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1、一、三角级数正交函数系 在科学实验与工程技术的某些现象中,常会碰到一 种周期运动.最简单的周期运动,可用正弦函数 来描述.由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动,其中A为振幅.为初相角,为角频率,于是简谐 振动y 的周期是 较为复杂的周期运动,则 常常是几个简谐振动 第1页/共38页由于简谐振动 的周期为所以函数(2)周期为T.对无穷多个简谐振动进行叠 加就得到函数项级数 的叠加：若级数(3)收敛,则它所描述的是更为一般的周期运 第2页/共38页动现象.对于级数(3),只须讨论(如果可 用代换x)的情形.由于 所以第3页/共38页它是由三角函数列(也称为三角函数系)所产生的一般形式的三角级数.
2、容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一 个以 为周期的函数.关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:则级数()可写成 第4页/共38页定理 若级数收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.证 对任何实数x,由于根据优级数判别法,就能得到本定理的结论.为进一步研究三角级数(4)的收敛性,先讨论三角函 数系(5)的特性.首先容易看出三角级数系(5)中所 第5页/共38页其次,在三角函数系(5)中,任何两个不相同的函数 有函数具有共同的周期 的乘积在 上的积分等于零,即而(5)中任何一个函数的平方在 上的积分都第6页/共38页不等于零,即 若两个函数与在上可积,且 则称与在上是正交的
3、,或在上具有正 交性.由此三角函数系(4)在上具有正交性.或者说(5)是正交函数系.第7页/共38页现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4)的和函数 f 与级数(4)的系数之间的关系.定理 若在整个数轴上 且等式右边级数一致收敛,则有如下关系式:二、以 为周期的函数的傅里叶级数 第8页/共38页证 由定理条件,函数 f 在上连续且可积.对(9)式逐项积分得 由关系式(6)知,上式右边括号内的积分都等于零.所以 第9页/共38页即又以乘(9)式两边(k为正整数),得从第十三章1 习题4知道,由级数(9)一致收敛,可 得级数(11)也一致收敛.于是对级数(11)逐项求积,有 第10页/共
4、38页由三角函数的正交性,右边除了以为系数的那一 项积分 外,其他各项积分都等于0,于是得出:第11页/共38页即同理,(9)式两边乘以sin kx,并逐项积分,可得 第12页/共38页由此可知,若f 是以 为周期且在 上可积的 函数,则可按公式(10)计算出 和,它们称为函数 f (关于三角函数系(5)的傅里叶系数,以 f 的傅里 叶系数为系数的三角级数(9)称为 f (关于三角函数 系)的傅里叶级数,记作 这里记号“”表示上式右边是左边函数的傅里叶级 数,由定理知道:若(9)式右边的三角级数在整 第13页/共38页个数轴上一致收敛于和函数 f,则此三角级数就是 f 的傅里叶级数,即此时(1
5、2)式中的记号“”可换为 函数 f 出发,按公式(10)求出其傅里叶系数并得到 傅里叶级数(12),这时还需讨论此级数是否收敛.如果收敛,是否收敛于 f 本身.这就是下一段所要 叙述的内容.等号.然而,若从以 为周期且在上可积的 第14页/共38页函数 f 在 上按段光滑,则在每一点f 的傅里叶级数(12)收敛于f 在点x 的左、右极限的 算术平均值,即 其中为f 的傅里叶系数.定理的证明将在3中进行.定理15.3(傅里叶级数收敛定理)若以 为周期的 三、收敛定理第15页/共38页注 尽管傅里叶级数的收敛性质不如幂级数,但它对 函数的要求却比幂级数要低得多,所以应用更广.而且即将看到函数周期性
6、的要求也可以去掉.概念解释1.若f 的导函数在 上连续,则称f在a,b上光滑.2.如果定义在 上函数f 至多有有限个第一类间 断点,其导函数在a,b上除了至多有限个点外都存 在且连续,并且在这有限个点上导函数 的左、右 极限存在,则称 f 在 上按段光滑.第16页/共38页在a,b上按段光滑的函数 f,有如下重要性质:(i)f 在 上可积.(ii)在 上每一点都存在 ,如果在不连续 点补充定义 ,或 ,则 还有 第17页/共38页(iii)在补充定义在上那些至多有限个不存在 导数的点上的值后(仍记为 ),在a,b上可积.从几何图形上讲,在 区间a,b上按段光滑 光滑函数,是由有限个 多有有限个
7、第一类间 断点(图15-1).光滑弧段所组成,它至 第18页/共38页收敛定理指出,f 的傅里叶级数在点 x 处收敛于 在该点的左、右极限的算术平均值而当 f 在点 x 连续时,则有即此时f的傅里叶级数收敛于 .这样便有 上按段光滑,则 f 的傅里叶级数在 上收敛 于 f.推论 若 f 是以 为周期的连续函数,且在 第19页/共38页所以系数公式(10)中的积分区间 可以改为长 其中 c 为任何实数.注2 在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时,经常 只给出函数在 (或 )上的解析式,但读 注1 根据收敛定理的假设,f 是以 为周期的函数,度为 的任何区间,而不影响 ,的值:第20页/共38页者应
8、理解为它是定义在整个数轴上以 为周期的函 数,即在 以外的部分按函数在 上的对 应关系做周期延拓.也就是说函数本身不一定是定 义在整个数轴上的周期函数,但我们认为它是周期 函数.如 f 为 上的解析表达式,那么周期延拓 后的函数为 第21页/共38页如图15-2所示.因此当笼统地说函数的傅里叶级数 时就是指函数 的傅里叶级数.例 1 设 求 f 傅里叶级数展 开式.第22页/共38页解 函数 f 及其周期延拓后的图像如图15-3 所示,显然 f 是按段光滑的.故由傅里叶级数收敛定理,它可以展开成傅里叶级 数.由于 第23页/共38页当n1时,第24页/共38页所以在开区间 上在时,上式右边收敛
9、于 第25页/共38页于是,在 上 f 的傅里叶级数的图象如图15-4 所示(注意它与图15-3 的差别).例2 将下列函数展开成傅里叶级数:第26页/共38页解 f 及其周期延拓的 图形如图15-5 所示.显然 f 是按段光滑的,因此可以展开成傅里 叶级数.第27页/共38页在()中令,在 上计算傅里叶系数如下:第28页/共38页第29页/共38页所以当 时,第30页/共38页第31页/共38页当时,由于所以因此当或 时,由于第32页/共38页由(14)或(15)都可推得注 上式提供了一个计算 的方法.还可以找出其他 展开式来计算 ,关键是收敛速度要快.例3 在电子技术中经常用到矩形波(如图15-6所示),反映的是一种复杂的周期运动,用傅里叶级数展开 后,就可以将复杂的矩形波看成一系列不同频率的 第33页/共38页简谐振动的叠加,在电工学中称为谐波分析.设是周期为的矩形波函数(图15-6),在上的表达式为求该矩形波函数的傅里叶展开式.解 由于是奇函数,积分区间是对称区间,所以 第34页/共38页于是当时,第35页/共38页当时,级数收敛到 0(实际上级数每一项都为 0).第36页/共38页复习思考题 设函数 f 在上可积,并且,这样 的函数能否求出其傅里叶级数?第37页/共38页感谢您的观看！第38页/共38页