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1、3.1.1方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点第三章第三章 函数的应用函数的应用 3.1 3.1 函数与方程函数与方程 思考：一元二次方程思考：一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的根与二次函的根与二次函数数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象有什的图象有什么关系？么关系？数数形 方程方程x2-2x+1=0 x2-2x+3=0y=x2-2x-3y=x2-2x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(1
2、,0)无交点无交点x2-2x-3=0 xy01321121234.xy0132112543.yx012112y=x2-2x+3方程方程ax2+bx+c=0(a0)的根的根函数函数y=ax2+bx+c(a0)的的图象图象判别式判别式=b24ac0=00函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1=x2没有实数根没有实数根xyx1x20 xy0 x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1、x2 对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的
3、零点。的零点。方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点函数零点的定义：函数零点的定义：函数零点的定义：函数零点的定义：等价关系等价关系等价关系等价关系思考：思考：1 1、零点是不是点？、零点是不是点？2 2、零点是不是、零点是不是f(0)f(0)？函数零点的求法：函数零点的求法：求函数求函数 的零点：的零点：2 （几何法几何法）对对于不能用求根公式的方程，于不能用求根公式的方程，可以将它与函数可以将它与函数 的的图图象象联联系起系起 来，并利用函数的性来，并利用函数的性质质找出零点。找出零点。1 1（代数法代数法
4、）求方程）求方程 的实数根。的实数根。求下列函数的零点：求下列函数的零点：（1 1）、）、（2 2）、）、（3 3）、）、（4 4）、）、0 2 -10 2 -1观察对数函数观察对数函数f(x)=lgx的图象的图象:xy0121.零点是零点是1，取区间，取区间0.5,1.5 ，f(0.5)0 ，f(0.5)f(1.5)”或或“”或或“”)发现在区间发现在区间(2，4)上零点上零点 （）观察右边函数）观察右边函数的图象的图象xy01321121234在区间（在区间（a,b)上上_(有有/无无)零点；零点；0（或）（或）,2 在区间（在区间（b,c）和（和（c,d）上呢？上呢？由以上两步探索，你可
5、以得出什么样的结由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？论？1yx5-4-13有有探探究究 活活动动 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连续不断上的图象是连续不断的一条曲线的一条曲线，并且有，并且有f(a)f(b)0)0就说明函数就说明函数y=y=f(xf(x)在区间在区间(a,ba,b)内没有有零点？请内没有有零点？请举一反例。举一反例。探究探究3 3：若：若f(a)f(bf(a)f(b)0)0，函数，函数y=y=f(xf(x)在区间在区间(a,ba,b)内只有一内只有一个零点吗？可能有几个？个零点吗？可能有几个？探究探究4 4：若：若f(a)f(bf(a)f(b)0)
6、0，增加什么条件可以确定函数，增加什么条件可以确定函数y=y=f(xf(x)在区间在区间(a,ba,b)内只有一个零点？内只有一个零点？x xy y0 0a ab b.函数单调函数单调函数单调函数单调 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连续上的图象是连续不断的一条曲线不断的一条曲线，并且有，并且有f(a)f(b)0，那么，函那么，函数数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点，即存在内有零点，即存在c(a,b)，使得使得f(c)=0，这个这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根。的根。函数零点存在性定理函数零点存在性定理 例题?思考：怎样利用函数零点存在性定理，断定函
7、思考：怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？数在某给定区间上是否存在零点？由表由表3-1和图和图3.13可知可知f(2)0，即即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间说明这个函数在区间(2,3)内内有零点。有零点。由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域(0,+)内是增函数，所以内是增函数，所以它仅有一个零点。它仅有一个零点。解：用计算器或计算机作出解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表的对应值表（表3-1）和图象（图和图象（图3.13）4 1.30691.0986 3.3863 5.60947.79189.9459 12.079414.1972例题例题1 求函数求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数。的零点个数。123456789x x x xf f f f（x x x x）.x0246105y2410861214876432192 2 2 23 3 3 3小结与思考函数零点的定义函数零点的定义等价关系等价关系等价关系等价关系函数的零点或相应方程的函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断根的存在性以及个数的判断