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1、 第十二章第十二章 全等三角形全等三角形人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）下列各组图形的形状与大小有什么特点？思考思考:他们能完全重合吗他们能完全重合吗?每组的两个图形有什么特点?完全重合完全重合形状、大小相同的图形放在一形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做能够完全重合的两个图形叫做全等形全等形能够完全重合的两个三角形叫能够完全重合的两个三角形叫做做全等三角形全等三角形下列两三角形是怎样由一下列两三角形是怎样由一个三角形得到另一个三角个三角形得到另一个三角形？它们有什么特点？形？它们有什么
2、特点？BACNPMACBDE下列两三角形是怎样由一下列两三角形是怎样由一个三角形得到另一个三角个三角形得到另一个三角形？它们有什么特点？形？它们有什么特点？ABCDCBADE下列两三角形是怎样由一下列两三角形是怎样由一个三角形得到另一个三角个三角形得到另一个三角形？它们有什么特点？形？它们有什么特点？BDC 一个三角形经过平移、旋转、翻折一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三角形全等。后所得到的三角形与原三角形全等。ABC EDF“全等”用符号“”表示图中的图中的ABC和和DEF全等，全等，记作记作:ABC DEF读作读作:ABC全等于全等于DEF 你能否直接从你能否直接从记作记
3、作ABC DEF中判断出所中判断出所有的对应顶点、对应边和有的对应顶点、对应边和对应角？对应角？SOTDCNMOAB两个全等三角形的位置变化了，对应边、两个全等三角形的位置变化了，对应边、对应角的大小有没有变化？由此你能得到对应角的大小有没有变化？由此你能得到什么结论？什么结论？寻找各图中两个全等三角形的对应元素。EADCBF全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等.如图：如图：ABC DFE AB=DF,BC=FE,AC=DEABC DFE A=D,B=F,C=EDEFABCABCDEFACBDEFAB=DF,CB=EF,AC=DE.A=D
4、,CBA=F,C=DEF.先写出全等式，再指出先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角它们的对应边和对应角ABCDABCABDAB=AB,BC=BD,AC=AD.BAC=BAD,ABC=ABD C=D.规律一：规律一：有公共边的，公共边是对应边有公共边的，公共边是对应边 先写出全等式，再指先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角出它们的对应边和对应角ACDBAOCBODAO=BO,AC=BD,OC=OD.A=B,C=D,AOC=BOD.规律二：规律二：有对顶角的，对顶角是对应角有对顶角的，对顶角是对应角o 先写出全等式，再指出它们的先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角对应边和对应角ABCD
5、EABCADEAB=AD,AC=AE,BC=DEA=A,B=D,ACB=AED.规律三：规律三：有公共角的，公共角是对应角有公共角的，公共角是对应角先写出全等式，再指出它先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角们的对应边和对应角 先写出全等式，再指出先写出全等式，再指出它们的对应边和对应角它们的对应边和对应角ABCFDEAB=FD,AC=FE,BC=DEA=F,B=D,ACB=FED.规律五：规律五：一对最大的角是对应角一对最大的角是对应角 一对最小的角是对应角一对最小的角是对应角ABCFDE规律四：规律四：一对最长的边是对应边一对最长的边是对应边 一对最短的边是对应边一对最短的边是对应边3.
