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1、高等学校招生统一考试数学模拟卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.（1）设集合 A 和 B 都是坐标平面上的点集 x,y|xR R,yR R，映射f:A B把集合 A 中的元素x,y映射成集合 B 中的元素x y,x y，则在映射f下，象2,1的原象是（A）3,1 3 1（B）,2 2 31（C）,22（D）1,3（2）复平面内，把复数33i对应的向量按顺时针方向旋转（A）23（B）2 3i（C），所得向量对应的复数是3（D）33i3 3i（3）一长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是（A）23（B）32（C）6（D）6（4）设a、b、
2、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则abc cab 0a b a bbca cab不 与c垂 直3a 2b3a 2b 9a 4b中，是真命题的有22（A）（B）（C）（D）（5）函数y xcosx的部分图象是（6）中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800 元的部分不必纳税，超过 800 元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额不超过 500 元的部分超过 500 元至 2000 元的部分超过 2000 元至 5000 元的部分税率5%10%15%某人一月份应交纳此项税款26.78 元，则他的当月工资、薪金所得介于（A）800900
3、 元（B）9001200 元（C）12001500 元（D）15002800 元（7）若a b 1，P=lgalgb，Q=a b1lga lgb，R=lg，则22（A）RPQ（B）PQR（C）QPR（D）PRQ（8）右图中阴影部分的面积是（A）2 3（B）92 3（C）3532（D）3312142（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（A）122（B）144（C）（D）（10）过原点的直线与圆x2 y24x 3 0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（A）y 3x（B）y 3x（C）y 3x3（D）y 3x3（11）过抛物线y ax2a 0的焦点 F 作一直
4、线交抛物线于 P、Q 两点，若线段PF 与 FQ的长分别是p、q，则（A）2a11等于pq（B）12a（C）4a（D）4a（12）如图，OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（A）132（B）111（C）（D）42a22二填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.（13）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2 件，其中次品数的概率分布是p012x2y2（14）椭圆1的焦点为F1、F2，点 P 为其上的动点，当F1PF2为钝角时，点 P94横坐标的取值范围是_.（15
5、）设an是首项为 1 的正项数列，且n 1an1 nan an1an 0（n=1，2，3，），22则它的通项公式是an=_.（16）如图，E、F 分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是_.（要求：把可能的图的序号都填上）三、解答题：本大题共 6 小题,共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分 10 分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有 10 个不同的题目，其中选择题 6 个，判断题 4个.甲、乙二人依次各抽一题.（I）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（II）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概
6、率是多少？注意：在（18 甲）、（18 乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（18 甲）计分.（18 甲）（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面ABC 中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.（I）求BN的长；（II）求cos BA1，CB1的值；（III）求证A1BC1M.（18 乙）（本小题满分 12 分）如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD 是菱形，且C1CB=C1CD=BCD=60.（I）证明：C1CBD；（II）假定 CD=2，C1C=3，记面C1BD为，面2CBD 为，求二面角 BD
7、的平面角的余弦值；（III）当CD的值为多少时，能使A1C平面CC1C1BD？请给出证明.（19）（本小题满分 12 分）设函数fxx21 ax，其中a 0.（I）解不等式fx1；（II）求a的取值范围，使函数fx在区间0,上是单调函数.（20）（本小题满分 12 分）用总长 14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.（21）（本小题满分 14 分）（I）已知数列cn，其中cn 2n3n，且数列cn1 pcn为等比数列，求常数p.（II）设an、bn是公比不相等的两个等比数列，cn anbn，证明
8、数列cn不是等比数列.（22）（本小题满分 14 分）如图，已知梯形ABCD 中AB 2CD，点 E 满足AE=EC，双曲线过 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点.当23时，求双曲线离心率e的取值范围.34参考答案（1）B（2）B（3）C（4）D（5）D（6）C（11）C（12）D（7）B（8）C（9）A（10）C（13）010.095（15）2P（14）0.90250.002535 x 351n（16）1（17）满分 10 分.解：（I）甲从选择题中抽到一题的可能结果有C6个，乙依次从判断题中111C4抽到一题的可能结果有C4个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有C6个；11C
9、9又甲、乙依次抽一题的可能结果有C10个，所以甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概11C6C44率为141，所求概率为；15C10C9155 分11C4C（II）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为131，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择C10C911C4C1313题的概率为1131，所求概率为.15C10C91511111114413C6C5C6C4C4C13或1111161，所求概率为.15C10C9C10C9C10C9315151510 分注意：在（18 甲）、（18 乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（18 甲）计分.（18 甲）满分 12 分.如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系
