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1、第2章 一维势场中的粒子2.1一维定态的一般性质与空间有关的一维定态Schrdinger方程为：（2.1）在量子力学中，如不作特别说明，都假定势能V取实数，即 V=V*。若对应于某个能量E，方程（2.1）只有一个解，则称能级E不简并。若对应于某个能量E，方程（2.1）不只一个解，则称能级E是简并的。定理定理2.1：设是方程（2.1）的一个解，的一个解，对应的能量本征值也是E。且总可以找到方程（2.1）的一组实解，凡是属于E的任何解，均可表成这组实解的线性叠加。对应的能量本征值为E，则也是方程（2.1）证明：证明：方程（2.1）两边取复共轭，注意到 V(x)=V*(x),E*=E,有 可见 也满
2、足方程（2.1），对应的能量本征值也是E。若能级E不简并，则 和 描述的是同一个量子态，故。取复共轭，有取c=1，有 是实函数。是实解，则将它归入（2.1）的一个解。而根据线性微分方程解的叠加 若能级E简并，如果 实解的集合中。如果它是复解，则 也是方程性定理，如下两个组合（组合后为实函数）：是（2.1）同属于能量E，并彼此独立的解。定理定理2.2：设V(x)具有空间反射不变性，V(x)V(x)。如果 为方程（2.1）的一个解，对应的能量本征值为E，则 也是方程（2.1）的一个解，对应的能量本征值也是E。且总可以找到方程（2.1）的一组解,其中每一个都具有确定的宇称,而属于能量本征值E的任何解
3、，都可表成这组解的线性叠加。证明：证明：在方程（2.1）中作代换x-x,注意到 有 可见亦是方程的解。若能级E无简并，则 描述的是同一个状态，他们之间只能相差一个常数，所以有偶宇称奇宇称 若能级E有简并，可令 均为方程（2.1）的解，对应的能量本征值都为E，且有确定的宇称。此外，由定理.1可知，总可将方程的解取为实函数。习题2.1 在三维情况下证明定理2.1和定理2.2。定理定理2.3：对于阶梯形方势 有限时，连续；时，定理不成立。证明：由方程（2.1）有（2.2）在x=a的邻域对方程（2.2）积分，有 即V(x)在x=a处发生突变，有限时，上式右边积分为0，从而 在x=a处连续；上式右边的积
4、分无法确定。2.2一维无限深势阱和一维有限深势阱1.一维无限深势阱一维无限深势阱设质量为 的粒子在势场 中运动，求定态Schrdinger方程的解。解：由于势阱外 不可能出现在势为无限大之处，故势阱外波函数为零。即：,而能量有限的粒子 势阱内的Schrdinger方程为（2.3）令 （2.4）则（2.3）简化为：其通解的形式为：由波函数的连续发性条件可得到 从而有 再由波函数的归一化条件可得到归一化常数为 综上，一维无限深势阱波函数：能级能级：（2.6）一维势阱中粒子波函数及概率图示(取 a2)习题2.2 方程 的一般解亦可写为如下 试分别用这两个一般解求解一维无限深势阱。或形式：习题2.3设
5、质量为的粒子在势场中运动，求定态Schrdinger方程的解。提示：本问题与一维中心不对称无限深势阱的差别仅在于坐标原点的选择，将式（2.6）中的坐标x换为x+a/2即得到本问题的解为：n=1,2,3 （2.7）习题2.4 二维无限深方势阱问题设质量为的粒子在势场 中运动，求束缚态解。习题2.5 三维无限深方势阱问题设质量为的粒子在势场 中运动，求束缚态解。2.一维有限深势阱 对于一维有限深势阱中运动的粒子，当其处于束缚态时，确定其能级的为超越方程，没有解析解。下面将用数值解法较完整地给出能级和归一化波函数，所用方法和结果简洁明了，对这类问题有普遍意义，也可加深对这类问题的理解。如图1，设质量
6、为 的粒子在势场 这里我们只考虑束缚态情形，即0EV0 写出分区的定态Scrodinger方程 中运动，求定态Schrdinger方程的解。令 则分区的定态Schrdinger方程为：由此得各分区域的通解为：式中A、B、C、D为待定常数。由波函数的连续性条件可得到：若要A、B、C、D有不全为零的解，则k1和k2必须满如下方程：此外有：令 可将上述方程组写为：数值解法，取借助于数学计算软件，容易求得两个交点坐标为：（2.05973，3.42892）和（3.79099，1.27609）即此时粒子有两个能级：归一化波函数为：当V0时，势阱的波函数化为：可见当势为无穷大时，波函数为零。其第一个束缚态的
