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1、数学思维训练导引主要面向在学校学有余力的学生，希望能激发学生进一步学习数学的兴趣，因此对知识的范围和难度有所控制，目的是让数学能力突出的学生接受系统化的训练，其难度上符合大多数竞赛的要求，且具有较深厚竞赛数学功底的学生，这里给学生提出了更高的要求，更大的挑战，激励学生进一步探索和思考。第第 1 1 讲讲整数计算综合整数计算综合内容概述熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算方法处理各种数列的计算问题。学会处理“定义新运算”的问题，初步体会用字母表示数。典型问题兴趣篇1.计算：(1)121328;(2)4(2508)(3)2583321252.计算：(1)56
2、22+5633+5644(2)22233+88966.3.计算：(1)3747+3653(2)1237612475。4.计算：10099+9897+9695+1211+10.5.计算：50+494847+46+454443+43+2+1.6.计算：(1+3+5+7+199+201)(2+4+6+8+198+200).7.计算：1+2+3+4+48+49+50+49+48+4+3+2+1.8.下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。游戏规则是：对一个给定的数，按照由若干个7 和 8 组成的口令进行一连串的变换。口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令“8”是指将这个数中的一
3、个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。例如：给出的数是 1995，口令是“87，”在第一个口令“8”发出后变成 995，在第二个口令“7”发出后变成 9995。如果给出数“6595”以及口令“878788”，问：变换后依次得到的6 个数的和是多少？9.规定运算“”为：ab=(a+1)(b1),请计算：(1)810;(2)108.10.规定运算“”为：a b=ab(a+b),请计算：(1)5 8;(2)8 5;(3)(6 5)4;(4)6 (54)拓展篇1.计算：(1)722788(91112);(2)3112188125(1000121).2.计算：(1)555445556444;(2)4213
4、78015+581387015.3.计算：20092009200920092008200820092008.4.计算：1+23+4+56+7+89+97+9899.5.计算：1009999989897979696959594+433221.6.在不大于 1000 的自然数中，A 为所有个位数字为 8 的数之和，B 为所有个位数字为 3 的数之和.A与 B的差是多少？7.求图 1-1 中所有数的和.8.已知平方差公式：a2b2(ab)(ab)，计算：20219218217216215222129.计算：9519495248.10.规定运算“”为：ab=a+2b2,计算：(1)(87)6;(2)8
5、(76)11.规定运算“”为：ab=(a+1)(b2).如果 6(5)=91,那么方格内应该填入什么数？12.规定：符号“”为选择两数中较大的数的运算，“”为选择两数中较小的数的运算，例如：35=5，35=3 请计算：1234567100.（运算的顺序是从左至右）超越篇1.观察下面算式的规律：2000+199119881982+1976+197019641958+1952+194619401934+一直这样写下去，那么最后 4 个自然数分别是哪 4 个？符号分别是加还是减？算式最终的结果为多少？2.从 1,2,9,10 中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积，把所有这样的
6、乘积全部加起来，总和是多少？3.计算：13+610+1521+28+4950.4.已知平方差公式：a b (ab)(ab),计算：221002992982972962952942932423222125.ab 表示从 a 开始依次增加的 b 个连续自然数的和，例如：43=4+5+6=15,54=5+6+7+8=26,请计算：(1)415(2)在算式（7）11=1056 中，方框里的数应该是多少？6.定义两种运算：ab=ab+1,ab=ab+1,用“”、“”和括号填入下面的式子，使得等式成立（不能用别的计算符号）：7345=27.现定义四种操作的规则如下：“一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把
