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1、高等代数期中考试试题高等代数期中考试试题一填空题（每小题 4 分，共 40 分）。1.设是则上的线性变换，下的矩阵为,2.设，3已知的线性变换，在基其中R是实数域，中线性变换矩阵为则在基下的矩阵为4.已知矩阵对应，则A的特征值为-1 ,5的特征向量分别为，；，.5.已知矩阵可对角化，则k=.的行列式6已知三级矩阵A的三个特征值为 1，2，3，则=.7已知矩阵A的特征矩阵与矩阵等价，则的标准形及A的 Jordan 标准形分别为，.8已知矩阵A的 Jordan 标准形为，则A的有理标准形为9设的特征多项式为准形。10设矩阵A的特征多项式为式为。，写出A的所有可能的 Jordan 标，则A可逆，的特
2、征多项二（10 分）设V 是数域 P 上的 4 维线性空间，是 V 上的线性变换，在基下的矩阵，试求含的最小不变子空间.三（10 分）设是n维线性空间V上的线性变换，证明：维即,的秩+的零度=n维n四.（15 分）求矩阵的 Jordan 标准形及A的最小多项式。在基下的矩阵五（15 分）设 3 维线性空间V上线性变换，记L（V）为V上线性变换全体，1）证明：2）求是 L(V)的子空间；的一组基和维数.六(10 分)设A，B为n级实矩阵，证明：若A，B在复数域上相似，则A，B在实数域上也相似。参考答案参考答案一填空题（每小题 4 分，共 40 分）。1.设是上的线性变换，,则下的矩阵为2.设的线
3、性变换，其中R是实数域，3已知中线性变换在基矩阵为则在基下的矩阵为4.已知矩阵对应，则A的特征值为-1 ,，5，不同时为零且的特征向量分别为；，.5.已知矩阵可对角化，则k=1 .的行列式6已知三级矩阵A的三个特征值为 1，2，3，则=100 .7已知矩阵A的特征矩阵与矩阵等价，则的标准形及A的 Jordan 标准形分别为，.8已知矩阵A的 Jordan 标准形为，则A的有理标准形为9设的特征多项式为，写出A的所有可能的 Jordan 标准形。10设矩阵A的特征多项式为，则A可逆，的特征多项式为。二（10 分）设V 是数域 P 上的 4 维线性空间，是 V 上的线性变换，在基下的矩阵，试求含的
4、最小不变子空间.解：由题意可知设含的最小不变子空间.为W，则，由，可知，再由证毕。可知，即的最小性可知，因为W，是-不变子空间，则，所以所以。，因此，由，即，而三（10 分）设是n维线性空间V上的线性变换，证明：维维n即,的秩+的零度=n证明：见书中定理。四.（15 分）求矩阵的 Jordan 标准形及A的最小多项式。解所以A的不变因子为，。A的初等因子为，。所以矩阵A的 Jordan标准形为：。是A的最小多项式。A的最小多项式是A的最后一个不变因子，所以五（15 分）设 3 维线性空间V上线性变换在基下的矩阵，记L（V）为V上线性变换全体，1）证明：2）求是 L(V)的子空间；的一组基和维数.证明：1）0，即，子空间。，所以为的3）设在下的矩阵为B，则AB=BA。=所以=，即，即=，=，=0，即，=，所以的一组基为，其中，的维数是 3。六(10 分)设A，B为n级实矩阵，证明：若A，B在复数域上相似，则A，B在实数域上也相似。证明：由于A，B在复数域上相似，所以它们有相同的初等因子，因此它们有相同的不变因子，又因为A,B是实系数矩阵，它的不变因子为实系数多项式，所以在实数域上，不变因子相同，两矩阵相似。