7、概率分布情形如图：2-3 线性谐振子线性谐振子弹簧振动、单摆是谐振子，它们的位移或角位移满足方程：谐振子在物理中很重要，很多物理问题都可以近似按谐振子处理。比如固体中的每个原子的微振动，就可以看成在各自平衡位置作简谐振动。考虑一维空间中运动的线性谐振子，其势能为：定解问题为:（2.8）（2.9)单值性单值性单值性单值性连续性连续性连续性连续性有限性有限性有限性有限性令 方程可改写为 （2.10)2.10)求解:先看 时,的渐近行为。此时方程为，渐近解为 因为波函数的标准条件要求。有限，故取。据上，可令方程的解为 代入方程（2.10)，得到 满足的方程为（2.11)用级数解法，可求得，只有在 时
8、，才能求得满足要求的解，为 HermiteHermite多项式多项式 相应的线性谐振子的能级为 对应于能量 的波函数是（2.12)前几个波函数的表达式：讨论：讨论：（1）线性谐振子的能级是分立的，两相邻能级的间隔均为:振子的基态（n=0）能量为 称之为零点能。，2）与经典力学中的线性谐振子的比较：n=10 习题2.8 求基态线性谐振子在经典界限外被发现的概率 习题2.9 求一维谐振子处在第一激发态时概率最大的位置。习题2.10 试证明 谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。是线性习题2.11 带电q的线性谐振子在均匀电场E中运动，其势能为，求谐振子的能级和波函数。习题2.12 一粒子在一维势
9、阱 中运动,利用谐振子的已知结果求出粒子的能级和波函数。2.4 阶梯势反射和势垒贯穿阶梯势反射和势垒贯穿1.阶梯势反射粒子以能量E对阶梯势入射，求透射系数与反射系数。讨论如下三种情况：（1）V0E0；由左向右入射（3）E0,由右向左入射。解：(1)-V0E0写出分区Schrdinger方程为：令：可将上述方程简化为：一般解可写为：由波函数连接条件，有：解得：据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的概率流密度及反射系数和透射系数 满足 R+D1可见，总能量小于势垒高度的粒子必全部被反射，但在x0 写出分区Schrdinger方程为：令：可将上述方程简化为：一般解可写为：考虑到没有从右向左的入射
10、波，B0由波函数连接条件，有：解得：据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的概率流密度及反射系数和透射系数满足 R+D1可见，尽管E0，但仍有粒子被反射。（3）E0,粒子从右向左入射仿（2）方法求解，结果相同。.势垒贯穿一维空间中，能量为E的自由运动的粒子在如图方型势垒上散射，求解之。（1）EV0定态Schrdinger方程为：其解的一般形式为：上述解再乘上时间因子就分别得到向左向右传播的平面波，但在xa的区域没有向左传播的平面波，故 C=0。再利用x=0和xa处的连续条件，有：可解得：而相应的概率流密度为相应的透射系数和反射系数为：透射系数 反射系数 （2.13）（2.14）而当，即 时，
11、D=1,R=0,此时粒子完全透射，没有反射，称之为共振透射。习题2.13 在上述势垒贯穿问题中，若入射粒子能量满足 E=V0，结果如何？直接求解；在式（2.13）和（2.14）中令EV0，并将结果与的结果进行比较。（2）E1,则有（3）若为势阱，V0-V0,仍有:透射系数 反射系数 且反射系数一般不为零。2.5 2.5 一维一维势势1.一维势垒的穿透 设有质量为、动能为E的粒子入射到势垒，求其透射系数。定态Schrdinger方程为：在x=0处连续,由定理2.3可知 则有跃变：(2.15)(2.16)在x0处式(2.15)可以表示成：其特解为：其中R项为反射波，S项为透射波，由x=0处 的连续条件得到1+R=S由式(2.16)得到 容易解出：所以，透射系数 反射系数 粒子数守恒 时，2一维势阱中的束缚态设粒子在势阱 求束缚态（E0）能级和波函数。中运动，定态Schrdinger方程为:其解的形式为,且要求 由于V(x)是偶函数，束缚定态波函数必有确定的宇称,下面将分别就偶宇称态和奇宇称态进行讨论。a.偶宇称态可令 由式（2.20），有：因此有 唯一束缚态能级 归一化(b)奇宇称态 由波函数在x=0处的连续条件得到A=0,因此不存在奇宇态束缚态。习题2.14 设粒子在势阱,中运动，求束缚态（E0）能级和波函数。