6、有公共角的，公共角一定是对应角。有公共角的，公共角一定是对应角。4.对应角所对的边是对应边，对应边对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角所对的角是对应角5.在两个全等三角形中最长边对最长边，在两个全等三角形中最长边对最长边，最短边对最短边，最大角对最大角，最最短边对最短边，最大角对最大角，最小角对最小角。小角对最小角。1.有公共边的，公共边一定是对应边。有公共边的，公共边一定是对应边。2.有对顶角的，对顶角一定是对应角。有对顶角的，对顶角一定是对应角。找出下列全等三角形的对应边、对应角ABCDABDCBD找出下列全等三角形的对应边、对应角ABCDOAODCOD找出下列全等三角形的对应边
7、、对应角ABDCEABCADE找出下列全等三角形的对应边、对应角ADECBFBFCDAE找出下列全等三角形的对应边、对应角ABMNCABNACMABMACN找出下列全等三角形的对应边、对应角ABCDAOBDOCABCDCBO如图,ABD EBCDABCE2、如果AB=3cm,BC=5cm,求BE、BD的长.BE=3cm,BD=5cm解：ABD EBCAB=EB，BC=BDAB=3cm,BC=5cm1、请找出对应边和对应角。AB 与与 EB、BC BD、AD EC，ABEC、DC、ABDEBC如图,EFGNMH2、如果EF=2.1cm,EH=1.1cm,HN=3.3cm,求NM、HG的长.HG=
8、EG-HG=3.3-1.1=2.2解：EFG NMHNM=EF=2.1,EG=HN=3.31、请找出对应边和对应角。NMFGEHABDACE，若，若ADB=100，B=30，说出，说出ACE中各角的大小？中各角的大小？ABCDE解解：ABDACE，AEC=ADB=1000，C=B=300，又又A+AEC+C=180A=1800-AEC-C =1800-1000-300=500如图如图,已知已知 AOC BOD求证：求证：ACBD互相重合的角叫做互相重合的边叫做 其中：互相重合的顶点叫做2.叫全等三角形。1.能够重合的两个图形叫做 。全等形全等形4.全等三角形的 和 相等对应边对应边对应角对应角
9、对应顶点对应顶点课课 堂堂 小小 结结 能够完全重合的两个三角形3.“全等”用符号“”来表示，读作“”对应边对应边对应角对应角5.书写全等式时要求把对应字母放在对应的位置上全等于全等于ABC 1.什么叫全等三角形？什么叫全等三角形？能够完全重合的两个三角形叫能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形全等三角形。2.全等三角形有什么全等三角形有什么性质？性质？全等三角形的对应边相等，对应角相等全等三角形的对应边相等，对应角相等 .已知已知 ，试找出其中相等的边与角，试找出其中相等的边与角 ABC即：三条边对应相等，三个角对应相等的两个三角形全等。六个条件，可得到什么结论？六个条件，可得到什么结论？与
10、与 满足上述六个条件中的满足上述六个条件中的一部一部分分是否能保证是否能保证 与与 全等呢？全等呢？ABC一个条件可以吗？一个条件可以吗？两个条件可以吗？两个条件可以吗？一个条件可以吗？一个条件可以吗？1.有有一条边一条边相等的两个三角形相等的两个三角形不一定全等不一定全等探究活动探究活动2.有有一个角一个角相等的两个三角形相等的两个三角形不一定全等不一定全等结论：结论：有一个条件相等不能保证两个三角形全等有一个条件相等不能保证两个三角形全等.6cm300有两个条件对应相等不能保证三角形全等有两个条件对应相等不能保证三角形全等.60o300不一定全等不一定全等1.有有两个角两个角对应相等的两个
11、三角形对应相等的两个三角形两个条件可以吗？两个条件可以吗？3.有有一个角和一条边一个角和一条边对应相等的两个三角形对应相等的两个三角形2.有有两条边两条边对应相等的两个三角形对应相等的两个三角形4cm6cm不一定全等不一定全等30060o4cm6cm不一定全等30o 6cm结论：结论：探究活动探究活动三个条件呢？三个条件呢？探究活动探究活动 1.三个角；三个角；2.三条边；三条边；3.两边一角；两边一角；4.两角一边。两角一边。如如果果给给出出三三个个条条件件画画三三角角形形，你你能能说说出出有有哪哪几几种种可可能能的的情情况况？结论结论:三个内角对应相等的三角形三个内角对应相等的三角形 不一
12、定全等不一定全等。探究活动探究活动 1.有有三个角三个角对应相等的两个三角形对应相等的两个三角形60o30030060o9090oo9090oo三个条件呢？三个条件呢？若已知一个三角形的三条边，你能画出若已知一个三角形的三条边，你能画出这个三角形吗？这个三角形吗？画一个三角形，使它的三边长分画一个三角形，使它的三边长分别为别为4cm,5cm,7cm.三边对应相等的两个三角形会全等吗？三边对应相等的两个三角形会全等吗？画法：画法：1.画线段画线段AB=4cm；2.分别以分别以A、B为圆心，为圆心，5cm、7cm 长为半径作圆弧，交于点长为半径作圆弧，交于点C；3.连结连结AB、AC；ABC就是所