7、它除以2；如果是奇数，就先加上1，然后除以 2.例如从16 可以得到 8，从 27 可以得到 14.“丢三落四”：如果一个自然数中包含数字“3”或“4”，就将其划掉，例如从 5304 可以得到 50，从408 可以得到 8.（不含数字 3 和 4 的自然数不能进行“丢三落四”操作）“七上八下”：如果一个自然数中包含数字“7”，就将所有“7”移到最左边；如果一个自然数中包含数字“8”，就将所有“8”移到最右边。例如从 98707 可以得到 77908，从 802 可以得到 28.（不含数字 7和 8 的自然数不能进行“七上八下”操作）“十全十美”：将一个自然数的个位数字换成0.例如从 111 可
8、以得到 110，从 905 可以得到 900.(个位是 0 的自然数不能进行“十全十美”操作)(1)请写出对 4176 依次进行操作后的结果：(2)从 655687 开始，最少经过几次操作以后可以得到0？(3)一个三位数除了“丢三落四”外，其他三个操作各进行一次之后得到的结果是8.求有多少个这样的三位数.图 1-2 是同学们都很熟悉的九九乘法口诀表，表中所有乘积的总和是多少？第第 2 2 讲讲和差倍问题三和差倍问题三内容概述数量关系复杂，需要深入分析的和差倍问题；由于数量大小改变，而产生倍数关系变化的问题；需要利用比较或分组的方法进行分析的问题。典型问题兴趣篇1.有长、短两根竹竿，长竹竿的长度
9、是短竹竿长度的3 倍.将它们插入水塘中，插入水中的长度都是40厘米，而露出水面部分的总长为160 厘米.请问：短竹竿露在外面的长度是多少厘米？2.李师傅某天生产了一批零件，他把它们分成了甲、乙两堆.如果从甲堆中拿出 15 个放到乙堆中，则两堆零件的个数相等；如果从乙堆中拿出 15 个放到甲堆中，则甲堆零件的个数是乙堆的 3 倍.问：甲堆原来有零件多少个？李师傅这一天共生产零件多少个？3.一个六边形广场的边界上插有 336 面红旗和黄旗.六边形的每个顶点处都插有红旗，每条边上的红旗数目一样多，并且每两面红旗间插有相同数目的黄旗.已知每条边上黄旗比红旗的 2 倍还多 12 面，那么每两面红旗间插有
10、几面共旗？4.爸爸和冬冬一起搬砖，爸爸所搬的砖头数是冬冬的3 倍.冬冬觉得自己搬的砖头太少了，又搬了24 块砖头，于是爸爸所搬的砖头数是科科的2 倍.请问：最后爸爸和冬冬各搬了多少块砖？5.四年级三班买来单价为5 角的练习本若干.如果将这些练习本只分给女生，平均每人可得15 本；如果将这些练习本只分给男生，平均每人可得 10 本.请问：将这些练习本平均分给全班同学，每人可以得到多少本？此时每人应付多少钱？6.有甲、乙、丙三所小学的同学来参加幼苗杯数学邀请赛，其中甲校参赛人数比乙校多 5 人，比丙校多7人.如果乙、丙两校一共有40 人参加比赛，那么三所学校各有多少人参加比赛？7.有三个箱子，如果
11、两箱两箱地称它们的重量，分别是83 千克、85 千克和 86 千克.问：其中最轻的箱子重多少千克？8.小悦和妈妈一起去家具城挑选客厅的桌椅.她们看中了两款，这两款桌椅都包含一张桌子和若干把椅子.其中桌子的价钱一样，每把椅子的价钱也一样.第一款桌椅中有 6 把椅子，总价为 700 元；第二款桌椅中有 9 把椅子，总价为970 元.请问：一张桌子的价钱是多少元？9.小白兔与小黑兔一块去森林里采摘了一些胡萝卜，回家后它们就把胡萝卜平分了.小白兔当天吃了 4个胡萝卜，小黑兔则一口气吃了 12 个胡萝卜.小白免往后每天都吃 4 个胡萝卜；小黑兔因为第一天吃得太多，往后每天只吃2 个胡萝卜，最后它俩同时把
12、自己的胡萝卜吃完.小白兔与小黑兔一共采摘了多少个胡萝卜？10.一家汔车销售店有若干部福特汽车和丰田汽车等待销售.福特汽车的数量是丰田汽车的 3 倍.如果每周销售 2 辆丰田汽车和 4 辆福特汽车，丰田汽车销售完时还剩下 30 辆福特汽车.请问：原有丰田汽车和福特汽车各多少辆？拓展篇1.李师傅将甲、乙两种零件加工成产品，开始时甲零件的数量乙零件的2 倍，每件产品需要 5 个甲零件和 2 个乙零件，生产 30 件产品后，剩下的甲、乙零件数量相等，请问：李师傅还可以生产几件产品？2.学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花.其中黄花的盆数最多，既是红花盆数的 4 倍，也是蓝花盆数的 3 倍，如果蓝花比红花
13、多20 盆，请问：学校门口一共有多少盆花？3.动物园的饲养员给三群猴子分花生.如果只分给第一群，则每只猴子可得12 粒；如果只分给第二群，则每只猴子可得 15 粒；如果只分给第三群，则每只猴子可得20 粒，试问：现在将这些花生平均分给三群猴子，每只可得多少粒？4.养鸡场有东、西两院，西院鸡的只数是东院的3 倍.一天有 10 只鸡从西院跑到东院，这时西院鸡的数是是东院的 2 倍，那么现在东、西两个院子各有多少只鸡？5.爸爸和冬冬一起搬砖，原计划爸爸搬其中的一些，冬冬搬剩余的砖头，父子二人发现，如果爸爸帮冬冬搬 10 块，那么爸爸所搬的砖头数是冬冬的5 倍；如果冬冬帮爸爸搬 10 块，那么爸爸所搬
