34三角形全等的判定定理.ppt

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1、三角形全等的判定定理三角形全等的判定定理本课内容本节内容3.4探究探究 如果在如果在ABC和和 中，中，那么，那么ABC与与 全等吗？全等吗？图图3-24图图3-25（1）如果）如果 和和 的位置关系如图的位置关系如图3-24，因为，因为 ，将，将 绕顶点绕顶点B旋转，可以使旋转，可以使 的像与的像与BC重合重合(如图如图3-25).又因又因 ，所以所以 的像与的像与AB也重合，从而也重合，从而 的像就和的像就和AC 重合重合.于是于是 的像就是的像就是 ，因此，因此 .图图3-24图图3-25（2）如果）如果 和和 的位置关系如图的位置关系如图3-26，那么那么 和和 全等吗？全等吗？图图3

2、-26 作平移使顶点作平移使顶点B和顶和顶点点B重合，然后将重合，然后将 在平移下的像绕顶点在平移下的像绕顶点B旋旋转，可以使转，可以使 的像的像和和ABC重合重合.从而从而ABC .（3）如果）如果 和和 的位置关系如图的位置关系如图3-27，那么那么 和和 全等吗？全等吗？图图3-27 先把先把 以边以边 为轴作轴反射，再为轴作轴反射，再作平移或旋转使作平移或旋转使 的像和的像和ABC重合，从重合，从而而ABC .结论结论 边角边定理边角边定理 有两边和它们的夹角对应相有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等等的两个三角形全等(可简写成可简写成“边角边边角边”或或“SAS”).例例1 在

3、图在图3-28中，中，AB和和CD相交于相交于O，且，且AO=BO，CO=DO.求证：求证：ACO BDO.举举例例证明：证明：在在ACO和和BDO中，中，因为因为AO=BO，AOC=BOD，（对顶角相等），（对顶角相等）CO=DO，所以所以ACO BDO.（SAS）根据边角边定理根据边角边定理图图3-28 像例像例1那样，从题目的条件那样，从题目的条件(已知已知)出发，通出发，通过一步步地讲道理，得出它的结论成立，这个过过一步步地讲道理，得出它的结论成立，这个过程叫作证明程叫作证明.小提示证明：证明：在在ACO和和BDO中，中，因为因为AO=BO，AOC=BOD，（对顶角相等），（对顶角相等

4、）CO=DO，所以所以ACO BDO.（SAS）图图3-28 证明的每一步都要有根据，这些根据可以是证明的每一步都要有根据，这些根据可以是已知条件，也可以是学过的定理、公理和定义已知条件，也可以是学过的定理、公理和定义（关于定义、公理和定理的概念将在九年级上册关于定义、公理和定理的概念将在九年级上册介绍介绍）.小提示 证明一般有以下几个步骤：证明一般有以下几个步骤：根据题意画出图形，写出已知条件和求证，根据题意画出图形，写出已知条件和求证，然后证明然后证明.练习练习 如图如图3-29，在，在ABC中，中，ABAC，且，且AB=AC，点点E在在AC上，点上，点D在在BA的延长线上，的延长线上，A

5、D=AE.证明：证明：ADCAEB.证明：因为证明：因为ABAC，所以所以EAB=EAD=90，又因为又因为AB=AC.AD=AE，所以所以ADC AEB.(SAS)图图3-29例例2 在图在图3-30，正在修建的某高速公路要通过一座大，正在修建的某高速公路要通过一座大 山，现要从这座山中挖一条隧道，为了预算修这山，现要从这座山中挖一条隧道，为了预算修这 条隧道的长度，即这座山条隧道的长度，即这座山A，B两处的距离，你两处的距离，你 能想出一个办法，测出能想出一个办法，测出AB的长度吗？的长度吗？举举例例图图3-30图图3-30解：解：选择某一合适的地点选择某一合适的地点O，使得从，使得从O可

6、以看到可以看到A，B两两处，并能测出处，并能测出AO与与BO的长度的长度.连结连结AO并延长并延长AO至至A，使，使 ；连结；连结BO并延长并延长BO至至B，使，使 .连结连结 .在在AOB和和 中，中，因为因为 ，(对顶角相等对顶角相等)OB=OB，所以所以 .（SAS）于是得于是得 .(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等)因此因此 的长度的长度就是这座大山就是这座大山A处与处与B处的距离处的距离.O 你还能想出其它方案，来你还能想出其它方案，来测测A，B之间的距离吗？之间的距离吗？图图3-30动脑筋动脑筋 两位同学在白纸上分别画一个两位同学在白纸上分别画一个ABC，使，使 ，AB=3