13、求的三角形就是所求的三角形.探究活动探究活动 三边相等的两个三角形会全等吗？三边相等的两个三角形会全等吗？画法：画法：探究活动探究活动 你能得出什你能得出什么结论？么结论？三边对应相等的两个三角形全等，简写三边对应相等的两个三角形全等，简写为为“边边边边边边”或或“SSS”。用上面的结论可以判定两个三角形全等用上面的结论可以判定两个三角形全等判断两个三角形全等的推理过程，叫做判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明证明三角形全等三角形全等ABCABC三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等.(简写成简写成“边边边边边边”或或“SSS”)如何用符号语言来表达呢如何用符号语言来表达呢
14、?结结论论 A=_ B=_ C=_ ABC ADC（SSS）例例1 已知：如图，已知：如图，AB=AD，BC=CD，求证求证：ABC ADCABCDACAC ()AB=AD ()BC=CD ()证明：证明：在在ABC和和ADC中中=已知已知已知已知 公共边公共边判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。分析：分析：要证明要证明 ABC ADC，首先看这两个三角首先看这两个三角形的形的三条边三条边是否对应相等。是否对应相等。结论结论：从这题的证明中可以看出，证明是由已从这题的证明中可以看出，证明是由已知出发，经过一步步的推理，最后推出结论
15、正知出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程。确的过程。准备条件：准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；证全等时要用的间接条件要先证好；三角形全等书写三步骤：三角形全等书写三步骤：写出在哪两个三角形中写出在哪两个三角形中摆出三个条件用大括号括起来摆出三个条件用大括号括起来写出全等结论写出全等结论证明的书写步骤：证明的书写步骤：例例2 如图，如图，ABCABC是一个钢架，是一个钢架，AB=ACAB=AC，AD AD是连接点是连接点A A与与BCBC中点中点D D的支架的支架.求证：求证：ABDACD.ABDACD.ABCDABCD.CDBD BCD 的中点，是证明：QACDABD 中，
16、和在DDADADCDBDACAB （公共边）（已证）(已知).SSSACD ABD ）（DD(1)(2)BAD=CAD.(2)BAD=CAD.(2)BAD=CAD.(2)BAD=CAD.（2）由（）由（1）得）得ABDACD，BAD=BAD=CAD.CAD.（全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等）工人师傅常用角尺平分一个任意角工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，做法如下：如图，AOB是一个任意角，在边是一个任意角，在边OA，OB上分别取上分别取OM=ON，移动，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与角尺，使角尺两边相同的刻度分别
17、与M，N重合重合.过角尺顶点过角尺顶点C的射线的射线OC便是便是AOB的平分线的平分线.为什么？为什么？课课 本本 P8OMABNC（全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等）（已知）（已知）（已知）（已知）（已知）（已知）（已知）（已知）（公共边）（公共边）（公共边）（公共边）例例3、已知已知BACBAC（如图），（如图），用直尺和圆规用直尺和圆规作作BACBAC的平分线的平分线AD，并说出该作法正，并说出该作法正确的理由。确的理由。ACB 小明做了一个如图所小明做了一个如图所示的风筝，他想去验证示的风筝，他想去验证BACBAC与与DACD
18、AC是否相等，是否相等，但手头却只有一把足够但手头却只有一把足够长的尺子。你能帮助他长的尺子。你能帮助他想个方法吗？说明你这想个方法吗？说明你这样做的理由。样做的理由。A AB BD DC C思思考考 如图，如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：求证：AEB ADC。证明：证明：BD=CE BD-ED=CE-ED，即即BE=CD CABDE在在AEB和和ADC中，中，AB=AC（已知）（已知）AE=AD（已知）（已知）BE=CD（已证）（已证）AEB ADC (sss)CBDAFEDB思思考考 已知已知AC=FE，BC=DE，点，点A、D、B、F在一条直线上，在一条直线上，AD=FB
