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1、华中科技大学 2003 至 2004 学年第一学期复变函数与积分变换期末考试试题华中科技大学复变函数与积分变换试题2004.1.4系别_班级_学号_姓名_题号一二三四五六七八九得分得分评卷人总分一、填空（每题 3 分，共 24 分）12满足的实部是_，虚部是_，辐角主值是_.的点集所形成的平面图形为_，该图形是否为区域_.34的值为_；主值为_.在处可展成 Taylor 级数与在处解析是否等价？_.5积分的值为_，_.6函数在处 Taylor 展开式的收敛半径是_.7设_，其中,则定义为_.8函数得分得分得分评卷人评卷人评卷人的有限孤立奇点二、（6 分）设_，是何种类型的奇点？_.，问在何处可
2、导？何处解析？并在可导处求出导数值.三、（8 分）设解析函数.求的值使 为调和函数，并求出四、（10 分）将函数开为 Laurent 级数.在有限孤立奇点处展得分评卷人12求出五、计算下列各题（每小题 6 分，共 24 分），求在所有孤立奇点处的留数34得分得分得分评卷人评卷人评卷人六、（6 分）求上半单位圆域下的象.在映射七、（8 分）求一映射，将半带形域单位圆域.八、（6 分）设在内解析，在闭圆映射为上连续，且，证明：得分评卷人.九、（8 分）用 Laplace 变换求解常微分方程：华中科技大学复变函数与积分变换试题解答一、填空（每题 3 分，共 24 分）12满足的实部是，虚部是，辐角主
3、值是.的点集所形成的平面图形为，以2 为焦点，长半轴为3的椭圆，该图形是否为区域 否.在处可展成 Taylor 级数与在处解析是否等价？是.4的值为；主值为.5积分的值为，0.6函数在处 Taylor 展开式的收敛半径是1.7设其中,则定义为.8函数二、（6 分）设的有限弧立奇点0，是何种类型的奇点？可去.在何处可导？，问何处解析？并在可导处求出导数值.解：均连续，要满足条件，必须要成立（2 分）即仅当和时才成立，所以函数处处不解析；（2 分）三、（8 分）设解析函数解：因为调和函数，则有（2 分）求.，要使的值使 为调和函数，并求出即所以（4 分）时，为调和函数，要使，解析，则有（2 分）所
4、以即，故（2 分）四、（10 分）将函数开为 Laurent 级数.在有限孤立奇点处展解：的有限孤立奇点为及（2 分）1）当时（2 分）2）当（2 分）3）当4）当（2 分）五、计算下列各题（每小题 6 分，共 24 分）（2 分）1解：因，求在复平面上处处解析内，（3 分）由柯西积分公式知，在所以而点在内，故（2 分）（1 分）2求出在所有孤立奇点处的留数解：函数展开式：有孤立奇点 0 与，而且在内有如下 Laurent（3 分）故（2 分）（1 分）3解：，它共有两个二阶极点，且在实轴上无奇点，在上半平面仅有二阶极点，所以（2 分）（1 分）（3 分）4解：由三角函数公式（1 分）（2 分）令，则，于是（1 分）被积函数，由公式在内只有一阶极点故由留数定理（2 分）六、（6 分）求上半单位圆域下的象.解：令故将上半单位圆域映射为，则，（3 分）且沿 0 到 1 的半径有割痕.在映射（3 分）七、（8 分）求一映射，将半带形域单位圆域.解：映射为（2 分）（1 分）（2 分）（2 分）（1 分）八、（6 分）设且，证明：在内解析，在闭圆上连续，证：由于（2 分）（4 分）九、（8 分）用 Laplace 变换求解常微分方程：解：在方程两边取拉氏变换，并用初始条件得（4 分）即故（2 分）（2 分）