7、cm，AC=2.5cm，结果他们最后画出来的，结果他们最后画出来的ABC如如图图3-31中的中的(a)、(b)所示，问：它们全等吗？由此你能得所示，问：它们全等吗？由此你能得出什么结论？出什么结论？图图3-31（a）（b）答：不全等答：不全等.由此可以得出：两由此可以得出：两 边及其中一边的对角对应边及其中一边的对角对应 相等的两个三角形不一定相等的两个三角形不一定 全等全等.练习练习1.在图在图3-32中，已知中，已知AD/BC，AD=BC.那么那么 ADC和和 CBA是全等三角形吗？是全等三角形吗？证明：证明：因为因为AD/BC，所以所以DAC=BCA(两直线平行，内错角相等两直线平行，内

8、错角相等).在在 ADC和和 CBA中中.因为因为AD=CB，DAC=BCA，AC=CA，所以所以 ADC CBA(SAS).图图3-322.在图在图3-33中，已知中，已知AB=AC，其中，其中E，F分别是分别是AC，AB的中点的中点.小明说：小明说：“线段线段BE和和CF相相等等.”你认为他说的对吗？你认为他说的对吗？证明：证明：对对.因为因为AB=AC，又又F，E分别为分别为AB，AC的中点，的中点，所以所以AF=AE(等量之半相等等量之半相等).在在 ABE和和 ACF中，中，AB=AC，A=A，AE=AF，所以所以 ABE ACF(SAS).所以所以BE=CF(全等三角形对应边相等全

9、等三角形对应边相等).).图图3-32动脑筋动脑筋 如图如图3-34，在，在 ABC和和 中，中，BC=，B=B，C=C，你能通过平移、旋转和轴反射使，你能通过平移、旋转和轴反射使 的像与的像与 ABC重合吗？重合吗？ABC与与 全等吗？全等吗？结论结论 角边角定理角边角定理 有两角和它们的夹边对应有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等相等的两个三角形全等(可简写成可简写成“角边角角边角”或或“ASA”).).例例3 如图如图3-35所示，小强测量河宽所示，小强测量河宽AB时，从河岸的时，从河岸的A 点沿着和点沿着和AB垂直的方向走到垂直的方向走到C，并在，并在AC的中点的中点E 立一根标

10、杆，然后从立一根标杆，然后从C点沿着和点沿着和AC垂直的方向走垂直的方向走 到到D，使，使D，E，B恰好在一直线上恰好在一直线上.于是小强说：于是小强说：“CD的长就是河的宽的长就是河的宽.”你能说出这个道理吗？你能说出这个道理吗？举举例例图图3-35ABECD证明：证明：在在AEB和和CED中，中，因为因为 EAB=ECD=90，AE=CE，AEB=CED，(对顶角相等对顶角相等)所以所以AEB CED.（ASA）于是于是AB=CD.(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等)因此，因此，CD的长就是河的宽度的长就是河的宽度.图图3-30举举例例图图3-36例例4 如图如图3-36中，已知中

11、，已知ABC ，CF，分别是分别是ACB和和 的角平分线的角平分线.求证：求证：.图图3-36(全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等)证明：证明：因为因为ABC ，所以所以 ，(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等)A=A，又因为又因为 1=ACB，2=，所以，所以，1=2.在在AFC和和 ，因为因为 A=A，1=2，所以所以AFC .（）所以所以 CF=.(.(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等)你能在小括号内写出这两个你能在小括号内写出这两个三角形全等的理由吗？三角形全等的理由吗？ASA 从例从例4中，你能得出什么样的结论？中，你能得出什么样的结论？说一说说一说 全等三角形对