19、.要用要用“边边边边边边”证明证明ABC FDE，除了已知中的，除了已知中的AC=FE，BC=DE以以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？解：解：要证明要证明ABC FDE，还应该有还应该有AB=DF这个条件这个条件AD=FB AD+DB=FB+DB 即即 AB=FD思思考考FDBABC 中，中，和和在在D DD DFBACDBBCFDAB （已知），（已知），（已知），（已知），（已证），（已证），.SSSFDB ABC ）（D DD DCBDAFEDB 已知已知AC=FE，BC=DE，点，点A、D、B、F在一条直线上，在一条直线上，AD=
20、FB.要用要用“边边边边边边”证明证明ABC FDE，除了已知中的，除了已知中的AC=FE，BC=DE以以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？练习练习1：如图，如图，ABAC，BDCD，BHCH，图中，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？HDCBA解：有三组。解：有三组。在在ABH和和ACH中中,AB=AC，BH=CH，AH=AH,ABHACH（SSS）；）；在在ABD和和ACD中中,AB=AC，BD=CD，AD=AD,ABDACD（SSS）；）；在在DBH和和DCH中中BD=CD，BH=C
21、H，DH=DH,DBHDCH（SSS）.（2 2 2 2）如图，）如图，）如图，）如图，D D D D、F F F F是线段是线段是线段是线段BCBCBCBC上的两点，上的两点，上的两点，上的两点，AB=CEAB=CEAB=CEAB=CE，AF=DEAF=DEAF=DEAF=DE，要使，要使，要使，要使ABFECD ABFECD ABFECD ABFECD，还需要条件还需要条件还需要条件还需要条件 .BCBCBCBCDCBDCBBF=DC 或或 BD=FCA ABCD练习练习2解：解：ABCDCB理由如下：理由如下：AB=DCAC=DB=ABCABC ()SSSSSS（1 1 1 1）如图，）
22、如图，）如图，）如图，AB=CDAB=CDAB=CDAB=CD，AC=BDAC=BDAC=BDAC=BD，ABCABCABCABC和和和和DCBDCBDCBDCB是否全等是否全等是否全等是否全等？试说明理由。？试说明理由。？试说明理由。？试说明理由。AE B D F CB D F CB D F CB D F C 练习练习3、如图，在四边形如图，在四边形ABCD中中,AB=CD,AD=CB,求证：求证：A=C.DABC证明：证明：在在ABD和和CDB中中AB=CDAD=CBBD=DBABDCDB（SSS）（已知）（已知）（已知）（已知）（公共边）（公共边）A=C（全等三角形的对应角相等全等三角形
23、的对应角相等）你能说明你能说明ABCD，ADBC吗？吗？解：解：E、F分别是分别是AB，CD的中点（的中点（）又又AB=CDAE=CF在在ADE与与CBF中中 DE=ADECBF ()AE=AB CF=CD（）1212补充练习：补充练习：如图，已知如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是分别是AB，CD的中点，且的中点，且DE=BF，说出下列判断成立的理由，说出下列判断成立的理由.ADECBFA=C线段中点的定义线段中点的定义BFAD AECFSSSADECBF全等三角形全等三角形对应角相等对应角相等已知已知ADBCFECB A=C ()=ABCDFE例例.如图如图,已知已知AB=DE,
24、AC=DF,AB=DE,AC=DF,要说明要说明ABCDEFABCDEF，还需增加一个什么条件？还需增加一个什么条件？请同学们谈谈本节课的收获与体会请同学们谈谈本节课的收获与体会本节课你学到了什么？本节课你学到了什么？发现了什么？发现了什么？有什么收获？有什么收获？还存在什么没有解决的问题？还存在什么没有解决的问题？小小 结结2.三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等（简写成（简写成“边边边边边边”或或“SSS”）；）；1.知道三角形三条边的长度怎样画三角形；知道三角形三条边的长度怎样画三角形；3.初步学会理解证明的思路，初步学会理解证明的思路，应用应用“边边边边边边”证明两