14、的砖头数是冬冬的 2 倍.请问：原计划爸爸搬多少块砖，冬冬搬多少块砖？6.甲班和乙班共 83 人，乙班和丙班共 86 人，丙班和丁班共 88 人.问：甲班和丁班共多少人？7.小悦、冬冬、阿奇三人去称体重，由于秤出了点问题，只能准确称出60 千克与 90 千克之间的重量，因此他们三人只能两个两个称重.如果小悦和冬冬一起称，总重量是 73 千克；冬冬和阿奇一起称，总重量是 80 千克；阿奇和小悦一起称，总重量是75 千克，三人的体重分别是多少千克？8.四年级有甲、乙、丙、丁四个班，不算甲班，其余三个数的总人数是 131 人；不算丁班，其余三个班的总人数是 134 人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班
15、的总人数少1 人.问：这四个班共有多少人？9.某学生到工厂勤工俭学，按合同规定，干满 30 天，工厂将给他一套工作服和 70 玩钱，但由于学校另有安排，他工作了 20 天后便中止了合同，工厂只给他一套工作服和20 元钱.请问：这套工作服值多少元？10.小悦和冬冬看同一本小说，小悦打算第一天看50 页，接着每天看 15 页；冬冬则打算每天看 22 页，最后两人正好在同一天看完，这本小说一共多少页？11.某食堂买来的大米的袋数是面粉的4 倍，该食堂每天消耗面粉20 袋，大米60 袋，几天后面粉全部用完，大米还剩下 200 袋，这个食堂买来大米多少袋？12.超市运来一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的
16、颗数比巧克力糖的3 倍还多 10 颗，售货员将这些糖包装成相同的小袋，每袋内装了 3 颗巧克力糖和 7 颗水果糖，最后巧克力糖全部装完，水里糖还剩下170颗.请问：这批糖果共有几颗水果糖，几颗巧克力糖？超越篇1.在一次速算比赛中，每道题的分数是一样的.前 20 道题中，小时做对了 15 道；余下的题中，他做对的题仅是做错的一半，最后一共得了50 分.如果满分是 100 分，那么小明做对了多少道题？2.有四个数，其中每三个数的和分别是45、46、49、52，那么这四个数中最小的一个数是多少？3.小伟和小杰两人玩游戏牌，第一轮过后，小伟赢了小杰 13 张牌，这时小伟的牌数是小杰的 2 倍少 10张
17、；由于得意忘形，小伟在第二、三轮惨败，输了29 张牌，结果小杰的牌数反而是小伟的 7 倍少 10 张.求小伟和小杰原来各有多少张牌？4.费叔叔买了一台电视机，购买时可以按以下两种方式付款：第一个月付款750 元，以后每月付150 元；或前一半时间每月付 300 元，后一半时间每月付 100 元.两种付款方式的付款总数及时间都相同.问：这台电视机的价格是多少元？5.甲、乙、丙三人乘坐飞机，三人所带行李的重量都超过了免费重量，超出部分必须另付行李费.甲付20 元，乙付 40 元，丙付 60 元.三人的行李共重 150 千克，如果是一个人带这些行李出行，就需要支付240 元的超重费用.请问：每人可以
18、免费携带多少千克的行李？6.小楠的妈妈买回了若干个桔子和梨，其中桔子的个数是梨的3 倍.如果全家每天吃 5 个桔子和 2 个梨，那么一星期后，桔子的个数是梨的4 倍少 5 个.原来桔子和梨分别有多少个？7.小真、小想和小看在讨论买变形金刚电影票的事，小真现有的钱数是小想的3 倍，是小看的2 倍.小真说：“如果小想给我 15 元钱，我就可以买 3 张电影票小想说：“如果我给小真 15 元钱，剩下的钱恰好能买3 个一样的汉堡。”小看说：“如果妈妈再给我 35 元钱，我就刚好能买 2 张电影票和 2 个汉堡请问：小真原有多少元钱？他们要买的电影票每张多少元？一个汉堡多少元？8.现有三堆糖果，其中第一
19、堆的块数比第二堆多，第二堆的块数比第三堆多.如果从每堆糖果中各取出一块，那么剩下的糖果中，第一堆的块数是第二堆的3 倍；如果从每堆糖果中各取出同样多块，使得第一堆还剩下 32 块，则第二堆剩下的糖果数是第三堆的2 倍.问：原来三堆糖果总共最多有多少块？第第 3 3 讲讲还原问题与年龄问题还原问题与年龄问题内容概述学会用逆推法求解还原问题，处理多个对象时可采用列表的形式，在年龄问题中，通常采用和差倍问题的分析方法，有时需注意任意两人的年龄差保持不变。典型问题兴趣篇1.某数加上 6，再乘以 6，再减去 6，再除以 6，其结果等于 6，则这个数是多少？2.有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买