12、应角全等三角形对应角的角平分线相等的角平分线相等.图图3-36例例4 如图如图3-36中，已知中，已知ABC ，CF，分别是分别是C和和C的角平分线的角平分线.求证：求证：.练习练习 在图在图3-37，观察下面的三角形，观察下面的三角形.小强说：小强说：“图图中有两个三角形全等中有两个三角形全等.”你认为小强的判断对吗？你认为小强的判断对吗？请说明理由请说明理由.证明：证明：小强的判断是对的，小强的判断是对的，因为因为B=D，BC=DE，C=E，所以所以 ABCFDE(ASA).图图3-37动脑筋动脑筋 如图如图3-38，在，在 ABC和和 中，中，BC=，A=A，B=B.那么那么 ABC和和

13、 是全等三角是全等三角形？形？图图3-38在在ABC和和 中，中，所以所以 A=A，B=B，由三角形内角和性质可得由三角形内角和性质可得 C=C.又因为又因为 ，B=B，由由“角边角角边角”判定定理则有判定定理则有结论结论 角角边定理角角边定理 有两角和有两角和其中一角的对边对应其中一角的对边对应相等的两个三角形全等相等的两个三角形全等(可简写成可简写成“角角边角角边”或或“AAS”).).举举例例例例5 如图如图3-39中，已知中，已知BE/DF，B=D，AE=CF.求证：求证：ADFCBE.图图3-39证明：证明：因为因为BE/DF，所以所以 1=2.().()因为因为 AE=CF，即即

14、AF=CE.在在ADF和和CBE中，中，因为因为 D=B，1=2，AF=CE，所以所以ADF CBE.（）两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等.所以所以AE+EF=CF+FE，AAS两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等举举例例图图3-40例例6 如图如图3-40中，已知中，已知ABC ，BE，分别是对应边分别是对应边AC和和 边上的高边上的高.求证：求证：BE=.图图3-40证明：证明：因为因为ABC ，所以所以 ，(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等)A=A，(全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等)因为因为 BEAC，所以所以又又 因为因为 A=A，所以所以AEB

15、.(AAS)所以所以 从例从例6中，你可以得出什么的结论呢？中，你可以得出什么的结论呢？说一说说一说 全等三角形对应边全等三角形对应边上的高相等上的高相等.图图3-40例例6 如图如图3-40中，已知中，已知ABC ，BE，分别是对应边分别是对应边AC和和 边上的高边上的高.求证：求证：BE=.练习练习1.在图在图3-41，已知，已知 1=2，AD=AE.观察该图，找出图中：观察该图，找出图中：（1）所有的全等三角形；）所有的全等三角形；（2）所有相等的线段和相等的角）所有相等的线段和相等的角.答答:ACD与与 ABE，BOD与与 COE.答答:线段线段AB与与AC，AD与与AE，BO与与CO

16、，BD与与CE，DO与与EO，DC与与EB相等相等.1=2，D=E，BOD=COE，DBO=ECO.图图3-412.等腰三角形两腰上的高相等吗？为什么？等腰三角形两腰上的高相等吗？为什么？答答:相等，相等，因为在因为在ABC中，中，AB=AC，BDAC，CEAB，所以所以1=2=90.又因为又因为A=A，所以所以ADB AEC(AAS).).所以所以BD=CE.即等腰三角形两腰上的高相等即等腰三角形两腰上的高相等.探究探究 如图如图3-42，在，在ABC和和 中，如果中，如果 ，那么，那么ABC与与 全等吗？全等吗？图图3-42 如果能够说明如果能够说明A=A，那么就可以用，那么就可以用“边角

17、边边角边”定定理得出理得出ABC .为此，可将为此，可将 经过平移、经过平移、旋转和轴反射，使旋转和轴反射，使 的像与的像与BC重合重合(并使并使A的像与的像与A在在BC的两旁的两旁)，连结，连结 ，得到图，得到图3-43.你能在括号内填出理由吗？你能在括号内填出理由吗？图图3-43因为因为 ，所以所以 1=2，3=4.()从而从而 1+3=2+4，(等量加等量其和相等等量加等量其和相等)即即 BAC=.在在ABC和和 中，中，因为因为 ，BAC=，所以所以ABC .（SAS）等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等结论结论 边边边定理边边边定理 有三边对应相等的两个三有三边对应相等的

