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1、2013高三数学模拟练习（3）（文）参考答案与评分标准答案一、填空题：（每小题4分，满分56分）1、已知复数满足（是虚数单位），则； 2、若全集，集合，则； 3、不等式的解为；4、若二项式展开式的常数项为，则1；5、将圆锥的侧面展开后得到一个半径为的半圆，则此圆锥的体积为；6、某学院的、三个专业共有名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本。已知该学院的专业有380名学生，专业有名学生，则在该学院的专业应抽取名学生；7、已知函数且的反函数为。若，则的值为； 8、数列满足：对于任意的，。若，则；9、若函数的图像与轴交于点，过点的直线与函数的图像交于另外两点、
2、，则_；10、袋中装有同样大小的个小球，其中有个白球，个红球。从中任取个球，取到白球得1分，取到红球得5分。则一次取得的两球的分数之和为分的概率等于；11、若双曲线上存在四个不同的点、，使四边形为菱形，则的取值范围为；12、设，其中实数满足。若的最大值为，则的最小值为；13、定义在上的偶函数对于任意的有，且当时，。若函数在上只有四个零点，则实数的值为；ABOMN14、某公园草坪上有一扇形小径（如图），扇形半径为，中心角为。甲由扇形中心出发沿以每秒米的速度向快走，同时乙从出发，沿扇形弧以每秒米的速度向慢跑。记秒时甲、乙两人所在位置分别为、，通过计算、判断下列说法是否正确。（1）当时，函数取最小值
3、；（2）函数在区间上是增函数；（3）若最小，则；（4）在上至少有两个零点。其中正确的判断序号是（2）、（3）、（4）（把你认为正确的判断序号都填上）。二、选择题：（每小题5分，满分20分）15、“”是“关于的实系数方程没有实数根”的（A）A、必要不充分条件；B、充分不必要条件；C、充分必要条件；D、既不充分又不必要条件。16、设是平面，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（C）A、若；B、若；C、若，则；D、若。17、设、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与相交于、两点，且、成等差数列，则的长为（ C ）A、；B、； C、；D、。 18、是定义在上周期为的周期函数，当时，。直线与函数的图像在轴
4、右边交点的横坐标从小到大组成数列。则 （A）A、对于恒成立；B、对于恒成立；C、对于恒成立；D、与的大小关系不确定。三、解答题：（共5大题，满分74分，解题要有必要的步骤）19、（本题满分12分，第（1）题6分，第（2）题6分）已知函数。（1）求函数的最小正周期与单调递增区间；（2）在中，若且，求角的值。解：（1） 2分 所以周期 3分由，得 即函数单调递增区间为。 6分 （2）、为三角形内角，所以、，由且得：或， 8分又，所以，则 10分所以 12分20、（本题满分14分，第（1）题7分，第（2）题7分）如图：是棱长为的正方体，面对角线上的点，满足，过作平面交于点，过作于。A1B1C1D1A
5、BCDPMN（1）求的长；（2）求异面直线与所成角的大小。解：（1）由题知：，则是直角三角形。1分，则，3分，则5分7分（2）因为，则。即有，所以即为异面直线与所成的角。 10分在直角三角形中，则。所以直线与所成的角为。 14分21、（本题满分14分，第（1）题7分，第（2）题7分）已知函数。（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若在上恒成立，求的取值范围。解（1），时，1分所以是奇函数3分时，不是奇函数；，不是偶函数。 6分综上知：当时，是非奇非偶函数；当时，是奇函数。 7分（2）时，在上恒成立。即：9分由，则在上恒成立。11分当时，所以，13分即。14分22、（本题满分16分，第（1）
6、题4分，第（2）题6分，6分）抛物线的焦点为圆：的圆心。（1）求抛物线的方程与其准线方程；（2）直线与圆相切，交抛物线于、两点：若线段中点的纵坐标为，求直线的方程；若直线过抛物线准线与轴的交点，求的面积。解（1）由得：，圆心，即。所以抛物线方程为 3分准线方程为。 4分（2）设：，由与圆相切得 （*） 6分再由得 设，则 8分由题意：，得代入（*）得：或所以直线方程为：或。 10分由题意：直线过，则，所以、在轴同侧又13分当时，代入得：16分23、（本题满分18分，第（1）题4分，第（2）题7分，第（3）题7分）若数列的每一项都不等于零，且对于任意的，都有（为常数），则称数列为“类等比数列”。已知数列满足：，对于任意的，都有。（1）求证：数列是“类等比数列”；（2）若是单调递增数列，求实数的取值范围；（3）当时，求的值。解：（1）因为，所以，所以数列是“类等比数列”。 4分（2），所以 5分当为奇数时，设，则， 当是偶数时，设，则。 7分因为递增，所以 8分即：，解得：。 11分（3）当时，。则。 13分当为偶数时，当为奇数时，。即：。 15分18分