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1、高等数学高等数学曲线的凹凸性曲线的凹凸性一、曲线的凹凸性一、曲线的凹凸性二、曲线的拐点及其求法二、曲线的拐点及其求法高等数学高等数学一、曲线的凹凸性一、曲线的凹凸性问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?凹凹（上凹）（上凹）凸凸（下凹）（下凹）高等数学高等数学定义定义 如如果在某区间内曲线每一点的切线果在某区间内曲线每一点的切线都位于曲线的下方，则称此曲线在该区都位于曲线的下方，则称此曲线在该区间内是凹的（或间内是凹的（或称上凹）；称上凹）；如如果在某区间内曲线每一点的切线果在某区间内曲线每一点的切线都位于曲线的上方，则称此曲线在该区都位于曲线的上方，则称此曲线在该区间内是凸的
2、（或间内是凸的（或称下凹）称下凹）.高等数学高等数学x1x2xyo 1 2凹凹（上凹）（上凹）高等数学高等数学凸凸（下凹）（下凹）xyo 1 2x2x1高等数学高等数学定理定理2.122.12高等数学高等数学例例1 1高等数学高等数学解解高等数学高等数学例例2 2高等数学高等数学例例2 2解解注意到注意到,高等数学高等数学例例3 3高等数学高等数学例例3 3解解高等数学高等数学 定义：定义：连续曲连续曲线凹线凹弧与凸弧的分界点称为弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。曲线的拐点。高等数学高等数学说明：说明：拐点是曲线凹凸的转折点，那么拐点是曲线凹凸的转折点，那么曲线的二阶导数曲线的二阶导数 f (x
3、)由大于零变由大于零变成小于零，或由小于零变成大于零，成小于零，或由小于零变成大于零，这时拐点上的二阶导数这时拐点上的二阶导数 f(x)一定一定等等于零或者不存在于零或者不存在.高等数学高等数学的凹凸性的凹凸性.例例4.4.判断函数判断函数高等数学高等数学解解:故曲线故曲线在在上是凹的上是凹的.说明说明:若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为0,在其两侧二阶导在其两侧二阶导数不变号数不变号,则曲线的凹凸性不变则曲线的凹凸性不变.高等数学高等数学判定曲线判定曲线 y=f(x)的凹凸及拐点的步骤：的凹凸及拐点的步骤：1、确定函数的定义域；、确定函数的定义域；2、求出函数的二阶导函数、求出函数的二阶导
4、函数 f (x)；并求；并求出二阶导数值为零的点及二阶导数不存出二阶导数值为零的点及二阶导数不存在的点；在的点；3、由上述特殊点把所讨论的区间分成几、由上述特殊点把所讨论的区间分成几个子区间，在各个子区间及分界点处，个子区间，在各个子区间及分界点处，根据定理结论来判断函数的凹凸性及拐根据定理结论来判断函数的凹凸性及拐点，并写出凹凸区间和拐点坐标。点，并写出凹凸区间和拐点坐标。高等数学高等数学例例5.5.高等数学高等数学解解拐点拐点 凸凸 凹凹凹凹非拐点非拐点不存在高等数学高等数学例例6 6高等数学高等数学例例6 6解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点高等数学高等数学内容小结1.可导函数单调性判别可导函数单调性判别在在 I 上单调递增上单调递增在在 I 上单调递减上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别曲线凹凸与拐点的判别+拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点高等数学高等数学思考题思考题1.高等数学高等数学2.高等数学高等数学 .曲线曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示提示:及及 ;高等数学高等数学练练 习习 题题高等数学高等数学练习题答案练习题答案