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1、解密06 三角函数的图象与性质考点热度 内容索引核心考点1 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式和诱导公式核心考点2 三角函数的图象核心考点3 三角函数的性质 高考考点三年高考探源预测三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式和诱导公式2020课标全国132021全国甲卷理92021全国甲卷文112021全国乙卷文6本节是高考考查的重点，主要考查：（1）三角函数的图像变换；（2）三角函数的性质及应用；（3）三角函数图像与性质的综合应用，有时也与三角恒等变形综合考查，多以选择题和填空题的形式呈现，难度中等偏下三角函数的图象与性质2020课标全国72020课标全国122019课标全国82021全
2、国甲卷理162021全国甲卷文152021全国乙卷理72021全国乙卷文4核心考点一 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式和诱导公式考法 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式和诱导公式变式一 利用三角函数的定义求三角函数的值 比为q，前1、（2021全国高一课时练习）已知角的终边经过点，且，则（ ）ABCD【答案】A【分析】利用三角函数的定义，列出方程，即可求解，得到答案.【详解】由题意，可得，根据三角函数的定义，可得且，解得.故选：A2、（2021江苏镇江高三期中）已知角的终边过点，且，则的值为（ ）A B C D【答案】D【分析】根据三角函数的定义，由求得参数，再求即可.【详解】角
3、的终边过点，故可得，解得.故.故选：D.技巧点拨任意角的三角函数值的求解策略（1）确定三个量：角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及该点到原点的距离；（2）若已知角的大小，只需确定出角的终边与以坐标原点为圆心的单位圆的交点的坐标，即可求出该角的三角函数值；（3）检验时，注意各象限三角函数值的正号规律：一全二正弦，三切四余弦变式二 利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式化简求值1、（2021全国高一课时练习）已知，且是第一象限角，则（ ）A B C D【答案】A【分析】根据题意，结合诱导公式与同角的三角函数关系，即可求解.【详解】根据题意，得，即，是第一象限角，故.故选：A.2、（2021江苏高一
4、专题练习）若sin(110)a，则tan70等于（ ）A B C D【答案】B【分析】利用诱导公式可得sin(110)sin70，再由同角三角函数的平方关系求cos70，最后应用商数关系求tan70即可.【详解】sin(110)sin110sin(18070)sin70a，sin70a，cos70，tan70.故选：B.3、（上海市长宁区2022届高三上学期一模数学试题）在直角坐标系中，角的始边为正半轴，顶点为坐标原点，若角的终边经过点，则 _【答案】【分析】结合三角函数的定义、诱导公式求得正确答案.【详解】.故答案为：4、（2021全国高一课时练习）已知，且，则（ ）A B C D【答案】A
5、【分析】利用诱导公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角，进而可求得结果.【详解】由得，又，故选：A.技巧点拨1应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”“正角化锐角”求值2巧用相关角的关系能简化解题的过程常见的互余关系有与，与，与等；常见的互补关系有与，与等核心考点二 三角函数的图象考法 三角函数的图象变式一 已知三角函数的图象求函数的解析式1、（2021全国高一单元测试）若将函数g(x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)Asin(x)的部分图象
6、如图所示，则（ ）Ag(x)sinBg(x)sin Cg(x)sin2xDg(x)sin【答案】C【分析】由函数的部分图象求出、和的值，写出的解析式，再得出的解析式【详解】由函数，的部分图象知，且，解答，所以；又，所以，；由知，；所以；所以故选：C2、（2021全国高一课时练习）已知函数（，）的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移（）个单位长度，所得图象关于直线对称，则的最小值为（ ）.A B C D【答案】C【分析】根据图象可得的周期，振幅和过，即可求出其解析式，然后可得平移后的解析式，然后根据对称性求出答案即可.【详解】设的最小正周期为，由图知，将代入，得，又，将的图象向左平移，所得
7、函数的解析式为：，的图象关于直线对称，（），（），的最小值为，故选：C.变式二 三角函数的图象变换1、（2021四川省绵阳南山中学高一阶段练习）如图是函数在区间上的图象为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（ ）A向左平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B向左平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变C向左平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D向左平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变【答案】A【分析】利用图象求出函数的解析式，利用三角图象变换可得出结论.【详解】设，由图可知，函数的最小正周期为，则，且函数
8、在附近单调递减，所以，所以，所以，其中，因此，为了得到函数的图象，只要将的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变.故选：A.2、（2021陕西西安中学高三阶段练习（理）将函数的图像沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为（ ）A B CD【答案】A【分析】首先根据平移变换得到为偶函数，从而得到，再结合选项即可得到答案.【详解】函数的图像沿x轴向右平移个单位，得到，因为为偶函数，所以，即，.当时，.故选：A3、（2021陕西蒲城高三期中（理）设函数，若对于任意的实数x，恒成立，则的最小值等于（ ）A0 B1 C D【答案】D【分析】由
9、题意可得是函数的最小值，故，由此可得的最小值【详解】函数，若对于任意的实数x，恒成立，是函数的最小值，故，即，则令k0，可得的最小值为.故选：D4、（2021四川宜宾模拟预测（理）已知函数在区间内恰好有3个零点，则的取值范围是（ ）A B CD【答案】C【分析】先求出的范围，然后结合函数图象和零点个数可得：，进而求出.【详解】因为，所以，因为在区间内恰好有3个零点，结合函数图象可得：，解得：，的取值范围是故选：C5、（2021全国高考真题（文）已知函数的部分图像如图所示，则_.【答案】【分析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.【详解】由题意可得：，当时，令可得：，据此有：.故答案为：.【
