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1、严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。第七章第七章 平稳过程的谱分析平稳过程的谱分析谱密度及其性质谱密度及其性质留数定理在谱分析中的应用留数定理在谱分析中的应用白噪声白噪声随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统窄带过程窄带过程1严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。平稳过程的相关函数在时域上描述了平稳过程的相关函数在时域上描述了过程的统计特性，为了描述平稳过程在频过程的统计特性，为了描述平稳过程在频域上的统计特性域上的统计特性,需要引入了需要引入
2、了谱密度谱密度的概的概念。念。这章的内容主要讨论随机过程的谱分这章的内容主要讨论随机过程的谱分析析2严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。知识回顾：知识回顾：3严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。4严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。证明证明:非周期性确定性时间函数的帕塞瓦非周期性确定性时间函数的帕塞瓦（Parseval)等式为等式为:5严格执行突发事件上报制度、校外活动
3、报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。1 功率谱密度的定义功率谱密度的定义实际应用中，大多数时间函数能量无限，不满足傅氏变换条件实际应用中，大多数时间函数能量无限，不满足傅氏变换条件（绝对可积），讨论总功率无意义，故引进平均功率及功率密度。（绝对可积），讨论总功率无意义，故引进平均功率及功率密度。6严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。7严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。8严格执行突发事件上报制度、校外活
4、动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。9严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。10严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。2 功率谱密度与自相关函数的关系功率谱密度与自相关函数的关系 可以证明：均方连续的平稳随机过程的自可以证明：均方连续的平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度之间互为傅立叶变换对。相关函数与功率谱密度之间互为傅立叶变换对。这一个关系就是著名的维纳这一个关系就是著名的维纳-辛钦定理。即：辛钦定理
5、。即：11严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。3 功率谱密度的性质：功率谱密度的性质：12严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。当当X(t)为实平稳过程时为实平稳过程时功率谱功率谱定义：单边功率谱定义：单边功率谱13严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。14严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。方法方
6、法1:利用常用的傅立叶变换对利用常用的傅立叶变换对方法方法2:留数定理的利用留数定理的利用15严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。4 白噪声白噪声16严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。17严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。18严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。19严格执行突发事件上报制度、
7、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。白噪声自相关函数白噪声自相关函数(1)白噪声是一种理想化的数学模型。(2)白噪声可以具有不同的概率分布,例如 正态白噪声,瑞利分布律的白噪声等等。20严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。5平稳过程通过线性系统的分析平稳过程通过线性系统的分析l线性时不变系统线性时不变系统l频率响应与脉冲响应频率响应与脉冲响应l线性系统的统计特性分析（均值和相关函数）线性系统的统计特性分析（均值和相关函数）l线性系统的谱密度线性系统的谱密度21严格执行突
8、发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。线性时不变系统线性时不变系统l系统：对各种输入按一定的要求产生输出的装置。系统：对各种输入按一定的要求产生输出的装置。l如放大器，滤波器；波浪造成的轮船震动等。如放大器，滤波器；波浪造成的轮船震动等。l设系统的输入为设系统的输入为x(t)，系统的作用为，系统的作用为L，输出为，输出为y(t)，则有，则有 y(t)=Lx(t)l其中，其中，“L”称为算子，可以是加法、乘法、微分、积分和微分称为算子，可以是加法、乘法、微分、积分和微分方程求解等数学运算。方程求解等数学运算。22严格执行突发事件上报
9、制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。线性时不变系统线性时不变系统l对一个系统，若算子是线性的则称该系统是线性的。对一个系统，若算子是线性的则称该系统是线性的。23严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。线性时不变系统线性时不变系统24严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。线性时不变系统（结论）线性时不变系统（结论）l系统的线性，表现为系统的叠加性和比例性系统的线性，表现为系统的叠加性和比例性Lk
