资源描述
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一、填空题（共30分，每填对一空得3分）
1、函数在点处沿方向有最大方向导数，最大方向导数等于．
2、设，则 ， ．
3、函数由方程确定；则 ， ．
4、微分方程的通解为；的通解为 ．
5、设函数连续，，
其中D由直线，和所围，则，．
二、单项选择题（共20分，每题4分）
1、设函数的全微分，则点 (D) ．
(A) 不是的连续点；
(B) 不是的极值点；
(C) 是的极大值点；
(D) 是的极小值点．
2、设函数，则 (B) ．
(A) 存在，不存在；
(B) 不存在，存在；
(C) 和都存在；
(D) 和都不存在．
3、设积分域：，，，，
则 (B) ．
(A) ；
(B) ；
(C) ；
(D) ．
4、设函数连续，，则等于 (D) ．
(A) ；
(B) ；
(C) ；
(D) ．
5、函数在点处可微的一个充分条件是 (D) ．
(A) ；
(B) , ；
(C) 且 ；
(D) ．
三、（10分）求微分方程 通解．
解 特征方程 ，特征根 ；
------2分
对应的齐次方程的通解 -----5分
设原方程的特解并代入原方程，解得: -----9分
原方程的通解: -----10分
四、（10分）求曲线L： 在点处的切线和法平面方程．
解 对x求导，得
在点处，，得
， ------6分
切线方程： -----8分
法平面方程： -----10分
五、（10分）计算二重积分 ，其中：．
解 （奇偶性+对称性）-------2分
（轮换对称性） -------4分
------10分
六、（10分）在曲面S：上求距离平面的最近点、最远点．
解 点到平面的距离 ，---2分
设 ------2分
令 ------6分
解得 最近点，最远点 -----10分
六、（10分）在曲面S：上求距离平面：的最近点、最远点．
解令 , 椭球面S过切平面方程
令，有: ， (1)
又： ， (2)
解得最近点，最远点
定理 设，而为实二次曲面
若 Ax0 + By0 + Cz0 + G,
Bx0 + Dy0 + Ez0 + H,
Cx0 + Ey0 + Fz0 + I ,
不全为零, P0 称为S 的寻常点. 则二次曲面S 在处的切平面方程为:
七、（10分）设函数在内二阶连续可微，，，且
满足，求．
解 令，
则 ，；
，. --4分
代入原方程并化简，得 ，即
， ------5分
从而 。
由，得，故：。
，
再由，得，
所以 . ------10分
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