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1、2.2.1双曲线及其标准双曲线及其标准方程方程(一一)1.1.椭圆的定义椭圆的定义和和 等于常数等于常数2a(2a|F1F2|0)的点的轨迹的点的轨迹.平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的2.引入问题：引入问题：差差等于常数等于常数的点的轨迹是什么呢？的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的复习复习如图如图如图如图(A)(A)，|MF|MF1 1|-|MF|MF2 2|=|F|=|F2 2F|=2F|=2a a如图如图如图如图(B)(B)，上面上面上面上面 两条合起来叫做双曲线两条合起来叫做双曲线两条合起来叫做双曲线两条合起来叫做双曲线由由由
2、由可得：可得：可得：可得：|MF|MF1 1|-|MF|MF2 2|=2|=2a a （差的绝对值）差的绝对值）|MF|MF2 2|-|MF|MF1 1|=|F|=|F1 1F|=2F|=2a a注：当注：当|PF1|-|PF2|=2a时，点时，点p的轨迹的轨迹为近为近F2的一支的一支.当当|PF1|-|PF2|=-2a时，点时，点p的轨迹的轨迹为近为近F1的一支的一支.两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点;|F1F2|=2c 焦距焦距.oF2F1M 平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2的距离的差的距离的差等于常数等于常数 的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做双曲线双曲线.的绝对值
3、的绝对值（小于（小于F1F2）注意注意双曲线定义双曲线定义:|MF1|-|MF2|=2a若没有这个若没有这个条件，轨迹条件，轨迹为双曲线的为双曲线的一支一支（1）2a0；双曲线定义双曲线定义思考：思考：（1）若若2a=2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？（2）若）若2a2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？说明说明（3）若）若2a=0,则轨迹是什么？则轨迹是什么？(1)F1F2延长线和反向延长线延长线和反向延长线(两条射线两条射线)(2)轨迹不存在轨迹不存在(3)线段线段F1F2的垂直平分线的垂直平分线F2F1MxOy求曲线方程的步骤：求曲线方程的步骤：双曲线的标准方程双曲线的标准方程1.1.建系建
4、系.以以F1,F2所在的直线为所在的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系的中点为原点建立直角坐标系2.2.设点设点设设M（x,y）,则则F1(-c,0),F2(c,0)3.3.列式列式|MF1|-|MF2|=2a4.4.化简化简此即为焦点在此即为焦点在x x轴上的双曲线的标准方程轴上的双曲线的标准方程F2F1MxOyOMF2F1xy若建系时若建系时,焦点在焦点在y轴上呢轴上呢?问题：问题：问题：问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？练习：练习：练习：练习：写出以下双曲线的焦点坐
5、标写出以下双曲线的焦点坐标写出以下双曲线的焦点坐标写出以下双曲线的焦点坐标F(5,0)F(0,5)F(c,0)F(0,c)看看x2,y2前前的的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上系数，哪一个为正，则在哪一个轴上定定 义义 方方 程程 焦焦 点点a.b.c的关系的关系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a|MF1|+|MF2|=2a 椭椭 圆圆双曲线双曲线F（0，c）F（0，c）双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何
6、区别与联系双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?例例1 已知双曲线的焦点为已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线双曲线上上一点一点P到到F1、F2的距离的差的绝对值等于的距离的差的绝对值等于6，求双曲线，求双曲线的标准方程的标准方程.2 2a a=6,=6,c=5c=5a a=3,c=5=3,c=5b b2 2=5=52 2-3 32 2=16=16所以所求双曲线的标准方程为：所以所求双曲线的标准方程为：所以所求双曲线的标准方程为：所以所求双曲线的标准方程为：根据双曲线的焦点在根据双曲线的焦点在根据双曲线的焦点在根据双曲线的焦点在 x x 轴上，设它的标准方程为：
7、轴上，设它的标准方程为：轴上，设它的标准方程为：轴上，设它的标准方程为：解解:归纳：归纳：焦点定位，焦点定位，a、b、c三者之二定形三者之二定形例例2:求适合下列条件的双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程。1、焦点在焦点在y轴上轴上2、焦点为、焦点为且且要求双曲要求双曲线的标准线的标准方程需要方程需要几个条件几个条件思考：思考：3、经过点经过点练习练习:如果方程如果方程 表示双曲线，表示双曲线，求求m m的取值范围的取值范围.方程方程 表示双曲线时，则表示双曲线时，则m的取值的取值范围范围_.变式变式:分析分析:解：由题意可设双曲线的方程为解：由题意可设双曲线的方程为故所求双曲线的
8、标准方程为：故所求双曲线的标准方程为：例例3、已知双曲线的焦点在已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上轴上，并且双曲线上两点两点P1、P2的坐标分别为的坐标分别为求双曲线的标准方程。求双曲线的标准方程。解得解得变题：变题：若若去去掉掉焦焦点点在在y轴上的条件，如何？轴上的条件，如何？例例4、已知圆已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆，动圆M同时与圆同时与圆C1及圆及圆C2相外切，求动圆圆心相外切，求动圆圆心M的的轨迹方程轨迹方程解：解：设动圆设动圆M与圆与圆C1及圆及圆C2分别外切分别外切于点于点A 和和B，根据两圆外切的条件，根据两圆外切的条件，|MC
9、1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|动点动点M的轨迹为双曲线的左支的轨迹为双曲线的左支,这里这里a=1，c=3，则，则b2=8,设点设点M的坐标为的坐标为(x，y)，其轨迹方程为：其轨迹方程为：例例5 5、一炮弹在某处爆炸，在一炮弹在某处爆炸，在A A处听到爆炸声的时间比在处听到爆炸声的时间比在B B处晚处晚2s,2s,（1 1）爆炸点应在什么曲线上？爆炸点应在什么曲线上？（2 2）已知已知A A、B B两地相距两地相距800m800m，并且此时声速为，并且此时声速为340m/s340m/s，求曲线的方程，求曲线的方程解解：（：（1 1）由声速及）由声速及A A、B B
10、两地听到爆炸声的时间差，可两地听到爆炸声的时间差，可知知A A、B B两地与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于两地与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以以A A、B B为焦点的双曲线上。为焦点的双曲线上。PBA例例5 5、一炮弹在某处爆炸，在一炮弹在某处爆炸，在A A处听到爆炸声的时间比处听到爆炸声的时间比在在B B处晚处晚2s2s（1 1）爆炸点应在什么曲线上？爆炸点应在什么曲线上？（2 2）已知已知A A、B B两地相距两地相距800m800m，并且此时声速为，并且此时声速为340m/s340m/s，求曲线的方程，求曲线的方程解解:（2 2）如图所示，建立直角坐角系，使）如图所示，建立直角坐角系，使A A、B B两点两点在在x轴上，并且原点与线段轴上，并且原点与线段ABAB的中点重合的中点重合设爆炸点设爆炸点P P的坐标为（的坐标为（x，y），则），则即即 2a=680，a=340 xyoPBA定义定义定义定义图象图象图象图象方程方程方程方程焦点焦点焦点焦点a.b.c a.b.c 的关系的关系的关系的关系|MF1|-|MF2|=2a（2a|F1F2|）F(c,0)F(0,c)双曲线定义及标准方程双曲线定义及标准方程小结小结