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1、第一章第一章 导数及其应用导数及其应用1.5.1 1.5.1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积1.1.任何一个平面图形都有面积，其中矩任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算公式进行计算.2.2.如果函数如果函数y yf(xf(x)在某个区间在某个区间I I上的图上的图象是一条连续不断的曲线，则称函数象是一条连续不断的曲线，则称函数f(xf(x)为区间为区间I I上的连续函数上的连续函数.3 3.如图所示的平面图形，是由直线如图所示的平面图形，是由直线 x x
2、a a，x xb(abb(ab)，y y0 0和曲线和曲线y yf(xf(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？计算这个曲边梯形的面积呢？x xy ya aby yf(xf(x)O三角形面积的算法三角形面积的算法 设设ABCABC的底边的底边ABABa a，ABAB边上的高边上的高CDCDh h，将，将CDCD分成分成n n等分，过每个分点按如图所等分，过每个分点按如图所示作示作n n1 1个矩形，则从下到上各矩形的个矩形，则从下到上各矩形的长分别为多少？宽为多少？长分别为多少？宽为多少？A AB BC CD D第第i i个矩形的长为个矩形的
3、长为 ，每个矩形的宽为每个矩形的宽为 .这这n n1 1个矩形的面积之和个矩形的面积之和S Sn n1 1等于多少等于多少？A AB BC CD D随着随着n n的增大，的增大，S Sn n1 1与与ABCABC的面积愈接的面积愈接近，当近，当n n趋向于无穷大时，趋向于无穷大时，S Sn n1 1的极限为的极限为多少？由此可得什么结论？多少？由此可得什么结论？结论：三角形的面积等于各矩形面积之结论：三角形的面积等于各矩形面积之和的极限和的极限.A AB BC CD D曲边梯形面积的算法曲边梯形面积的算法 由抛物线由抛物线y yx x2 2与直线与直线x x1 1，y y0 0所所围成的平面图
4、形是什么？它与我们熟悉围成的平面图形是什么？它与我们熟悉的平面多边形的主要区别是什么？的平面多边形的主要区别是什么？x xy y1 1y yx x2 2O O 直线直线x x0 0，x x1 1，y y0 0和曲线和曲线y yx x2 2所围成的曲所围成的曲边梯形边梯形.多边形的每条边多边形的每条边都是直线段，上图中有都是直线段，上图中有一边是曲线段一边是曲线段.设想用极限逼近思想求上面图形的面积，设想用极限逼近思想求上面图形的面积，在该曲边梯形内作若干个小矩形在该曲边梯形内作若干个小矩形.具体操作：具体操作：将将区区间间00，11分分成成n n等等分分，按按如如图图所所示示作作n n1 1个
5、矩形个矩形.x xy yO Oy yx x2 21 1上述上述n n1 1个矩形，求出从左到右各矩形个矩形，求出从左到右各矩形的高分别为多少，宽为多少的高分别为多少，宽为多少.如下：如下：x xy yO Oy yx x2 21 1 第第i i个矩形的高为个矩形的高为 ，每个矩形的宽为每个矩形的宽为 .利用公式利用公式 计算，这计算，这n n1 1个小矩形的面积之和个小矩形的面积之和S Sn n1 1.x xy yO Oy yx x2 21 1利用各小矩形的面积之和求曲边梯形的利用各小矩形的面积之和求曲边梯形的面积面积S S，所得的结果是：，所得的结果是：x xy yO Oy yx x2 21
6、1上述用极限逼近思想求曲边梯形面积的上述用极限逼近思想求曲边梯形面积的过程的几个基本步骤：过程的几个基本步骤：分割分割近似代替近似代替求和求和取极限取极限.若按如图所示作小矩形，那么这些小矩若按如图所示作小矩形，那么这些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯形的面形的面积之和的极限等于曲边梯形的面积吗？积吗？y yx x2 2x xy yO O1 1若分别以区间若分别以区间内任意一点对应的函数值为高作矩形，内任意一点对应的函数值为高作矩形，那么这些小矩形的面积之和的极限等于那么这些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯形的面积吗？曲边梯形的面积吗？y yx x2 2x xy yO O1 1相等相等理论迁移
7、理论迁移 例例 求直线求直线x x0 0，x x3 3，y y0 0和曲线和曲线y yx x2 22x2x3 3所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积.x xy yO O3 33 3小结小结 2.2.求曲边梯形的面积的基本思路是：求曲边梯形的面积的基本思路是：把曲边梯形分割成把曲边梯形分割成n n个小曲边梯形个小曲边梯形用小用小矩形近似替代小曲边梯形矩形近似替代小曲边梯形求各小矩形求各小矩形的面积之和的面积之和求各小矩形面积之和的极求各小矩形面积之和的极限限.1.1.用极限逼近原理求曲边梯形的面积，用极限逼近原理求曲边梯形的面积，是一种是一种“以直代曲以直代曲”的思想，它体现了的思想，它体现了对立统一，量变与质变的辨证关系对立统一，量变与质变的辨证关系.3.3.上述求曲边梯形面积的方法有一上述求曲边梯形面积的方法有一定的局限性，如果用一般方法不能求出定的局限性，如果用一般方法不能求出各小矩形的面积之和，则得不到曲边梯各小矩形的面积之和，则得不到曲边梯形的面积形的面积.