10、O xyz.（I）解：依题意得 B0,1,0，N1,0,1，BN 2 分1020121023（II）解：依题意得A11,0,2，B0,1,0，C0,0,0，B10,1,2.BA11,1,2，CB10,1,2.BA1 CB1 3，BA16，CB15.5 分cosBA1CB1 BA1CB1BA1 CB1130109 分1 11 1（III）证明：依题意得C10,0,2，M,2A1B 1,1,2，C1M,0，2 22 2A1B C1M 110 0，A1B C1M，A1BC1M.2212 分（18 乙）满分12 分.（I）证明：连结A1C1、AC，AC 和 BD 交于 O，连结C1O.四边形 ABCD
11、 是菱形，ACBD，BC=CD.又BCC1 DCC1,C1C C1C，C1BC C1DC，C1B C1D，DO=OB，C1OBD，但 ACBD，ACC1O=O，BD平面AC1.又C1C 平面AC1，C1CBD.4 分（II）解：由（I）知 ACBD，C1OBD，C1OC是二面角 BD 的平面角.在C1BC中，BC=2，C1C 2223，BCC1 60，26313 3C1B 2 22cos60.224分 OCB=30，OB=C1O 1139BC=1.C1O2C1B2OB21，24433即C1O C1C.作C1HOC，垂足为 H.点 H 是 OC 的中点，且 OH，22OH3.C1O38 分所以c
12、osC1OC（III）当CD1时，能使A1C平面C1BD.CC1CD1，BC=CD=C1C，又BCD C1CB C1CD，CC110 分证法一：由此可推得 BD=C1B C1D.三棱锥 C-C1BD是正三棱锥设A1C与C1O相交于 G.A1C1AC，且A1C1OC=21，C1GGO=21.又C1O是正三角形C1BD的 BD 边上的高和中线，点 G 是正三角形C1BD的中心，CG平面C1BD.即A1C平面C1BD证法二：由（I）知，BD平面AC1，A1C平面AC1，BDA1C.10 分当12 分CD1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，CC1同 BDA1C的证法可得BC1A1C.又 BDBC1=
13、B，A1C平面C1BD.12 分（19）满分 12 分.思路 1：（I）不等式fx1即x21 1 ax，由此得11ax，即ax 0，其中常数a 0.所以，原不等式等价于x211 ax2,x 0即2a 1 x 2a 0 x 0.3 分2a 所以，当0 a 1时，所给不等式的解集为x|0 x；21a 当a 1时，所给不等式的解集为x|x 0.（II）在区间0,上任取x1，x2，使得x1x2.6 分fx1 fx2x 1 x 1 ax1 x2212222x1 x22x11 2x21 ax1 x2x1 x2x1 x2a.8 分x21x2112（i）当a 1时，x1 x22x11 2x211，x1 x22
14、x11 2x21a 0，又x1 x2 0，fx1 fx2 0，即fx1 fx2.所以，当a 1时，函数fx在区间0,上是单调递减函数.（ii）当0 a 1时，在区间0,上存在两点x1 0，x210 分2a，满足21afx11，fx21，即fx1 fx2，所以函数fx在区间0,上不是单调函数.综上，当且仅当a 1时，函数fx为区间0,上的单调函数.思路 2：f(x)12 分xx 1x2 a.4 分(i)当a 1时，有x 12 1 a.，此时f(x)0.函数f(x)在区间（,+）上是单调递减函数.但 f(0)=1,因此，当且仅当x0 时f(x)18 分/(ii)当 a 1时：解 不 等 式f(x)
15、0得x a1 a2，f(x)在 区 间a/,上是单调递减函数；同理，解不等式f(x)0得x 1 a2在区间a1 a2，f(x)a2a，上是单调递增函数.解方程 f(x)=1 得x 0或x.221 a1 a因为0 a1 a22a2a，所以，当且仅当0 x 时f(x)1.1 a21 a2综上：()当 a1 时，f(x)1的解集为x x 0；当a1 时f(x)1的解集为x0 x 2a.21 a12 分()当且仅当 a1 时，f(x)在区间0,+上是单调函数.（20）满分 12 分.解：设容器底面短边长为xm，则另一边长为x 0.5m，高为14.84x 4x 0.5 3.22x由3.22x 0和x 0
16、，得0 x 1.6，4设容器的容积为ym3，则有y xx 0.53.22x0 x 1.6整理，得y 2x32.2x21.6x，y 6x2 4.4x 1.6令y 0，有 6x2 4.4x 1.6 0，即15x211x 4 0，解得x11，x2 6 分4（不合题意，舍去）.158 分从而，在定义域（0，16）内只有在x 1处使y 0.由题意，若x过小（接近0）或过大（接近 1.6）时，y值很小（接近 0），因此，当x 1时y取得最大值y最大 2 2.2 1.6 1.8，这时，高为3.2211.2.答：容器的高为 1.2m 时容积最大，最大容积为1.8m3.12分（21）满分 14 分.解：（I）因
17、为cn1 pcn是等比数列，故有cn pcncn2 pcn1cn pcn1，2将cn 2n3n代入上式，得2n13n1 p 2n3n=22n2 3n2 p 2n1 3n1 2n 3n p 2n1 3n1 分即2 p2n3 p3n=2 p2n13 p3n12 p2n13 p3n1，整理得2 12 p3 p2n3n 0，解得p=2 或p=3.6分（II）设an、bn的公比分别为p、q，pg,cn anbn.2 c1c3.为证cn不是等比数列只需证c2222a1p b1q a1p b12q2 2a1b1pq，事实上，c2222p b12q2 a1b1p2 q2.c1c3a1b1a1p2b1q2 a1
18、12 分由于p q，p2 q2 2pq，又a1、b1不为零，2 c1c3，故cn不是等比数列.因此，c214 分（22）满分 14 分.解：如图，以 AB 的垂直平分线为y轴，直线 AB 为x轴，建立直角坐标系xOy，则 CDy轴.因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的 c对称性知 C、D 关于y轴对称.依题意，记 Ac,0，C,h，Ex0,y0，2其中c 1|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高.由AE EC，即2（x0 c,y0)(x0c x0,h y0)得2分(2)ch，y02(1）1 设双曲线的方程为 EMBED Equation.3，则离心率 EMBED Equation.3.由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和 EMBED Equation.3代入双曲线的方程得 EMBED Equation.3=27 分由式得 EMBED Equation.3，*GB3将式代入式，整理得 EMBED Equation.3，故 EMBED Equation.3.由题设 EMBED Equation.3得，EMBED Equation.3.解得 EMBED所以，双曲线的离心率的取值范围为 EMBED Equation.3.EMBED Equation.3.14 分