20、酒喝.这个人出门带了一个酒葫芦，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下8 两酒，这天他一共遇到3 家酒店，在最后一家酒店喝完酒后，葫芦里的酒刚好喝完.问：原来酒葫芦里有多少两酒？3.某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了 3 个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是 64 枚一元的硬币，那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？4.三棵树上共有 48 只鸟.后来，第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上；之后，第二棵树上又有与第三
21、棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上；最后，第三棵树上又有 10 只鸟飞到了第一棵树上，此时三棵树上的鸟一样多.问：一开始三棵树上各有几只鸟？5.1997 年张伯伯 45 岁，小方 9 岁，在哪一年张伯伯的年龄是小方年龄的4 倍？6.今年，小明的年龄等于他父母的年龄差；4年后，小明的年龄等于他父母年龄差的3倍.今年小明多少岁？7.今年，父亲年龄是儿子年龄的 5 倍；15年后，父亲年龄是儿子年龄的 2 倍.问：现在父子的年龄各是多少？8.兄弟两个年龄之和是 32 岁.当哥哥是弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时弟弟年龄的 3 倍.求哥哥现在的年龄.9.学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚
22、3 岁；当你像我这么大时，我已经39 岁了.”求老师和学生现在的年龄.10.今年，费叔叔的年龄比小悦、冬冬、阿奇三人年龄的总和还多6 岁,多少年后，费叔叔的年龄将比他们三人年龄的总和少 6 岁？拓展篇1.有一个数，把它加上37，再乘以18，减去323，得到的结果用23 去除，商是16，余数是11.这个数原来是多少？2.果园里有一棵桃树.有一天，三只猴子吃了两个桃子并摘下了剩下桃子的一半，最后第三只猴子吃了三个桃子并摘下了剩下桃子的一半.这时树上刚好还有四个桃子，原来树上一共有几个桃子？3.地上有 26 地砖，兄弟二人争着去挑.弟弟抢在前面，刚挑起一些砖，哥哥赶到了，挑了剩下的砖.哥哥看弟弟挑得
23、太多，就从弟弟那儿抢过一半.弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半.哥哥不服，弟弟只好再给哥哥 5 块，这时哥哥比弟弟多挑2 块，请问：最初弟弟准备挑多少块砖？4.甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的人一些糖，使得糖少的人的糖数增加一倍，经过三次这样的操作后，甲有5 块糖，乙有 12 块糖，两个人原来的糖数分别是多少？5.甲、乙、丙三人的钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了 2倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数各增加了2 倍，结果丙的钱最多；最后丙又拿出一些钱给甲和乙，使他们的钱数和增加 2 倍，结果三人的钱数一样多，如果他们
24、三人共有 81元，那么三人原来分别有多少钱？6.今年张明 15 岁，他父亲 45 岁，请问：多少年后，父亲年龄是张明年龄的2 倍？多少年前，父亲年龄是张明年龄的 4 倍？7.12 年前，父亲的年龄是女儿年龄的11 倍；今年，父亲的年龄是女儿年龄的3 倍.请问：多少年后父亲年龄是女儿年龄的 2 倍？8.去年哥哥的年龄是明年兄弟二人年龄和的一半，前年哥哥的年龄是弟弟的2倍.求哥哥和弟弟现在的年龄。9.今年父亲的年龄是 48 岁，哥哥的年龄是弟弟的2 倍,当弟弟长到哥哥现在的年龄时，父亲的年龄恰好等于兄弟俩年龄之和，请问：今年哥哥多少岁？10.学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚 5
25、岁；当你像我这么大时，我已经 50 岁了。“求老师和学生现在的年龄。11.有老师和甲、乙、丙三个学生，现在老师年龄恰为三个学生年龄之和；9 年后，老师年龄为甲、乙两学生年龄之和；又过了3 年，老师年龄为甲、丙学生年龄之和；再过3 年，老师年龄为乙、丙两学生年龄之和，求现在各人的年龄。12.1 年前，父母的年龄和兄弟二人年龄和的 7 倍；4 年后，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的 4 倍，已知爸爸比妈妈大 2 岁，妈妈今年多少岁？超越篇1.口渴的三个和尚分别捧着一个水罐，最初，老和尚的水最多，并且有一个和尚没水喝，于是，老和尚把自己的水全部平均分给了大、小两个和尚；接着，大和尚又把自己的水全部平均