10、x(t)=kLx(t)），），更通用的表征为：更通用的表征为：l工程中，常用到的是输入和输出可用下列线性微工程中，常用到的是输入和输出可用下列线性微分方程来描述的系统：分方程来描述的系统：l系统的时不变性，表现为输入和输出的依赖关系不随时系统的时不变性，表现为输入和输出的依赖关系不随时间的推移而变化。间的推移而变化。25严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。频率响应和脉冲响应频率响应和脉冲响应l由线性信号的叠加性和比例性，可把输入信号看成许多单元信由线性信号的叠加性和比例性，可把输入信号看成许多单元信号所组成，而输出信号
11、就是由各个单元信号分别通过线性系统号所组成，而输出信号就是由各个单元信号分别通过线性系统后的总和后的总和l常常将输入信号分裂成单元脉冲信号和单元正弦信号。常常将输入信号分裂成单元脉冲信号和单元正弦信号。单元脉冲信号：冲击响应法，从时域分析系统；单元脉冲信号：冲击响应法，从时域分析系统；单元正弦信号：频率响应法，从频域分析系统单元正弦信号：频率响应法，从频域分析系统26严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。频率响应和脉冲响应频率响应和脉冲响应l意义：对线性时不变系统输入一谐波信号时，其输出也是同频率的意义：对线性时不变系统
12、输入一谐波信号时，其输出也是同频率的谐波，只不过振幅和相位有所变化。谐波，只不过振幅和相位有所变化。H(w)表示了这个变化，称为系表示了这个变化，称为系统的频率响应函数。统的频率响应函数。l频率响应函数：频率响应函数：27严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。频率响应和脉冲响应频率响应和脉冲响应l脉冲响应函数：脉冲响应函数：28严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。频率响应和脉冲响应频率响应和脉冲响应l对对(1)式作一些变换，可得：式作一些变换，可
13、得：l上面两式从时域描述了系统输入和输出间的关系，表明线性时不变上面两式从时域描述了系统输入和输出间的关系，表明线性时不变系统的输出等于输入和脉冲响应的卷积，即系统的输出等于输入和脉冲响应的卷积，即29严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。频率响应和脉冲响应频率响应和脉冲响应l脉冲响应的傅氏变换：脉冲响应的傅氏变换：30严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。频率响应和脉冲响应频率响应和脉冲响应l输入输入x(t)和输出和输出y(t)的傅氏变换：的傅氏
14、变换：l输入频谱输入频谱X(w)和输出频谱和输出频谱Y(w)有下列关系：有下列关系：Y(w)=H(w)X(w).它从频域角度给出了系统输入和输出的关系。它从频域角度给出了系统输入和输出的关系。l对于物理可实现系统，冲击响应函数应满足以下条件：对于物理可实现系统，冲击响应函数应满足以下条件：31严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。线性系统输出的均值和相关函数线性系统输出的均值和相关函数l当线性系统的输入为确定信号时，常用微分方程来描述输入和输当线性系统的输入为确定信号时，常用微分方程来描述输入和输出的关系，用出的关系，用
15、x(t)和和y(t)来表示。来表示。l当线性系统的输入为随机信号时，可用随机过程当线性系统的输入为随机信号时，可用随机过程X(t)和和Y(t)来表示。来表示。x(t)和和y(t)则用来表示随机过程的任一样本函数。则用来表示随机过程的任一样本函数。l对随机信号，常用信号的统计特性：均值和相关函数来描述其输对随机信号，常用信号的统计特性：均值和相关函数来描述其输入和输出特性及二者的关系。入和输出特性及二者的关系。l对线性系统的输出，有以下方法来研究其统计特性：对线性系统的输出，有以下方法来研究其统计特性：随机微分方程法：内容丰富但复杂。随机微分方程法：内容丰富但复杂。冲击响应法和频谱法冲击响应法和
16、频谱法32严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。线性系统输出的均值和相关函数线性系统输出的均值和相关函数l设设X(t)和和Y(t)为均方连续平稳过程，为均方连续平稳过程，x(t)是是X(t)的任一样本函数，有的任一样本函数，有l可以证明，当输入过程可以证明，当输入过程X(t)为均方连续平稳过程时，其输出为均方连续平稳过程时，其输出 也是平稳过程。也是平稳过程。33严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。线性系统输出的均值和相关函数线性系统输出的均值和
17、相关函数34严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。35严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。线性系统输出的均值和相关函数l说明：1.当输入过程X(t)平稳时，其输出的均值EY(t)为常数。相关函数 RY(t1,t2)=RY()表明输出是平稳的。并且，输出Y(t)和输入X(t)还 是联合平稳的。2.令v=-t，可得36严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。线性系统输出的均值和相
18、关函数线性系统输出的均值和相关函数l说明（续）：说明（续）：从上式可以看出，输出的相关函数可以通过两次卷积产生，第一次从上式可以看出，输出的相关函数可以通过两次卷积产生，第一次是输入相关函数与脉冲响应的卷积，其结果是是输入相关函数与脉冲响应的卷积，其结果是Y(t)和和X(t)的互相关函的互相关函数；第二次数；第二次RYX()是与是与 的卷积，其结果是的卷积，其结果是RY()。它们的关系它们的关系如图：如图：R Y()h()R X()R YX()37严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。线性系统的谱密度线性系统的谱密度l用
19、微分和冲击响应方法来求输出相关都比较复杂。用微分和冲击响应方法来求输出相关都比较复杂。l相关函数和功率谱密度是傅氏变换对，可以从输出谱密度来相关函数和功率谱密度是傅氏变换对，可以从输出谱密度来分析输入和输出的关系。分析输入和输出的关系。38严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。39严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。线性系统的谱密度l说明：1.线性系统的输出谱密度等于输入谱密度乘以增益因子。2.根据相关函数和谱密度的傅氏变换关系。可得输出相 关函