10、点睛】已知f(x)Acos(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：(1)由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令x00(或x0)，即可求出.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.6、（2021全国高考真题（理）已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为_【答案】2【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可
11、得.【详解】由图可知，即，所以；由五点法可得，即；所以.因为，；所以由可得或；因为，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，可得的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.技巧点拨作三角函数图象左右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x的变化量，因此由ysin x(0)的图象得到ysin(x)的图象时，应将图象上所有点向左(0)或向右(0)平移个单位，而非|个单位核心考点三 三角函数的性质考法 三角函数的性质变式
12、一 三角函数的单调性1、（2021全国高一课时练习）函数的单调递增区间是（ ）A（）B（）C（）D（）【答案】B【分析】根据余弦函数单调性，解不等式得到答案.【详解】，令，解得，.故选：B.2、（2021陕西长安一中高二期中（文）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的有_.的周期为 在单调递增在单调递减 的一条对称轴的方程为【答案】【分析】由平移法则逆向求出，由周期公式可判断，由整体代入法可判断.【详解】由题可知，要得到，需将的图象，向左平移个单位长度得到，再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的倍得到，周期
13、为，故错；当时，故在单调递增，正确；当时，故在单调递减，正确；当时，故正确；故答案为：3、（2021新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中）已知函数的图象C1向左平移个单位得到图象C2，则C2在0，上的单调减区间是_【答案】，【分析】根据正弦型函数的变换性质，结合正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】由题设可知C2的曲线方程:，令，得令k0得C2在0，上的单减区间为，故答案为：，4、（2021全国高考真题（理）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）AB CD【答案】B【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐
14、次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，根据已知得到了函数的图象，所以，令,则,所以,所以；解法二：由已知的函数逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，即为的图象，所以.故选：B.技巧点拨1求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性“同增异减”的规律2对于三角函数的定义域有范
15、围限制时，在求单调区间时应给予关注，一定要在定义域范围内研究其单调区间3已知三角函数的单调区间求参数的问题，一般先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解变式二 三角函数的值域与最值1、（2021江苏高一专题练习）ysin x|sin x|的值域是（ ）A1,0B0,1 C1,1 D2,0【答案】D【分析】根据的范围，去绝对值，由正弦函数的性质可求得函数的值域【详解】解：当 时， ，所以，当，又 ，所以函数的值域为，故选：D.2、（2021西藏拉萨那曲高级中学高三期中（文）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象（1）求函数解析式并化为形式；（2）求函数的最小正周期和值域【答案】（1
16、）；（2）最小正周期为，值域为.【分析】（1）根据三角函数图象变换可得出函数的表达式，然后利用三角恒等变换可化简函数的解析式；（2）利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，利用正弦型函数的有界性可求得函数的值域.（1）解：由已知可得，所以，.（2）解：函数的最小正周期为，值域为.3、（2021黑龙江哈尔滨高三阶段练习（文）已知函数的部分图象如图所示（1）求的解析式及对称中心坐标：（2）先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，求的值域【答案】（1），()（2）【分析】（1）先根据图象得到函数的最大值和最小值，由此列方程组求得的值，根据周期求得的值，根据求得的
17、值，由此求得的解析式，进而求出的对称中心；（2）根据三角变换法则求得函数的解析式，再换元即可求出的值域（1）由图象可知：,解得：，又由于,可得：,所以由图像知,又因为所以,.所以 令(),得：()所以的对称中心的坐标为()（2）依题可得，因为，令，所以，即的值域为技巧点拨求解三角函数的值域（最值）的类型与方法：（1）形如的三角函数，可先化为的形式，再求解；（2）形如的三角函数，可先设sin x=t，转化为关于t的二次函数求解（3）形如的三角函数,可先设得,把原解析式化为关于t的二次函数，再求解变式三 三角函数的奇偶性、周期性、对称性1、（2021全国高一课时练习）若函数（，）的部分图象如图，则
18、函数图象的一个对称中心可能为（ ）.ABCD【答案】C【分析】根据图象求出，然后得到的解析式，然后可得答案.【详解】由题意得，即，把点代入方程可得，所以，即因为，所以，因为，所以函数的一个对称中心为，故选：C.2、（2021全国高一课时练习）在下列函数中，同时满足：在上单调递增；为周期函数；最小正周期为的是（ ）A B C D【答案】C【分析】根据题意，结合三角函数图像性质，一一判断即可.【详解】对于选项AD，结合正切函数图象可知，和的最小正周期都为，故AD错误；对于选项B，结合余弦函数图象可知，在上单调递减，故B错误；对于选项C，结合正切函数图象可知，在上单调递增，且最小正周期，故C正确.故
19、选：C.3、（2020陕西西乡县教学研究室高二期末（理）若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则a的最小值为（ ）A B C D【答案】B【分析】利用降次公式、辅助角公式化简，结合三角函数图象变换求得的最小值.【详解】.向左平移个单位得到，其图象关于原点对称，所以，由于，所以的最小值为.故选：B技巧点拨1整体思想在三角函数性质中的应用在求解yAsin(x)的奇偶性、单调性、对称性及已知区间上的最值问题时往往将x看作整体，利用yAsin x的图象与性质进行求解2三角函数最小正周期的变化仅与自变量x的系数有关，与其他因素无关3研究三角函数性质时注意数形结合思想的运用学科网（北京）股份有限公司