26、分给了老、小两个和尚；然后，小和尚又把自己的水全部平均分给了另外两个和尚.就这样，三人轮流谦让了一阵，结果太阳落山时，老和尚的水罐里有10 升水，小和尚的水罐则装着20 升水.请问：最初大和尚的水罐里有多少升水？2.甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加1 倍；经过 2005 次这样的操作以后，甲有10 块糖，乙有 8 块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？3.哥哥对弟弟说：“你长到我这么大的时候，我恰好获得博士学位；我在你这么大的时候，你刚刚上幼儿园.”已知哥哥和弟弟现在的年龄和为32 岁，哥哥获得博士学位的年龄是弟弟上幼儿园年龄的7 倍，求哥哥
27、获得博士学位的年龄是多少岁。4.小明跟爷爷聊天，爷爷对小明说：“当我的岁数是你爸现在的岁数时，你才 5 岁呢.”小明对爷爷说：“我的岁数是您现在的岁数时，我爸都89 岁了.”请问：小明的爸爸今年多少岁？5.1996 年时，父母的年龄之和是78 岁，兄弟二人的年龄之和是17 岁；4 年后，父亲年龄是弟弟年龄的4倍，母亲年龄是哥哥年龄的3 倍，试问：当父亲年龄是哥哥年龄的3 倍时是公元多少年？6.全家 4 口人，父亲比母亲大3 岁，姐姐比弟弟大2 岁，4 年前全家人的年龄之和是58 岁，而现在是73岁，问：现在各人的年龄分别是多少岁？7.老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后
28、在最后写上另两个数的平均数，如此做了 7 次，这时黑板上三个数的和为159.如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008，且所有写过的数都是整数.请问：开始时老师在黑板上写的第一个数是多少？8.；甲、乙、丙三人现在年龄的和是113 岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17 岁，请问：乙现在多少岁？第第 4 4 讲讲数阵图初步数阵图初步内容概述各种较为基本的数阵图问题，了解重数的概念，并以此进行分析；学会分析特殊位置上的数值；某些情况下还需要考虑对称性。典型问题兴趣篇1.在图 4-1 中的三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11.2.请分别将 1，2，4，6
29、这四个数填在图 4-2 中的各空白区域内，使得每个圆圈里四个数之和都等于15.3.如图 4-3 所示，请在三个空白圆圈内填入三个数，使得每条直线上三个数之和都相等。4.把 1 至 8 分别填入图 4-4 的八个方格内，使得各列上两个数之和都相等，各行四个数之和也相等。5.把 1 至 12 分别填入图 4-5 的圆圈内，使图中三个小三角形三条边上的六个数之和相等。6.在如图 4-6 所示的 33 方格表内填入 1、2、3 这三个数字各三次，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等。7.把 1 至 6 分别填入图 4-7 的六个圆圈内，使得每个正方形四个顶点的数之和都为13.8.把 1 至
30、 6 分别填入图 4-8 的六个方格内，使得横行三个数之和与竖列四个数之和相等.这个和最大是多少？最小是多少？9.把 1 至 7 这七个数分别填入图 4-9 中各圆圈内，使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等，如果中心圆内填入数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法。10.在图 4-10 的 6 个圆圈内分别填入不同的自然数，使得每一个数都是与它相连的上面两个数之和，那么最下面那个数最小是几？拓展篇1.将 1 至 9 分别填入图 4-11 中的圆圈内，可以使得图中所有三角形（共七个）的三个顶点上的数之和都等于 15.现在已经填好了其中三个，请你在图中填出剩下的数.2.在图 4-12
31、中的八个圆圈内分别填入八个不同的自然数，使得正方形每条边上三个数的和相等.现在如果已经填好了五个数，那么每条边上各数之和应该是多少？并将其补充完整。3.图 4-13 是由四个交叠的长方形组成的，在交点处有八个小圆圈.请你把 1、2、3、4、5、6、7、8 这八个自然数分别填入这些小圆圈内，使得每个长方形上的四个数之和都相等。4.在图 4-14 中的方格内填入三个 0、两个 2、两个 3、两个 4，使得每个箭头所指的列中各方格内数字之和都是 6，并且使得从上到下第二行与第三行的数字之和都是7.5.请在图4-15的每个小圆圈内填入 1或2，使得每个大圆圈上四个数之和两两不同，那么所填数的总和是多少