25、个三角形全等证明两个三角形全等.作业：作业：1、练习题（练习题（选做选做）2、笔记补充完整、笔记补充完整Over！我们学过哪几种判定三角形全等的方法？1、全等三角形概念：三条边对应相、全等三角形概念：三条边对应相等，三个角对应相等。等，三个角对应相等。2、全等三角形判定条件（一）三边对应相等的两个三角形全等。简称“边边边”或“SSS”问问题题:如如图图有有一一池池塘塘。要要测测池池塘塘两两端端A、B的的距距离离，可可无无法法直直接接达达到到，因因此此这这两两点点的的距距离离无无法法直直接接量量出出。你你能能想想出办法来吗？出办法来吗？ABABCED在平地上取一个可直接到达在平地上取一个可直接到
26、达A和和B的点的点C，连结连结AC并延长至并延长至D使使CD=CA延长延长BC并延长至并延长至E使使CE=CB连结连结ED，那么量出那么量出DE的长，就是的长，就是A、B的距离的距离.为什么？为什么？三角形全等判定方法三角形全等判定方法2用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：在在ABC与与DEF中中ABCDEF（SAS）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。等。(可以简写成可以简写成“边角边边角边”或或“SASSAS”)FEDCBAAC=DFC=FBC=EF1.画画MAN=A2.在射线在射线 A M，A N 上分别取上
27、分别取 A B =AB，A C=AC.3.连接连接 B C ，得，得 A B C.已知已知ABC是任意一个三角形，是任意一个三角形，画画A BC 使使A =A，A B =AB，A C =AC.画法：画法：边角边公理边角边公理 有两边和它们的有两边和它们的夹角夹角对应相等的对应相等的 两个三角形全等两个三角形全等.可以简写成可以简写成 “边角边边角边”或或“SAS”S 边边 A角角1.1.在下列图中找出全等三角形在下列图中找出全等三角形308 cm9 cm308 cm8 cm8 cm5 cm308 cm5 cm308 cm5 cm8 cm5 cm308 cm9 cm308 cm8 cm练习一练习
28、一2.在下列推理中填写需要补在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立：充的条件，使结论成立：(1)如图，在如图，在AOB和和DOC中中AO=DO(已知已知)_=_()BO=CO(已知已知)AOBDOC（）AOB DOC对顶角相等对顶角相等SASCABDO例例1 1已知已知:如图如图:AC=AD,CAB=DAB.求证求证:ACB ADB.ABCD证明证明:ACB ADB这两个条件够吗这两个条件够吗?例例1 1已知已知:如图如图,AC=AD,CAB=DAB.求证求证:ACB ADB.ABCD证明证明:ACB ADB.这两个条件够吗这两个条件够吗?还要什么条件呢还要什么条件呢?例例1 1已知已知:
29、如图如图,AC=AD,CAB=DAB.求证求证:ACB ADB.ABCD证明证明:ACB ADB.这两个条件够吗这两个条件够吗?还要什么条件呢还要什么条件呢?还要一条边还要一条边例例1 1已知已知:如图如图,AC=AD,CAB=DAB.求证求证:ACB ADB.ABCD证明证明:在在ACB 和和 ADB中中 AC =A D(已知已知)CAB=DAB（已知）（已知）A B=A B (公共边）公共边）ACBADB（SAS）ABCED在平地上取一个可直接到达在平地上取一个可直接到达A和和B的点的点C，连结连结AC并延长至并延长至D使使CD=CA延长延长BC并延长至并延长至E使使CE=CB连结连结ED
30、，那么量出那么量出DE的长，就是的长，就是A、B的距离的距离.为什么？为什么？回到初始问题？回到初始问题？证明三角形全等的步骤：证明三角形全等的步骤：1.1.写出在哪两个三角形中证明全等。写出在哪两个三角形中证明全等。（注意把表示对应顶点的字母写在对应（注意把表示对应顶点的字母写在对应的位置上）的位置上）.2.2.按边、角、边的顺序列出三个条件，按边、角、边的顺序列出三个条件，用大括号合在一起用大括号合在一起.3.3.证明全等后要有推理的依据证明全等后要有推理的依据.练习：练习：3.3.已知：如图，已知：如图，AB=AC AB=AC AD=AE.AD=AE.求证：求证：ABE ABE ACDA
31、CD.证明证明:在在ABE ABE 和和ACD ACD 中，中，AB=AC（已知），（已知），AE=AD（已知），（已知），A=A（公共角），（公共角），ABE ACD（SAS）.BEACD4.如图如图:己知己知ADBC,AE=CF,AD=BC,E、都在直、都在直线上，试说明线上，试说明。FCBEDA思考题：思考题：有两边和其中一边的对角对有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形是否全等？应相等的两个三角形是否全等？动手画一画动手画一画课堂小结课堂小结1.1.边角边公理：有两边和它们的边角边公理：有两边和它们的_对应相等的对应相等的 两个三角形全等（两个三角形全等（SASSAS）夹角2.边角
