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1、高三年级高三年级数学文科试题数学文科试题一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分分)1.若a,bR，i是虚数单位，且a(b2)i 1i，则a b的值为A1 B2C3D42.已知命题p:xR,2x 0，那么命题p为AxR,2x 0BxR,2x 0CxR,2x0DxR,2x03.已知直线l1:y x，若直线l2 l1，则直线l2的倾斜角为A.k(kZ)4B.3C.k(kZ)24D.344.平面向量a与b的夹角为60，a (2,0)，b 1，则a 2bA3B2 3C4D12(x y 3)(x y)05.不等式组表示的平面区域是0
2、x4A矩形B三角形C直角梯形D等腰梯形6.设aR，函数f(x)exaex的导函数是f(x)，且f(x)是奇函数，则a的值为A1B12C1D127.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7 名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100 分）的茎叶图如右图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x y的值为A7B8C9D168甲58x6902789乙61111y6第 7 题图8 莱因德纸草书（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的较小的两份之和，则最小的1份为1是7
3、A53B511C66D103x2y21（其中m,n2,5,4）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）9.从mn方程中任取一个，则此方程是焦点在y轴上的双曲线方程的概率为（）1A24B72C33D4x 1(x0)，,则函数y f f(x)1的零点个数是10.已知函数f(x)log2x(x 0)A4B3C 2D1二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 7 7 分，共分，共 3535 分，请将答案填在答题卡对应题号的分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上位置上)11.已知集合U 1,2,3,4,5,6，M 1,2,4,6，则UM 12.已知cos，且tan 0，则
4、sin13.某高三年级有500名同学，将他们的身高（单位：cm）数据绘制成频率分布直方图（如图），若用分层抽样的方法选取30人参加一项活动，则从身高在160,170)内的学生中选取的人数应为.14.某地区恩格尔系数y(%)与年份x的统计数据如下表:年份x恩格尔系数y(%)200447200545.5200643.520074145 4055.25，据此模 bx从散点图可以看出y与x线性相关，且可得回归直线方程为y型可预测 2013 年该地区的恩格尔系数(%)为15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为 .y0.035610.020正视图侧视图0.0100.005xO140150
5、160170180190俯视图第 13 题图第 15 题图16.已知实数x0,10，若执行如下左图所示的程序框图，则输出的x不小于 47 的概率为 .17.右下表中数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为aij(i,jN*)，则：（）a99；（）表中数82共出现次开始输入xn=1n=n+1x=2x+1n3否输出x结束是23456735791113471013161959131721256111621267131925313137第 16 题图第 17 题图三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 5 5 小题，共小题，共 6565 分，解答应写出文字说明，证明
6、过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18.（本小题满分 12 分）已知 A、B、C 为ABC的三个内角且向量CCC 3m (1,cos)与n (3sincos,)共线。2222（）求角 C 的大小：（）设角A,B,C的对边分别是a,b,c，且满足2acosC c 2b，试判断 ABC的形状19（本小题满分 12 分）在等差数列an中，a2a7 23，a3a8 29（）求数列an的通项公式；（）设数列anbn是首项为1，公比为c的等比数列，求bn的前n项和Sn20.（本小题满分 13 分）如图所示，四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为 2 的菱形，Q是棱PA上的动点（
7、）若Q是PA的中点，求证：PC/平面BDQ；（）若PB PD，求证：BD CQ；（III）在（）的条件下，若PA PC,PB 3,ABC 60，求四棱锥P ABCD的体积BCADQP第 20 题图21（本大题满分 14 分）已知ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(0,1)，(0,1)，且AC,BC所在直线的斜率之积等于m(m 0)（）求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E为何种圆锥曲线；（）当m 时，过点F(1,0)的直线l交曲线E于M,N两点，设点N关于x轴的对称点为Q(M,Q不重合)求证直线MQ与x轴的交点为定点，并求出该定点的坐标12x3 x2,x 122（本小题满分 14 分）已知函数f
8、(x)，其中a 0alnx,x1（）求f(x)在(,1)上的单调区间；（）求f(x)在1,e（e为自然对数的底数）上的最大值；（III）对任意给定的正实数a，曲线y f(x)上是否存在两点P、Q，使得POQ是以原点O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？参考答案及评分标准一、选择题：（每小题 5 分，10 小题共 50 分）1.D2.C3.D4.B5.D6.C7.B8.A9.B10.A二、填空题：（每小题 5 分，满 35 分）11.3,512.3113.914.29.2515.5216.0.517.（）82,（）5三解答题(本大题共 5 小题,共 65 分;解答应写出文字说明、