32、？6.把1 至8 分别填入图4-16的八个圆圈内，使得任意两个有线段直接相连的圆圈内的数字之差都不等于1.7.在图 4-17 的七个圆圈内填入七个连续自然数，使得每两个相邻圆圈内所填数之和都等于它们连线上的已知数.请问：标有的圆圈内填的数是多少？8.小悦是 8 月 11 日 15 点整出生的，她想把 1，2，3，4，5，6，7 这七个数填入图 4-18 的七个方框里，每个数只填一次，使三条直线上的三个数之和恰好是 8，11，15，问：在圆上的三个数的乘积最大可能是多少？9.把 1 至 6 这六个数字填入图 4-19 六个圆圈内，使得三角形每条边上三个数之和都相等，那么这个和最小是多少？最大是多
33、少？10.把1 至11填入图4-20中“六一”图形的十一个空格内，使得每一条直线上的两个或三个数之和都相等。11.请将 1 至 6 填入图 4-21 的六个圆圈内，使得四条直线上的数字之和都相等。12.如图 4-22，有一座长方形城堡，四周有十个掩体，守城的士兵有十件武器，各种武器的威力数如下表.为了使城堡四条边上的武器威力总数都相同，并且尽量大，应如何在十个掩体中配备武器？武器威力数武器威力数手枪1重机枪6步枪2迫击炮7自动步枪3火箭筒8冲锋枪4加农炮9轻机枪5榴弹炮10超越篇1.如图 4-23，四个圆共被分成十二个区域，其中已有六个区域内填有数，请将 1 至 12 中的另六个数填入其他区域
34、内，使得每个圆中四个数之和都是28.2.如图 4-24，请在三个圆圈内分别填入三个数，使得每条直线上三个数之和都等于大圆上三个数之和.3.把 1 至 8 填入图 4-25 中正方体八个顶点处的圆圈内，使得正方体每个面上的四个数之和都相等。4.把 1 至 12 分别填入图 4-26 所示六角星图案的十二个圆圈内，使得每条直线上四个数之和都相等.现在已经填好了六个数，那么每条直线上各数之和应该是多少？并把下图补充完整。5.把 1 至 8 填入图 4-27 的八个圆圈内，使得每个三角形三个顶点的数字之和相等，且小正方形顶点的数字之和是大正方形顶点的数字之和的一半。6.图 4-28 中一共有 6 条线
35、段，请将九个连续的自然数（其中一个是6）填入其中的九个圆圈内，使得每条直线上圆圈内的数加起来都等于23.7.如图 4-29，55 的方格表被分成了五块，请你在每格中填入1、2、3、4、5 中的一个（其中两个格子已经分别填入 1 和 2），使得每行、每列、每条对角线的五个数各不相同，且每块上所填数的和都相等，请问：ABCDE是多少？8.图 4-30 是奥林匹克五环标志，五个圆内共分成了九个部分，请在这九个部分中填入1 至 9 这九个数，使得每个圆环内的各数之和都相等，请问：这个和最大是多少？最小是多少？第第 5 5 讲讲竖式问题竖式问题内容概述以字母或汉字表示数字的竖式问题，学会选择适当的突破口
36、，并逐步解决问题；能够将文字叙述的题目转化为数字谜形式，便于直观地解决问题。典型问题兴趣篇1.如图 5-1 所示，每个英文字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，其中“G”代表“5”，“A”代表“9”，“D”代表“0”，“H”代表“6”.问：“I”代表的数字是多少？2.（1）在图 5-2 的加法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？(2)在图 5-3 的减法竖式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，那么每个汉字各代表什么数字？3.在图 5-4 的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果23+解+数+
37、字+谜=30，那么“数字谜”所代表的三位数是多少？4.图 5-5 所示的竖式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“北京奥运”代表的四位数是多少？5.已知图 5-6 所示的乘法竖式成立，那么ABCDE是多少？6.(1)在图 5-7 的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么、分别代表什么数字？(2)在图 5-8 的竖式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，那么、分别代表什么数字？7.如图 5-9，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么十个方框中数字之和是多少？8.在图 5-10 和图 5-11 中的方格内填入适当的数
