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1、合情推理与合情推理与演绎推理演绎推理推理：推理：从一个或几个已知命题得出另一个从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程。新命题的思维过程。推理推理前提前提结论结论推理所依据的命题推理所依据的命题根据前提所得到的命题根据前提所得到的命题歌德巴赫猜想的提出过程：歌德巴赫猜想的提出过程：3710，31720，131730，歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想:“任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶数都等于两个奇的偶数都等于两个奇质数之和质数之和”即即:偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数改写为改写为:1037，20317，30131763+3，1000100029+97129+971，83+5，1002=1
2、39+863,105+5,125+7，147+7，165+11,18=7+11,，推理案例推理案例 前提：前提：当当n=0时，时，n2-n+11=11;当当n=1时，时，n2-n+11=11;当当n=2时，时，n2-n+11=13;当当n=3时，时，n2-n+11=17;当当n=4时，时，n2-n+11=23;当当n=5时，时，n2-n+11=31;11,11,13,17,23,31都是质数都是质数.结论：结论：对于所有的自然数对于所有的自然数n，n2-n+11的值都是质数的值都是质数.归归纳纳推推理理这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别
3、事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称;归纳)归纳推理的几个特点归纳推理的几个特点;1.1.归纳是依据特殊现象推断一般现象归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而因而,由归纳由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围所得的结论超越了前提所包容的范围.2.2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象属未知的现象,因而结论具有猜测性因而结论具有猜测性.3.3.归纳的前提是特殊的情况归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上察、经验和实验的基础之上.4.归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础
4、上.提出带有规律性的结论.需证明例例1:1:已知数列已知数列aan n 的第的第1 1项项a a1 1=1=1且(n=1,2,3(n=1,2,3),),试归纳出这个数列的通项公式试归纳出这个数列的通项公式.对有限的资料进行观察、分析、归纳对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；整理；提出带有规律性的结论，即猜想；提出带有规律性的结论，即猜想；检验猜想。检验猜想。归纳推理的一般步骤：归纳推理的一般步骤：例例：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物。鱼、海龟、
5、蜥蜴都是爬行动物。由此猜想：由此猜想：练练：三角形的内角和是三角形的内角和是180180度，凸四边形的内度，凸四边形的内角和是角和是360360度，凸五边形的内角和是度，凸五边形的内角和是540540度，度，由此猜想：由此猜想：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。所有的爬行动物都是用肺呼吸的。凸凸n边形的内角和是边形的内角和是(n-2)1800例例 由此猜想：由此猜想：归纳推理：归纳推理：从个别事实中推演出一般性的结论从个别事实中推演出一般性的结论.实验、观察实验、观察概括、推广概括、推广猜测一般性结论猜测一般性结论1.观察下列等式，并从中归纳出一般的结论：观察下列等式，并从中归纳出一般的结论：活学
6、活用：活学活用：(1)(2)11，1-4（1+2），1-4+91+2+3，1-4+9-16（1+2+3+4），2.用归纳法写出下列数列的一个通项公式：用归纳法写出下列数列的一个通项公式：凸四边形有凸四边形有2条对角线，条对角线，凸五边形有凸五边形有5条对角线，条对角线，比凸四边形多比凸四边形多3条；条；凸六边形有凸六边形有9条对角线，条对角线，比凸五边形多比凸五边形多4条；条；猜想：凸猜想：凸n边形的对角线条数比凸边形的对角线条数比凸n-1边形多边形多n-2条对角线。由此，凸条对角线。由此，凸n边形边形对角线条数为对角线条数为2+3+4+5+(n-2).凸凸n边形有多少条对角线？边形有多少条对
7、角线？3.凸凸n边形有多少条对角线？边形有多少条对角线？4.在同一平面内，两条直线相交，有一个交点；在同一平面内，两条直线相交，有一个交点；三条直线相交，最多有几个交点？三条直线相交，最多有几个交点？四条直线相交，最多有几个交点？四条直线相交，最多有几个交点？六条直线相交，最多有几个交点？六条直线相交，最多有几个交点？n条直线相交，最多有几个交点？条直线相交，最多有几个交点？推理案例推理案例 前提：前提：矩形的对角线的平方等于长与宽的矩形的对角线的平方等于长与宽的平方和平方和.结论：结论：长方体的对角线的平方等于长、宽、长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和高的平方和.比较推理比较推理 在