32、边公理的应用中所用到的数学方法边角边公理的应用中所用到的数学方法:证明线段（或角相等）证明线段（或角相等）证明线段（或角）证明线段（或角）所在的两个三角形全等所在的两个三角形全等.转化转化1.若若AB=AC，则添加什么条件可得，则添加什么条件可得ABD ACD?ABD ACDAD=ADAB=ACABDCBAD=CADSAS拓展拓展2.已知如图，点已知如图，点D 在在AB上，点上，点E在在AC上，上，BE与与CD交于点交于点O，ABE ACDSASAB=ACA=AAE=AD要证要证ABE ACD需添加什么条件需添加什么条件?BEA ACDO2.已知如图，点已知如图，点D 在在AB上，点上，点E在
33、在AC上，上，BE与与CD交于点交于点O，SASOB=OC BOD=COEOD=OE要证要证BOD COE需添加什么条件需添加什么条件?BEA ACDOBOD COE3.如图，要证如图，要证ACB ADB，至少选用，至少选用哪些条件才可以？哪些条件才可以？ABCDACB ADBSAS证得证得ACB ADBAB=AB CAB=DAB AC=AD3.如图，要证如图，要证ACB ADB，至少选用，至少选用哪些条件可哪些条件可ABCDACB ADBSAS证得证得ACB ADBAB=AB CBA=DBA BC=BD作业：作业：1、练习题（练习题（选做选做）2、笔记补充完整、笔记补充完整Over！义务教育
34、课程标准 回顾回顾:三角形全等三角形全等判定判定方法方法2 2用符号语言表达为：用符号语言表达为：在在ABCABC与与DEFDEF中中AB=DEAB=DEB=EB=EBC=EFBC=EFABCDEFABCDEF（SASSAS）A AB BC CDDE EF F 两边和它们的夹角对应相等的两个三角两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成形全等。简写成“边角边边角边”或或“SASSAS”如图如图,小明不慎将一块小明不慎将一块三角形模具打碎为两三角形模具打碎为两块块,他是否可以只带其他是否可以只带其中的一块碎片到商店中的一块碎片到商店去去,就能配一块与原来就能配一块与原来一样的三角形模具吗一
35、样的三角形模具吗?如果可以如果可以,带哪块带哪块去合适去合适?你能说明其中理由吗你能说明其中理由吗?怎么办？可以帮帮我吗？如果知道两个三角形的如果知道两个三角形的两个角两个角及及一条边一条边分分别对应相等，这两个三角形一定全等吗？别对应相等，这两个三角形一定全等吗？这时应该有两种不同的情况：这时应该有两种不同的情况：（1 1）两个角及两角的夹边；）两个角及两角的夹边；（2 2）两个角及其中一角的对边）两个角及其中一角的对边问题导入问题导入 如图，已知两个角和一条线段，以这两如图，已知两个角和一条线段，以这两个角为内角，以这条线段为两个角的夹边，个角为内角，以这条线段为两个角的夹边，画一个三角形
36、画一个三角形.做一做做一做把你画的三角形与其他同学画的进行比把你画的三角形与其他同学画的进行比较，所有的三角形都全等吗？较，所有的三角形都全等吗？全等三角形的判定方法全等三角形的判定方法2:2:如果两个三角形的两个角及其夹边分别如果两个三角形的两个角及其夹边分别对对应应相等相等,那么这两个三角形全等那么这两个三角形全等.在在ABCABC和和 ABC ABC中中A=AA=AAB=ABAB=ABB=BB=BABC ABCABC ABC(ASA)(ASA)A AC CB BA AC CB B(ASA)(ASA)例题例题：如图，如图，ABCABCDCBDCB，ACBACBDBCDBC，试说明，试说明A
37、BC ABC DCBDCB.ADCB解解 ABCABCDCBDCB，ACBACBDBCDBC，(已知已知)又又 BCBC为公共边且对应相等，为公共边且对应相等，ABD ABD ACDACD.（A.S.A.A.S.A.）思考思考:如果两个三角形有两个角如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相和其中一个角的对边分别对应相等等,那么这两个三角形是否全等那么这两个三角形是否全等?ACBACB全等三角形的判定方法全等三角形的判定方法3:3:如果两个三角形的两个角及其中一个角如果两个三角形的两个角及其中一个角的对边分别对应相等的对边分别对应相等,那么这两个三角形那么这两个三角形全等全等.在在AB