38、字，使下列除法竖式成立.9.在图 5-12 所示的除法竖式中填入合适的数字，使得竖式成立，那么其中的商是多少？10.有一个四位数，它乘以9 后所得乘积恰好是将原来的四位数各位数字顺序颠倒而得的新四位数，求原来的四位数.拓展篇1.在图5-13和5-14中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求出它们使竖式成立的值.2.如图 5-15，在这个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么数字 A、B、C 分别是多少？3.在图 5-16 的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，并且ABCD.问：竖式中的和是多少？4.在图 5-17 的竖式中，相
39、同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，那么“携手上海世博会”所代表的七位数是多少？5.小悦写了一个四位数，冬冬把这个四位数的个位抹掉，变成了一个三位数，阿奇又把这个三位数的个位抹掉，变成了一个两位数，最后把这三个数加起来，结果刚好是7826.小悦原来写的四位数是多少？6.一个各位数字互不相同的三位数，用它的三个数字组成一个最大的三位数，再用这三个数字组成一个最小的三位数，组成的这两个三位数之差正好是原来的三位数.求原来的三位数.7.(1)一个自然数的个位数字是4，将这个 4 移到左边首位数字前面，所构成的新数恰好是原数的4 倍，那么原数最小是多少？(2)一个五位数，将它的各位数字顺
40、序颠倒就可以得到一个新的五位数，而且这个新的五位数恰好是原数的 4 倍，那么原来的五位数是多少/8.如图 5-18，每一个英文字母代表 0，1，29 中的一个数字，不同的字母代表不同的数字，则字母 A、Q、T、R、F 分别代表什么数字？9.图 5-19 中的竖式里，“江”、“峡”、“美”三个汉字分别代表三个各不相同的数字，请把这个竖式写出来.10.请把如图 5-20 所示的除法竖式中空缺的数字补上，其中的商是多少？11.请把图 5-21 中的除法竖式补充完整。12.在图 5-22 的字母竖式中，不同的字母代表不同的数字，请填同这个竖式.超越篇1.图 5-23 是一个加法竖式，其中E、F、I、N
41、、O、R、S、T、X、Y 表示 0 至 9 中的不同数字，且F、S 不等于零，这个算式的结果是多少？2.澳门的拼音和英语写法为AOMEN 及 MACAO，我们规定这些字母表示 1 至 9 中的不同数字，那么图5-24中竖式的计算结果最大是多少？3.华罗庚在与钱三强、赵九章等几位科学家聚会时对了一副美妙的对联；三强韩赵魏，九章色股弦.“三强”不但指战国三强，还体现了钱三强的名字；“九章”既指记录勾股定理的数学著作，又体现了赵九章的名字，我们来用这副有趣的对联做下面的题目：(1)在图 5-25 的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果“三”代表 3，“九”代表 9，请将竖
42、式补充完整.(只需要找出一种解答)(2)在图 5-26 的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如果“”勾股弦代表 345，请将竖式补充完整.4.在图 5-27 的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么ABCDEFG所代表的七位数是多少？5.请把图 5-28 中的除法竖式补充完整.6.在图 5-29 所示的除法竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，请问：被除数是多少？7.在图 5-30 的乘法竖式中，“二”代表除以 3 余 2 的数字，即 2、5、8 中的一个；“”代表除以 3 余 1的数字，即1、4、7 中的一个；“零”代
43、表除以3 余 0 的数字，即0、3、6、9 中的一个，请填出这个竖式.8.在图 5-31 的加法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，其中W=0.请用合适的数字替换字母，使得竖式成立.第第 6 6 讲讲行程问题一行程问题一内容概述掌握速度、路程、时间的概念，以及它们之间的数量关系，掌握基本相遇问题和基本追及问题的解法；学会用比较的方法分析同一段路程上不同的运动过程.重点掌握画线段图的分析方法.典型问题兴趣篇1.A、B 两城相距 240 千米，一辆汽车原计划用 6 小时从 A 城到 B 城，那么汽车每小时应该行驶多少千米？实际上汽车行驶了一半路程后发生故障，在途中停留了1