18、两个三角形全等角形全等(可简写成可简写成“边边边边边边”或或“SSS”).).结论结论 由由“边边边边边边”判定定理可知，只要三角形的判定定理可知，只要三角形的三边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就三边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就固定了，三角形的这个性质叫作固定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性三角形的稳定性.结论结论 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.如路灯的支架、屋顶的人字梁等都采用三角形如路灯的支架、屋顶的人字梁等都采用三角形结构，其道理就是运用三角形的稳定性结构，其道理就是运用三角形的稳定性.1.你能举出一些在生活中运用

19、三角形稳定性的实例吗？你能举出一些在生活中运用三角形稳定性的实例吗？说一说说一说人字梯、照相三脚支架人字梯、照相三脚支架.某些铁塔、电线杆、某些铁塔、电线杆、自行车自行车.2.观察日常生活中常见的伸缩铁门，可以发现它们观察日常生活中常见的伸缩铁门，可以发现它们 都是由一个个的菱形或者平行四边形连接而成都是由一个个的菱形或者平行四边形连接而成 的，如果都换成三角形行不行呢？的，如果都换成三角形行不行呢？不行，因为伸缩铁门应用了平不行，因为伸缩铁门应用了平行四边形或菱形易变形的特征行四边形或菱形易变形的特征.举举例例例例7 如图如图3-44，已知，已知AB=DC，AD=BC.求证：求证：B=D.证

20、明：证明：在在ABC和和CDA中，中，因为因为 AB=CD，AD=CB，AC=AC，(公共边公共边)所以所以ABC CDA.()()于是得于是得 B=D.(全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等)SSS小括号内应填什么理由呢？小括号内应填什么理由呢？图图3-44练习练习1.右图右图是工人师傅常用的人字梯是工人师傅常用的人字梯.为了保证师傅为了保证师傅在人字梯上工作的安全，人字梯的两脚不能在人字梯上工作的安全，人字梯的两脚不能滑动滑动.你能想个办法使人字梯两脚不滑动吗你能想个办法使人字梯两脚不滑动吗？答答:用图中的铁钩，用图中的铁钩，钩住人字梯的另一边钩住人字梯的另一边.2.如图如图3-45，

21、已知，已知AD=BE，AE=BD.那么那么1和和2相等吗？相等吗？图图3-45答：相等答：相等.因为因为 AD=BE，BD=AE，AB公共公共，所以所以ABD BAE(SSS).所以所以 1=2(全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等).).中考中考 试题试题例例1 如图，四边形如图，四边形ABCD中，中，AC垂直平分垂直平分BD于点于点O，（1）图中有多少对全等三角形，请把它们都写出来）图中有多少对全等三角形，请把它们都写出来.（2）任选任选（1）中的一对全等三角形加以证明中的一对全等三角形加以证明.可利用可利用“SAS”、“SSS”、“ASA”等条件证等条件证3对三角形全对三角形全等等.

22、分析分析解解（1）图中共有）图中共有3对全等三角形，对全等三角形，AOBAOD，COBCOD，ABCADC.（2）证明）证明AOBAOD.证明证明 AC垂直平分垂直平分BD，BO=OD，AOB=AOD=90.在在AOB和和AOD中，中，AOBAOD.AO=AO(公共边公共边)，AOB=AOD(已证已证)，BO=DO(已证已证)，中考中考 试题试题例例2 如图，如图，A，B，C，D在同一直线上，在同一直线上，AB=CD，DEAF，若要使，若要使ACFDBE，则还需补充一个条件，则还需补充一个条件 .解解由间接条件由间接条件AB=CD可得可得AC=DB；由间接条件由间接条件DEAF可得可得A=D；

23、由由“AAS”或或“SAS”或或“ASA”可得可得ACFDBE，故可以补充条件：故可以补充条件：E=F 或或AF=DE 或或EBD=ACF，或，或BECF.E=F 或或AF=DE 或或EBD=ACF，或，或BECF.中考中考 试题试题例例3 如图，已知：如图，已知：ABCD中，中，E是是AD边的中点，边的中点，BE的延长的延长线与线与CD的延长线相交于点的延长线相交于点F.求证：求证：DEFAEB.题中隐含着题中隐含着AEB=DEF，又有，又有DFAB，可得到，可得到F=ABE.根据根据“AAS”可证明结论成立可证明结论成立.分析分析四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形,CDAB.F=ABE.E为为AD中点中点,DE=AE.AEB=DEF，DEF AEB.证明证明结结 束束