手端点的弧坐标s为广义坐标,设重物距地面高度为h,根据虚功原理 如果知道h和s的函数关系,通过上式,就可求出(4)虚功原理中所说的主动力所做虚功之和为零,是对任意的虚位移而言的,而不是针对特殊的虚位移.由于虚功原理的方程中不出现约束力,因此不能由虚功原理求出约束力,但是,通过释放约束或用不定乘子法,可以求出约束力 第4页/共24页7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）二、广义平衡方程 据虚功原理,有为了得到广义平衡方程,需要将虚功原理化为以广义坐标表述的形式.展开后写成 在完整系中,第5页/共24页7
3、-3 虚功原理（微分形式的变分原理）推出,广义平衡方程 虚功原理又可叙述为:对于受完整的、定常的、理想约束的力学系统,保持静平衡的必要充分条件是所有的广义力都为零.对于主动力均为有势力的有势系,有所以,广义平衡方程成为 代入虚功原理中,有第6页/共24页7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）三、虚功原理的应用 例题3 如图所示,匀质杆OA,质量为m1,长为l1,能在竖直平面内绕固定的光滑铰链 O转动,此杆的 A端用光滑铰链与另一根质量为m2,长为l2的匀质杆 AB相连.在 B端有一水平作用力 .求处于静平衡时,两杆与铅垂线的夹角1和 2.Al1Bl2Oxy1、判断约束类型是否完整约束?是否理想
4、约束?2、判断自由度第7页/共24页7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）质量为m的小环P被限制在一个半径为R的光滑大圆环上,大圆环绕过大环中心的铅垂轴以的角速度均匀转动,以小环为系统,试确定其自由度.质点在球坐标系中用r,描述非定常约束3、分析受力(主动力)ABOxy第8页/共24页7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）4、由虚功原理5、建立坐标系(必须是静止坐标系)6、转化成广义坐标第9页/共24页7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）广义力广义力广义平衡方程 第10页/共24页7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）可求出系统处于静平衡时1，2所满足的方程:所以 第11页/共24页7-3
5、虚功原理（微分形式的变分原理）法二 先求出广义力,再写出平衡方程s=2,所以有2个广义力 第12页/共24页7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）虚功原理主要用于求解：(1)系统的静平衡位置；(2)维持系统平衡时作用于系统上的主动力之间的关系.第13页/共24页7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）应用虚功原理解题的主要步骤是：(1)明确系统的约束类型,看是否满足虚功原理所要求的条件；(2)正确判断系统的自由度,选择合适的广义坐标；(3)分析并图示系统受到的主动力；(4)通过坐标变换方程,将虚功原理化成 的形式,进而得出广义平衡方程 对有势系,求出系统的势能V 后，可通过 得广义平衡方程;(5
6、)求解广义平衡方程.第14页/共24页7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）四、利用虚功原理求约束力 1、利用释放约束的方法求约束力 例题4 试求例题3中O处的约束力.代入虚功原理,得可解出约束力:第15页/共24页7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）2、不定乘子法.(拉格朗日乘数法)先设系统由1个质点组成,受1个完整约束 用3个直角坐标作为描述系统位置的变量.于是当系统平衡时,应满足虚功原理 乘待定常数(不定乘子)，与前式相加,得 第16页/共24页7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）称为不定乘子,又称拉格朗日乘子.这种方法称为不定乘子法.不定乘子是一个与约束力有关的量.第17页/共24
7、页7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）将约束都释放,并将约束力视为主动力,虚功原理成为即 可知设想质点被约束在一个光滑曲面上,其约束力为 即 说明约束力沿曲面的法线方向，第18页/共24页7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）一般性讨论设一力学系统由n个质点组成,受到 k个完整约束的限制 则3n个坐标中有 k个是不独立的.系统平衡时,应满足虚功原理 它们满足k个由完整约束给出的方程:第19页/共24页7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）与k个约束方程联立求解,k个与平衡位置坐标便可同时求出.称为不定乘子,又称拉格朗日乘子.这种方法称为不定乘子法.将k个完整约束都释放,并将约束力都视为主动力
8、,虚功原理成为 第20页/共24页7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）3n个坐标变分变成完全独立的了,所以 与比较不定乘子与约束力有密切关系.第21页/共24页7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）例题 5 一质量为m的质点P被限制在光滑球面上运动.已知球面的半径为a,求质点的平衡位置和约束力.解 系统:质点建立原点在球心上的直角坐标系 Oxyz,质点的约束方程为s=2,但解题时仍以质点的3个坐标x,y,z作为确定质点位置的变量.它们的变分不独立,满足以下关系:质点所受的主动力是重力 根据虚功原理,即 第22页/共24页7-3 虚功原理（微分形式的变分原理）不定乘子的待定性可使x,y,z相互独立(系数均为0),于是,可得到质点平衡位置的两组坐标:第23页/共24页谢谢您的观看！第24页/共24页