44、小时.如果要按照原定的时间到达B 城，汽车在后一半路程上每小时应该行驶多少千米？2.A、B 两地相距 4800 米，甲、乙两人分别从A、B 两地同时出发，相向而行，如果甲每分钟走60 米，乙每分钟走 100 米，请问：(1)甲从 A 走到 B 需要多长时间？(2)两个人从出发到相遇需要多长时间？3.在第 2 题中，如果甲、乙两人的速度大小不变，但甲出发时改变方向，即两个人同时、同向出发.请问：乙出发后多久可以追上甲？4.甲、乙两地相距 350 千米，一辆汽车在早上 8 点从甲地出发，以每小时 40 千米的速度开往乙地，2 小时后另一辆汽车以每小时50 千米的速度从乙地开往甲地.问：什么时候两车
45、在途中相遇？5.小悦和冬冬分别从相距 720 米的两地出发同向而行，且冬冬比小悦先出发 2 分钟，已知小悦的速度是每分钟 60 米，冬冬的速度为每分钟50 米，试问：当小悦追上冬冬的时候，冬冬已经走了多少米？6.一辆公共汽车和一辆小轿车从相距350 千米的两地同时出发，相向而行，公共汽车每小时行40 千米，小轿车每小时行 60 千米，问：(1)2 小时后两车相距多少千米？(2)经过几小时后两车第一次相距50 千米？7.一辆公共汽车和一辆小轿车从相距 300 千米的两地同时出发，同向而行，公共汽车在前，每小时行 40千米；小轿车在后，每小时行60 千米，问：(1)经过 6 小时后两车相距多少千米
46、？(2)经过几小时后两车第一次相距100 千米？8.甲、乙两人分别在 A 地和 B 地，甲从 A 地到 B 地需要 20 分钟，乙从 B 地到 A 地需要 30 分钟，如果两个人同时出发相向而行，多长时间可以相遇？9.甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行，已知甲车每小时行驶40 千米，两车 6 小时后相遇，相遇后它们继续前进，又过了3 小时，甲车到达 B 地，问：乙车还要过多久才能到达A 地？10.甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，已知甲每分钟走 50 米，乙走完全程要 18 分钟，出发 3 分钟后，甲、乙仍相距450 米，问：还要过多少分钟，甲、乙两人才能相遇？拓展篇
47、1.甲、乙两地相距450 千米，快车和慢车分别从甲、乙两地出发相向而行，快车每小时行60 千米，慢车每小时行 30 千米，试问：(1)如果两车同时出发，几小时后相遇？(2)如果慢车比快车早出发3 小时，当两车相遇时快车走了多远？2.A、B 两地相距 400 千米，甲、乙两车分别从A、B 同时出发，相向而行，甲车的速度为每小时60 千米，乙车的速度为每小时 40 千米，请问：(1)从出发算起，多久后甲、乙两车第一次相距100 千米？(2)从出发算起，多久后甲、乙两车第二次相距100 千米？3.甲、乙两架飞机同时从机场起飞，向同一方向飞行，甲每小时飞行300 千米，乙每小时飞行340 千米，4 小
48、时后它们相距多少千米？这时甲提高速度打算用2 小时追上乙，那么甲每小时应该飞行多少千米？4.冬冬步行上学，每分钟行75 米，冬冬离家12 分钟后，爸爸发现他忘了带文具盒，马上骑自行车去追，每分钟行 375 米，求爸爸追上冬冬所需要的时间隔。5.小轿车和大货车上午 9 点同时同向从甲地出发，小轿车每小时开 60 千米，大货车每小时开 48 千米，请问：下午几点的时候小轿车领先大货车72 千米/6.一辆公共汽车早上 6 点从 A 城出发，以每小时 40 千米的速度向 B 城驶去，3 小时后一辆小轿车以每小时 75 千米的速度也从 A 城出发到 B 城，当小轿车到达 B 城后，公共汽车离 B 城还有
49、 160 千米，问：公共汽车什么时候到达 B 城？7.甲、乙两车同时从东、西两地出发，相向而行，甲每小时行 36 千米，乙每小时行 30 千米，两车在距离中点 9 千米处相遇，求东、西两地间的距离。8.小悦一家开车去外地旅游，原计划每小时行驶45 千米，实际上，由于高速公路堵车，汽车每小时只行驶 30 千米，这样就晚到了 2 小时，请问：小悦一家在路上实际花了几个小时？9.甲从 A 地出发去 B 地办事情，下午 1 点出发，晚上 7 点准时到达，如果他想下午 2 点出发，晚上 7 点准时到达，每小时就必须多行2 千米，求 A、B 两地之间的距离.10.甲、乙两人分别在A、B 两地同时出发，如果
50、相向而行，1 小时后两人相遇，如果同向而行，3 小时后甲追上乙，问：甲的步行速度是乙的几倍？11.甲、乙两人分别由A、B 两地同时出发，相向而行，A、B 两地相距 48 千米，甲的速度是乙的3 倍，请问：当甲、乙相遇的时候，甲走了多远？12.猎狗追兔子，猎狗的速度是兔子的2 倍，兔子径直往兔洞里跑，猎狗则紧随其后.现在，猎狗距离洞口还有 1000 米，当猎狗跑到兔子现在的位置时，兔子距离洞口将还剩 100 米，问：现在兔子距离洞口多少米？最终兔子会被猎狗追上吗？超越篇1.小悦、冬冬骑车从甲地同时出发，同向而行，小悦的速度比冬冬的速度每小时快 4 千米，因此小悦比冬冬早 20 分钟通过途中的乙地