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1、一、矢量和标量的定义一、矢量和标量的定义1.标量：标量：只有大小，没有方向的物理量。矢量表示为：所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。其中：为矢量的模，表示该矢量的大小。为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。2.矢量：矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。如:力 、速度 、电场 等如：温度 T、长度 L 等第1页/共40页例1：在直角坐标系中，x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？图示法：力的图示法：第2页/共40页二、矢量的运算法则1.加法加法:矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。a.满足交换律：b.满足结合律：第3页/共40页三个方向的单位矢量用 表示。根据矢量加法运算
2、：所以：在直角坐标系下的矢量表示:其中：第4页/共40页矢量：模的计算：单位矢量：方向角与方向余弦：在直角坐标系中三个矢量加法运算：第5页/共40页2.减法：换成加法运算逆矢量：和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。在直角坐标系中两矢量的减法运算：推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。第6页/共40页3.3.乘法：乘法：（1）标量与矢量的乘积：方向不变，大小为|k|倍方向相反，大小为|k|倍（2）矢量与矢量乘积分两种定义a.标量积（点积）：两矢量的点积含义：一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。第7页/共40页在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交
3、的，即有两矢量点积：结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和。推论1：满足交换律推论2：满足分配律推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。第8页/共40页推论1：不服从交换律：推论2：服从分配律：推论3：不服从结合律：推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。b.矢量积（叉积）：含义：两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。第9页/共40页在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：两矢量的叉积又可表示为：xyzo第10页/共40页（3）三重积：三个矢量相乘有以下几种形式：矢量，标量与矢量相乘。标量，标量
4、三重积。矢量，矢量三重积。a.标量三重积法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。定义：含义：标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积。第11页/共40页注意：先后轮换次序。推论：三个非零矢量共面的条件。在直角坐标系中：b.矢量三重积：第12页/共40页例2：求：中的标量 a、b、c。解：则：设第13页/共40页例3：已知求：确定垂直于 、所在平面的单位矢量。解：已知所得矢量垂直于 、所在平面。第14页/共40页已知A点和B点对于原点的位置矢量为 和 ，求：通过A点和B点的直线方程。例4：其中：k 为任意实数。xyzCAB解：在通过A点和B点的直线方程上，任取一点C，对于原点的位置 矢量为
5、，则第15页/共40页三、矢量微分元：线元、面元、体元例：其中：和 称为微分元。1.直角坐标系在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：第16页/共40页2.圆柱坐标系在圆柱坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：第17页/共40页3.球坐标系在球坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：第18页/共40页a.在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为1，即：b.在柱坐标系中，坐标变量为 ,其中 为角度，其对应的线元 ，可见拉梅系数为：c.在球坐标系中，坐标变量为 ，其中 均为 角度，其拉梅系数为：注意
6、：第19页/共40页 在正交曲线坐标系中，其坐标变量 不一定都是长度，其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数 ，就可正确写出其线元、面元和体元。体元：线元：面元：正交曲线坐标系：第20页/共40页四、标量场的梯度四、标量场的梯度1.标量场的等值面可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不 相交的。以温度场为例：热源等温面第21页/共40页b.梯度定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，其方向为该点所在等值面的法线方向。数学表达式：2.标量场的梯度a.方向导数：空间变化率，称为方向导数。为最大的方向导数。标量场的场函数为第22页/共40页计算：在直角
7、坐标系中：所以：梯度也可表示：第23页/共40页在柱坐标系中：在球坐标系中：在任意正交曲线坐标系中：在不同的坐标系中，梯度的计算公式：在直角坐标系中：第24页/共40页五、矢量场的散度五、矢量场的散度1.1.矢线（场线）：矢线（场线）：在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢线。2.2.通量：通量：定义：如果在该矢量场中取一曲面S，通过该曲面的矢线量称为通量。表达式：若曲面为闭合曲面：+-第25页/共40页讨论：讨论：a.如果闭合曲面上的总通量 说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。b.如果闭合曲面上的总通量 说明穿入的通
8、量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。c.如果闭合曲面上的总通量说明穿入的通量等于穿出的通量。第26页/共40页3.3.散度：散度：a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。b.表达式：c.散度的计算：在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。矢量场 表示为：第27页/共40页在 x方向上：计算穿过 和 面的通量为因为：则：在 x 方向上的总通量：第28页/共40页在 z 方向上,穿过 和 面的总通量：整个封闭曲面的总通量：同理：在 y方向上,穿过 和 面的总通量：第29页/共40页该闭合曲面所包围的体积：通常散度表示为：4.
9、4.散度定理：散度定理：物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。第30页/共40页柱坐标系中：球坐标系中：正交曲线坐标系中：直角坐标系中：常用坐标系中，散度的计算公式第31页/共40页六、矢量场的旋度六、矢量场的旋度1.1.环量环量：在矢量场中，任意取一闭合曲线，将矢量沿该曲线积分称之为环量。可见：环量的大小与环面的方向有关。2.2.旋度旋度:定义：一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环 的法线方向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。表达式：第32页/共40页旋度计算：以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：场矢量：其中：为x 方向的环量密度。旋度可用符号表示：第33页/共40
10、页其中：可得：同理：所以：旋度公式：第34页/共40页为了便于记忆，将旋度的计算公式写成下列形式:类似地，可以推导出在广义正交坐标系中旋度的计算公式：对于柱坐标、球坐标，已知其拉梅系数，代入公式即可写出旋度的计算公式。第35页/共40页3.3.斯托克斯定理：斯托克斯定理：物理含义：物理含义：一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。第36页/共40页七、重要的场论公式七、重要的场论公式1.1.两个零恒等式两个零恒等式 任何标量场梯度的旋度恒为零。任何矢量场的旋度的散度恒为零。第37页/共40页在圆柱坐标系中：在球坐标系中：在广义正交曲线坐标系中：2.2.拉普拉斯算子拉普拉斯算子 在直角坐标系中：第38页/共40页3.3.常用的矢量恒等式常用的矢量恒等式 第39页/共40页谢谢您的观看！第40页/共40页