38、CABC和和 ABC ABC中中A=ABC=BCB=BABC ABC(AAS)ACBACB(AAS)(AAS)两角和它们的夹边对应相等的两个三角两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成形全等，简写成“角边角角边角”或或“ASAASA”。两角和其中一角的对边对应相等的两个两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成三角形全等，简写成“角角边角角边”或或“AASAAS”（ASA）（AAS）练习练习 1.1.根据题目条件，判别下面的两个三根据题目条件，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由角形是否全等，并说明理由.（不全等，因（不全等，因为为BCBC虽然是公虽然是公共边，但不是共边
39、，但不是对应边。）对应边。）2.2.要使下列各对三角形全等，需要增加什要使下列各对三角形全等，需要增加什么条件？么条件？（1 1）（）（2 2）3.3.如图，已知如图，已知ABAB与与CD CD 相交于相交于O O，A AD D，COCOBOBO，说明说明AOCAOC与与DOBDOB全全等的理由等的理由.（利用（利用A.A.SA.A.S定理说明）定理说明）4.4.已知：如图，已知：如图，ABC ABC A AB BC C，ADAD、A ADD 分别是分别是ABC ABC 和和A AB BC C的高。试说明的高。试说明ADAD A ADD，并用一句话说，并用一句话说出你的发现。出你的发现。A A
40、B BC CD DA AB BC CD D思考题思考题:全等三角形对应边上的高也相等。全等三角形对应边上的高也相等。5 5、ABCABC是等腰三角形，是等腰三角形，ADAD、BE BE 分别是分别是A A、B B 的角平分线，的角平分线，ABDABD和和BAE BAE 全等吗？试全等吗？试说明理由说明理由.ABCABC是等腰三角形是等腰三角形 AC=BC AC=BC A AB B 又又 ADAD、BE BE 分别是分别是A A、B B 的角平分线的角平分线解解 BADBAD A A ABEABE B B BAD=BAD=ABEABEBAD=BAD=ABEABEEAB=EAB=DBADBAABA
41、B为公共边为公共边ABDABDBAE BAE(A.S.A)(A.S.A)思考题思考题:1、如图、如图，AB=AC,B=C,那么那么ABE 和和ACD全等吗？为什么？全等吗？为什么？试一试试一试AEDCBAEDCB（ASA）ABE ACD ABE ACD（已知）（已知）AB=ACAB=ACB=CB=CA=AA=A（公共角）（公共角）在在ABEABE与与ACDACD中中说明说明:答答:ABE ACDABE ACD(已知已知)2 2、如图，、如图，AD=AE,B=CAD=AE,B=C，那么，那么BEBE和和CDCD相等么？为什么？相等么？为什么？AEDCBAEDCB（全等三角形对应边相等）（全等三角
42、形对应边相等）BE=CD BE=CD（AAS）ABE ACD ABE ACD（已知）（已知）AE=ADAE=ADB=CB=CA=AA=A（公共角）（公共角）在在ABEABE与与ACDACD中中说明说明:答答:BE =CD:BE =CD(已知已知)本节课我们主要学习了有关本节课我们主要学习了有关全等三角形的全等三角形的“两角一边两角一边”识别识别方法，有两种情况：方法，有两种情况：1.1.两个角及两角的夹边；两个角及两角的夹边；（ASAASA）2.2.两个角及其中一角的对边两个角及其中一角的对边(AASAAS)（都能够用来识别三角形全等。）（都能够用来识别三角形全等。）到目前为此，我们共学了几种
43、到目前为此，我们共学了几种识别三角形全等的方法？识别三角形全等的方法？有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。边角边边角边：有两角和它们夹边有两角和它们夹边对应相等的两个三对应相等的两个三角形全等。角形全等。角边角如果两个三角形的两如果两个三角形的两个角及其中一个角的个角及其中一个角的对边分别对应相等对边分别对应相等,那那么这两个三角形全等么这两个三角形全等.角角边作业：作业：1、练习题（练习题（选做选做）2、笔记补充完整、笔记补充完整Over！直角直角三角形全等的条件三角形全等的条件（HL）回顾回顾：1：如图：如图:(1)ABCDEF，指出它们的对应，指出它们的对应 顶点、对应角、对应边。