20、数的另一个比较简单的求法。40严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。线性系统的谱密度线性系统的谱密度41严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。线性系统的谱密度线性系统的谱密度mkx(t)y(t)r42严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。互谱密度互谱密度43严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。互谱密度
21、性质互谱密度性质44严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。线性系统的谱密度线性系统的谱密度Y1(t)H2()H1()X(t)Y2(t)45严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。6 窄带随机过程窄带随机过程 在多数通信系统中，有用的信号和在多数通信系统中，有用的信号和噪声常被具有频率选择性的滤波器，放大噪声常被具有频率选择性的滤波器，放大器加工、处理。仅仅只有那些在系统通频器加工、处理。仅仅只有那些在系统通频带内的信号和噪声输出，在通频带之外信带内的
22、信号和噪声输出，在通频带之外信号被抑制掉。号被抑制掉。这类信号一般具有窄带的特点，它的这类信号一般具有窄带的特点，它的频谱只占据一段较窄的频带。频谱只占据一段较窄的频带。46严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。窄带随机过程的定义：窄带随机过程的定义：47严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。窄带随机过程的功率谱密度窄带随机过程的功率谱密度48严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发
23、事件。一般正弦信号的谱一般正弦信号的谱一般正弦信号的复指数表示一般正弦信号的复指数表示49严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。任意信号的复指数表示任意信号的复指数表示50严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。解析过程的定义解析过程的定义51严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。希尔伯特变换的定义：希尔伯特变换的定义：52严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制
24、度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。希尔伯特变换的性质：希尔伯特变换的性质：53严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。证：说明：希尔伯特变化相当于一个900移相器：对所有频率的幅度相应都为1；对所有正频率分量移相-900，而对所有负频率移相+900，故H变化是一个正交变换。54严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。解析过程的性质解析过程的性质55严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报
25、并处理各类违纪行为或突发事件。56严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。窄带随机过程的莱斯表达式窄带随机过程的莱斯表达式57严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。证证：58严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。a(t)，b(t)的主要性质的主要性质59严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。60严格执行突
26、发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。窄带过程的准正弦振荡形式窄带过程的准正弦振荡形式可以证明，对于窄带过程，可以证明，对于窄带过程，都是缓慢都是缓慢变化的过程。变化的过程。61严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。窄带高斯随机过程窄带高斯随机过程 在电子系统中，常用一个宽带随机过在电子系统中，常用一个宽带随机过程激励一个高频线性系统，可以证明：当程激励一个高频线性系统，可以证明：当滤波器的带宽远小于输入过程的功率谱带滤波器的带宽远小于输入过程的功率谱带宽时
27、，根据中心极限定理，滤波器输出端宽时，根据中心极限定理，滤波器输出端的随机过程可以认为是窄带高斯过程。的随机过程可以认为是窄带高斯过程。62严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。窄带高斯随机过程包络和相位的分布窄带高斯随机过程包络和相位的分布63严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。证明证明:基本思路基本思路64严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。步骤步骤1 求求a(t)和
28、和b(t)的联合分布的联合分布65严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。66严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。步骤步骤2 求求A(t)和和 的联合分布的联合分布67严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。68严格执行突发事件上报制度、校外活动报批制度等相关规章制度。做到及时发现、制止、汇报并处理各类违纪行为或突发事件。步骤步骤3 求求 的一维概率密度函数的一维概率密度函数 69