9、证明过程或演算步骤)18（）（）m与n共线3CCC311 cos(3sin cos)sinC(1 cosC)sin(C)22622222得sin(C)1C=6 分36（）方法 1：由已知a c 2b（1）根据余弦定理可得：c2 a2b2ab（2）8 分（1）、（2）联立解得：b(ba)0b 0,b a,又C=方法 2：由正弦定理得：3，ABC为等边三角形12 分2sin AcosC sinC 2sin B 2sin(AC)8 分2sin AcosC sinC 2sin AcosC 2cos AsinC1cos A，在ABC中 A.ABC为等边三角形12 分23方法 3：由（）知 C=，又由题设
10、得：a c 2b，在ABC中根据射影定理得：31ac 2(acosC ccosA)a2ccosAcos A 2,A 310 分又.C=，所以 ABC为等边三角形，12 分319.（）设等差数列an的公差是d 依题意a3a8(a2a7)2d 6，从而d 3所以a2a7 2a17d 23，解得a1 14 分所以数列an的通项公式为an 3n26 分（）由数列anbn是首项为1，公比为c的等比数列，得anbn cn1，即3n2bn cn1，所以bn3n2cn1 8 分所以Sn147(3n2)(1cc2cn1)n(3n1)(1cc22cn1)10 分n(3n1)3n2nn 从而当c 1时，Sn；11
11、分22n(3n1)1cn当c 1时，Sn12 分21c20（）证明:连结AC，交BD于OP P因为底面ABCD为菱形，所以O为AC的中点Q Q因为Q是PA的中点，所以OQ/PC，因为OQ 平面BDQ，PC 平面BDQ，所以PC/平面BDQ4 分B BA AO OC CD D（）证明：因为底面ABCD为菱形，所以AC BD，O为BD的中点因为PB PD，所以PO BD因为PO BD O，所以BD平面PAC因为CQ 平面PAC，所以BD CQ8 分（）因为PA PC，所以PAC为等腰三角形 因为O为AC的中点，所以PO AC由（）知PO BD，且AC BD O，所以PO 平面ABCD，即PO为四棱
12、锥P ABCD的高因为四边形是边长为2 的菱形，且ABC 60，所以BO 3 PO 6所以VPABCD21（）由题知：12 36 2 2 12 分3y 1 y 122 m化简得：mx y 1(x 0)2 分xx当m 1时 轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆，且除去(0,1),(0,1)两点；当m 1时 轨迹E表示以(0,0)为圆心半径是的圆，且除去(0,1),(0,1)两点；当1 m 0时轨迹E表示焦点在x轴上的椭圆，且除去(0,1),(0,1)两点；当m 0时轨迹E表示焦点在y轴上的双曲线，且除去(0,1),(0,1)两点；6 分（）设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,y2)(x1 x
13、2 0)依题直线l的斜率存在且不为零，则可设l:x ty 1，x2 y21(x 0)整理得(t2 2)y2 2ty 1 0代入22t1y1 y22，y1y22，9 分t 2t 2又因为M、Q不重合，则x1 x2,y1 y2y1 y2(x x1)令y 0，x1 x2y(x x1)ty(y y)2ty1y2得x x112 ty111211 2y1 y2y1 y2y1 y2故直线MQ过定点(2,0).13 分QMQ的方程为y y1解二：设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,y2)(x1 x2 0)依题直线l的斜率存在且不为零，可设l:y k(x 1)x2 y21(x 0)整理得：(12k2
14、)x24k2x 2k22 0代入24k22k22x1 x2,x1x2，9 分12k21 2k2y yQMQ的方程为y y112(x x1)令y 0，x1 x2y(x x1)k(x11)(x2 x1)2x1x2(x1 x2)得x x112 x1 2y1 y2k(x1 x22)x1 x22直线MQ过定点(2,0)13 分x3 x2,x 1,22.（）因为f(x)alnx,x1.当x 1时，f(x)x(3x 2)，22；解f(x)0得到x 0或 x 1所以f(x)在(,1)3322上的单调减区间为(,0)，(,1)：单调增区间为(0,)4 分3322（）当1 x1时，由（）知在f(x)(1,0)和(
15、,1)上单调递减，在(0,)上33224单调递增，从而f(x)在x 处取得极大值f()3327解f(x)0得到0 x 又f(1)2,f(1)0，所以f(x)在1,1)上的最大值为 26 分当1 x e时，f(x)alnx，当a 0时，f(x)在1,e上单调递增，所以f(x)在1,e上的最大值为a 所以当a 2时，f(x)在1,e上的最大值为a；当a 2时，f(x)在1,e上的最大值为 2.8 分（）假设曲线y f(x)上存在两点P,Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，则P,Q只 能在y轴的两侧，不妨设P(t,f(t)(t 0)，则Q(t,t3t2)，且t 1 9 分因为POQ是以O为直
16、角顶点的直角三角形，所以OPOQ 0，即：t2 f(t)(t3t2)0（1）10 分是否存在点P,Q等价于方程（1）是否有解若0t 1，则f(t)t3t2，代入方程（1）得：t4t21 0，此方程无解.11 分若t 1，则f(t)alnt，代入方程（1）得到：1(t 1)lnt12 分a1设h(x)(x 1)ln x(x1)，则hx()n l x1 0 x在(1,)上恒成立 所以h(x)在1,)上单调递增，从而h(x)min h(1)0，即有h(x)的值域为0,)（不需证明），所以当a 0时，方程1(t 1)lnt有解，即方程（1）有解a所以，对任意给定的正实数a，曲线y f(x)上存在两点P,Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上14 分