44、顶点、对应角、对应边。ADBECF2：我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？：我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？ABACBCABACB（SSS）、（）、（SAS）、（）、（ASA）、（）、（AAS）DEDFEFDDEF F回回顾顾与与练练习习1、判定两个三角形全等方法、判定两个三角形全等方法:，。SSSASAAASSAS2、如、如图图，RtABC中，中，直角直角边边 、，斜，斜边边 。ABCBCACAB3、如、如图图，ABBE于于C，DEBE于于E，（1 1）若）若A=DA=D，AB=DEAB=DE，则则ABCABC与与DEFDEF （填（填“全等全等”或或“不全等不全等”）根据根据
45、（用简写法）用简写法）;ABCDEF全等全等ASAABCDEF（2 2）若）若A=DA=D，BC=EFBC=EF，则则ABCABC与与DEFDEF （填（填“全等全等”或或“不全等不全等”）,根据根据 （用简写法）用简写法）;AAS全等全等（3 3）若）若AB=DEAB=DE，BC=EFBC=EF，则则ABCABC与与DEFDEF （填（填“全等全等”或或“不全等不全等”）,根据根据 （用简写法）用简写法）;全等全等SAS（4 4）若）若AB=DEAB=DE，BC=EFBC=EF，AC=DFAC=DF则则ABCABC与与DEFDEF （填（填“全等全等”或或“不全等不全等”）,根据根据 （用简
46、写法）（用简写法）.全等全等SSS 1、某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（那么最省事的办法是（）。）。A A 带带去去 B B带带去去 C C 带带去去 D D带带和和去去 c思考：思考：1：如图：如图：RtACB、与、与RtA1C1B1中，中，C与与C1是直角，用我们已经学过的知识，除了两直角是直角，用我们已经学过的知识，除了两直角相等以外，你还能补充哪些条件就能使这两个直角相等以外，你还能补充哪些条件就能使这两个直角三角形全等？三角形全等？ABCA1B1
47、C12:如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？对应相等，这两个直角三角形全等吗？-=画一画：画一画：任意画一个任意画一个RtACB，使，使C90，再画一个再画一个RtACB使使C=C，BC=BC，AB=AB（1）：你能试着画出来吗？与小组交流一下。）：你能试着画出来吗？与小组交流一下。作法：作法：1、画、画MCN=902、在射线、在射线CM上取上取BC=BC3、以、以B为圆心，为圆心，AB为半径画弧，交射线为半径画弧，交射线CN于点于点A4、连接、连接AB，ACB就是所作三角形。就是所作三角形。（2）：把画好的）：把画好的
48、RtACB剪下，放到剪下，放到RtACB上，上，它们全等吗？你能发现什么规律？它们全等吗？你能发现什么规律？ACB如图，如图，ABC中中,C是直角是直角斜边直角边直角边直角三角形用Rt表示。表示。学习目标：1、理解直角三角形全等的判定方法斜边直角边；2、熟练运用“HL”定理证明执教三角形全等；3、熟练运用“HL”定理解决有关问题.用尺规作用尺规作图法，做图法，做一个一个RtABC,使使C=9090斜边斜边AB=10cm,AB=10cm,一直角边一直角边CB=6cm.剪下这个三角形，和其他同学剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们所作的三角形进行比较，它们能重合吗？能重合吗？想一想
49、，怎样画呢？想一想，怎样画呢？按照下面的步骤做一做：按照下面的步骤做一做：作作MCN=90;CMN 在射线在射线CM上截取线段上截取线段CB=6cm;CMNB 以点以点B为圆心为圆心,以以10cm为半径画弧，为半径画弧，交射线交射线CN于点于点A;CMNBA 连接连接AB.CMNBA 两个直角三角形全等的判定：两个直角三角形全等的判定：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成（可以简写成“斜边、直角边公理斜边、直角边公理”或或“HL”）用符号语言表达为：用符号语言表达为：在在RtACBRtACB和和RtDFERtDFE中，中，AB=DF
50、AB=DF AC=DF AC=DFRtACBRtDFERtACBRtDFE（HLHL）ACBDEF注意：使用注意：使用HL判定时，必须先得出两个直角三角形，然后判定时，必须先得出两个直角三角形，然后再再证明斜边和一直角边分别对应相等。证明斜边和一直角边分别对应相等。做做 一一 做做 任意任意画出一个画出一个RtABC,使使C=90,再画一再画一个个RtABC，使，使C=90o，BC=BC，AB=AB.ABCABC即使斜边和一条直角边对应相等即使斜边和一条直角边对应相等AB=DEAC=DF 在在RtABC与与RtDEF中，中，Rt ABC Rt DEF（HL）ABCDEF 斜边和一条直角边对应相