8、两类不同的事物之间进行对比，找在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处以存在相同或相似之处.类比推理：类比推理：推理案例推理案例 前提：前提：结论：结论：矩形的对角线的平方等于长与宽的矩形的对角线的平方等于长与宽的平方和平方和.长方体的对角线的平方等于长、宽、长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和高的平方和.比较推理比较推理归纳推理归纳推理合情推理合情推理1.1.在平面上，一个角的两边分别垂直于另一个在平面上，一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，这两角相等或互补；类比在空间中：角的两边，这两角
9、相等或互补；类比在空间中：一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，这两一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，这两个角的关系如何？个角的关系如何？活学活用：活学活用：2.2.在平面上，到定直线的距离等于定长的点的轨在平面上，到定直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线；类比在空间中：（迹是两条平行直线；类比在空间中：（1 1）到定直）到定直线的距离等于定长的点的轨迹是什么？（线的距离等于定长的点的轨迹是什么？（2 2）到已）到已知平面距离相等的点的轨迹是什么？知平面距离相等的点的轨迹是什么？（2）把）把 与与 类比，则有类比，则有（1）把）把 与与 类比，类比，则有则有（3）把）把 与与 类比，
10、则有类比，则有（4）把）把 与与 类比，则有类比，则有4.4.在两类不同事物之间进行对比在两类不同事物之间进行对比,找出若干找出若干相同或相似点之后相同或相似点之后,推测在其他方面也可推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式以存在相同或相似之处的一种推理模式,称为称为类比推理类比推理.(.(简称简称;类比类比)类比推理的几个特点类比推理的几个特点;1.1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正推测正在研究的事物的属性在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础是以旧有的认识为基础,类比类比出新的结果出新的结果.2.2.类比是从一种事物的特殊属性推测
11、另一种事物的类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性特殊属性.3.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发单它却有发现的功能现的功能.例例 类比平面内直角三角形的勾股定理，类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想试给出空间中四面体性质的猜想a ab bc co oA AB BC Cs s1 1s s2 2s s3 3c c2 2=a=a2 2+b+b2 2S S2 2ABC ABC=S=S2 2AOBAOB+S+S2 2AOCAOC+S+S2 2BOCBOC猜想猜想:例例 (20012001年上海年上海)已知两个圆已知两个圆x
12、x2 2+y+y2 2=1:=1:与与x x2 2+(y-3+(y-3)2)2=1=1,则由则由式减去式减去式可得上述两式可得上述两圆的对称轴方程圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一即要求得到一个更一般的命题般的命题,而已知命题应成为所推广命题的而已知命题应成为所推广命题的一个特例一个特例,推广的命题为推广的命题为-.-.(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2与与(x-c)(x-c)2 2+(y-d)+(y-d)2 2=r=r2 2（a acc或或设圆的方程为设圆的方程为b bdd)
13、,),则由则由式减去式减去式可得上述两圆的对称轴式可得上述两圆的对称轴方程方程.圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0)为圆心为圆心,r,r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-y+(y-y0 0)2 2=r=r2 2圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面(圆面圆面)的圆点的连线垂直于截面的圆点的
14、连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不与球心距离不相等的两截面面积不相等相等,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0)为球心为球心,r,r为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-+(y-y y0 0)2 2+(z-z+(z-z0 0)2 2=r=r2 2利用圆的性质类比得出求的性质利用圆的性质类比得出求的性质球的体积球的体积球的表面积球的表面积圆的周长圆的周长 圆的面积圆的面积归纳推理：归纳推理：归纳推理的前提是几个已知的特殊现归纳推理的前提是
15、几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围，是从特殊到一般结论超越了前提所包容的范围，是从特殊到一般得命题的猜测，是否正确是需要证明的。得命题的猜测，是否正确是需要证明的。类比推理：类比推理：类比就是在两类不同的事物之间进行类比就是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式，方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式，类比推理是否正确是需要证明的。类比推理是否正确是需要证明的。实验、观察实验、观察概括、推广概括、推广猜测一般性结论猜测一般性结论从具体问题从具体问题出发出发归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想观察、分析、观察、分析、比较、比较、联想联想