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1、1 傅里叶级数,一个函数能表示成幂级数给研究函数带来便利, 但对函数的要求很高(无限次可导). 如果函数没有这么好的性质, 能否也可以用一些简单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数呢? 这就是将要讨论的傅里叶级数. 傅里叶级数在数学、物理学和工程技术中都有着非常广泛的应用, 是又一类重要的级数.,返回,一、三角级数正交函数系,三、收敛定理,二、以 为周期的函数的傅里叶级数,一、三角级数正交函数系,在科学实验与工程技术的某些现象中, 常会碰到一,种周期运动. 最简单的周期运动, 可用正弦函数,来描述. 由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动,常常是几个简谐振动,所以函数(2)周期为T. 对无穷多
2、个简谐振动进行叠,加就得到函数项级数,的叠加：,若级数(3)收敛, 则它所描述的是更为一般的周期运,所以,它是由三角函数列(也称为三角函数系),所产生的一般形式的三角级数.,容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一,个以 为周期的函数.,关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:,则级数( )可写成,定理 15.1 若级数,收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.,证 对任何实数x,由于,根据优级数判别法, 就能得到本定理的结论.,为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函,数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所,其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个
3、不相同的函数,有函数具有共同的周期,的乘积在 上的积分等于零,即,不等于零, 即,或者说(5)是正交函数系.,现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4),定理15.2 若在整个数轴上,且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式:,二、以 为周期的函数的傅里叶级数,(9)式逐项积分得,由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零.,所以,即,从第十三章1 习题4知道, 由级数(9)一致收敛,可,得级数(11)也一致收敛. 于是对级数(11)逐项求积,有,项积分,外,其他各项积分都等于0,于是得出:,即,同理,(9)式两边乘以sin kx,并逐项积分, 可得,f (关于三角函数系(5)
4、) 的傅里叶系数,以 f 的傅里,叶系数为系数的三角级数(9)称为 f (关于三角函数,系) 的傅里叶级数, 记作,这里记号“”表示上式右边是左边函数的傅里叶级,数, 由定理15.2知道: 若(9)式右边的三角级数在整,个数轴上一致收敛于和函数 f , 则此三角级数就是,f 的傅里叶级数,即此时(12)式中的记号“”可换为,函数 f 出发, 按公式(10)求出其傅里叶系数并得到,傅里叶级数(12) , 这时还需讨论此级数是否收敛.,如果收敛, 是否收敛于 f 本身. 这就是下一段所要,叙述的内容.,f 的傅里叶级数(12)收敛于f 在点x 的左、右极限的,算术平均值, 即,定理的证明将在3中进
5、行.,定理15.3(傅里叶级数收敛定理) 若以 为周期的,三、收敛定理,注 尽管傅里叶级数的收敛性质不如幂级数,但它对,函数的要求却比幂级数要低得多, 所以应用更广.,而且即将看到函数周期性的要求也可以去掉.,概念解释,断点,其导函数在a, b上除了至多有限个点外都存,在a, b上按段光滑的函数 f ,有如下重要性质:,还有,从几何图形上讲, 在,区间a, b上按段光滑,光滑函数,是由有限个,多有有限个第一类间,断点 (图15-1).,光滑弧段所组成,它至,收敛定理指出, f 的傅里叶级数在点 x 处收敛于 在,该点的左、右极限的算术平均值,而当 f 在点 x 连续时,则有,于 f .,推论
6、若 f 是以 为周期的连续函数, 且在,其中 c 为任何实数.,注2 在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时, 经常,注1 根据收敛定理的假设,f 是以 为周期的函数,应关系做周期延拓. 也就是说函数本身不一定是定,义在整个数轴上的周期函数, 但我们认为它是周期,后的函数为,如图15-2所示. 因此当笼统地说函数的傅里叶级数,开式.,解 函数 f 及其周期延拓后的图像如图15-3 所示,显然 f 是按段光滑的.,故由傅里叶级数收敛定理, 它可以展开成傅里叶级,数. 由于,当n1时,所示( 注意它与图15-3 的差别 ).,例2 将下列函数展开成傅里叶级数:,解 f 及其周期延拓的,图形如图15-5 所示.,显然 f 是按段光滑的,因此可以展开成傅里,叶级数.,所以,因此,由(14)或(15)都可推得,例3 在电子技术中经常用到矩形波(如图15-6所示),反映的是一种复杂的周期运动, 用傅里叶级数展开,后, 就可以将复杂的矩形波看成一系列不同频率的,简谐振动的叠加, 在电工学中称为谐波分析.,求该矩形波函数的傅里叶展开式., 所以,级数收敛到 0( 实际上级数每一项都为 0 ).,复习思考题,的函数能否求出其傅里叶级数?,