《矢量运算法则精选PPT.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《矢量运算法则精选PPT.ppt(40页珍藏版)》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析关于矢量运算法则第1页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析一、矢量和标量的定义一、矢量和标量的定义1.标量:标量:只有大小,没有方向的物理量。矢量表示为:所以:一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。其中:为矢量的模,表示该矢量的大小。为单位矢量,表示矢量的方向,其大小为1。2.矢量:矢量:不仅有大小,而且有方向的物理量。如:力 、速度 、电场 等如:温度 T、长度 L 等第2页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析例1:在直角坐标系中,x 方
2、向的大小为 6 的矢量如何表示?图示法:力的图示法:第3页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析二、矢量的运算法则1.加法加法:矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。a.满足交换律:b.满足结合律:第4页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析三个方向的单位矢量用 表示。根据矢量加法运算:所以:在直角坐标系下的矢量表示:其中:第5页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析矢量:模的计算:单位矢量:方向角与方向余弦:在直角坐标系中三个矢量加法运算:第6页,讲
3、稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析2.减法:换成加法运算逆矢量:和 的模相等,方向相反,互为逆矢量。在直角坐标系中两矢量的减法运算:推论:任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形,其矢量和必为零。第7页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析3.3.乘法:乘法:(1)标量与矢量的乘积:方向不变,大小为|k|倍方向相反,大小为|k|倍(2)矢量与矢量乘积分两种定义a.标量积(点积):两矢量的点积含义:一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积,其结果是一标量。第8页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电
4、磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在直角坐标系中,已知三个坐标轴是相互正交的,即有两矢量点积:结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和。推论1:满足交换律推论2:满足分配律推论3:当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。第9页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析推论1:不服从交换律:推论2:服从分配律:推论3:不服从结合律:推论4:当两个非零矢量叉积为零,则这两个矢量必平行。b.矢量积(叉积):含义:两矢量叉积,结果得一新矢量,其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积,方向为该面的法线方向,且三者符合右手螺旋法则。第10页,讲稿共40张,
5、创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在直角坐标系中,两矢量的叉积运算如下:两矢量的叉积又可表示为:xyzo第11页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析(3)三重积:三个矢量相乘有以下几种形式:矢量,标量与矢量相乘。标量,标量三重积。矢量,矢量三重积。a.标量三重积法则:在矢量运算中,先算叉积,后算点积。定义:含义:标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积。第12页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析注意:先后轮换次序。推论:三个非零矢量共面的条件。在直角坐标系中:
6、b.矢量三重积:第13页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析例2:求:中的标量 a、b、c。解:则:设第14页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析例3:已知求:确定垂直于 、所在平面的单位矢量。解:已知所得矢量垂直于 、所在平面。第15页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析已知A点和B点对于原点的位置矢量为 和 ,求:通过A点和B点的直线方程。例4:其中:k 为任意实数。xyzCAB解:在通过A点和B点的直线方程上,任取一点C,对于原点的位置 矢量为
7、,则第16页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析三、矢量微分元:线元、面元、体元例:其中:和 称为微分元。1.直角坐标系在直角坐标系中,坐标变量为(x,y,z),如图,做一微分体元。线元:面元:体元:第17页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析2.圆柱坐标系在圆柱坐标系中,坐标变量为 ,如图,做一微分体元。线元:面元:体元:第18页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析3.球坐标系在球坐标系中,坐标变量为 ,如图,做一微分体元。线元:面元:体元:第19页
8、,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析a.在直角坐标系中,x,y,z 均为长度量,其拉梅系数均为1,即:b.在柱坐标系中,坐标变量为 ,其中 为角度,其对应的线元 ,可见拉梅系数为:c.在球坐标系中,坐标变量为 ,其中 均为d.角度,其拉梅系数为:注意:第20页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析 在正交曲线坐标系中,其坐标变量 不一定都是长度,其线元必然有一个修正系数,这些修正系数称为拉梅系数,若已知其拉梅系数 ,就可正确写出其线元、面元和体元。体元:线元:面元:正交曲线坐标系:第21页,讲稿共40
9、张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析四、标量场的梯度四、标量场的梯度1.标量场的等值面可以看出:标量场的函数是单值函数,各等值面是互不 相交的。以温度场为例:热源等温面第22页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析b.梯度定义:标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数,其方向为该点所在等值面的法线方向。数学表达式:2.标量场的梯度a.方向导数:空间变化率,称为方向导数。为最大的方向导数。标量场的场函数为第23页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析计算:在直角坐标系
10、中:所以:梯度也可表示:第24页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在柱坐标系中:在球坐标系中:在任意正交曲线坐标系中:在不同的坐标系中,梯度的计算公式:在直角坐标系中:第25页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析五、矢量场的散度五、矢量场的散度1.1.矢线(场线):矢线(场线):在矢量场中,若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合,则该曲线称为矢线。2.2.通量:通量:定义:如果在该矢量场中取一曲面S,通过该曲面的矢线量称为通量。表达式:若曲面为闭合曲面:+-第26页,讲稿共40张,创
11、作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析讨论:讨论:a.如果闭合曲面上的总通量 说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量,意味着闭合面内存在正的通量源。b.如果闭合曲面上的总通量 说明穿入的通量大于穿出的通量,那么必然有一些矢线在曲面内终止了,意味着闭合面内存在负源或称沟。c.如果闭合曲面上的总通量说明穿入的通量等于穿出的通量。第27页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析3.3.散度:散度:a.定义:矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。b.表达式:c.散度的计算:在直角坐标系中,如图做一封闭曲面,该封闭曲面由六个平面组成
12、。矢量场 表示为:第28页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在 x方向上:计算穿过 和 面的通量为因为:则:在 x 方向上的总通量:第29页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在 z 方向上,穿过 和 面的总通量:整个封闭曲面的总通量:同理:在 y方向上,穿过 和 面的总通量:第30页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析该闭合曲面所包围的体积:通常散度表示为:4.4.散度定理:散度定理:物理含义:穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。第31页,
13、讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析柱坐标系中:球坐标系中:正交曲线坐标系中:直角坐标系中:常用坐标系中,散度的计算公式第32页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析六、矢量场的旋度六、矢量场的旋度1.1.环量环量:在矢量场中,任意取一闭合曲线,将矢量沿该曲线积分称之为环量。可见:环量的大小与环面的方向有关。2.2.旋度旋度:定义:一矢量其大小等于某点最大环量密度,方向为该环 的法线方向,那么该矢量称为该点矢量场的旋度。表达式:第33页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章
14、矢量分析矢量分析旋度计算:以直角坐标系为例,一旋度矢量可表示为:场矢量:其中:为x 方向的环量密度。旋度可用符号表示:第34页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析其中:可得:同理:所以:旋度公式:第35页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析为了便于记忆,将旋度的计算公式写成下列形式:类似地,可以推导出在广义正交坐标系中旋度的计算公式:对于柱坐标、球坐标,已知其拉梅系数,代入公式即可写出旋度的计算公式。第36页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析3.3.
15、斯托克斯定理:斯托克斯定理:物理含义:物理含义:一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。第37页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析七、重要的场论公式七、重要的场论公式1.1.两个零恒等式两个零恒等式 任何标量场梯度的旋度恒为零。任何矢量场的旋度的散度恒为零。第38页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析在圆柱坐标系中:在球坐标系中:在广义正交曲线坐标系中:2.2.拉普拉斯算子拉普拉斯算子 在直角坐标系中:第39页,讲稿共40张,创作于星期二电磁场与电磁波电磁场与电磁波第第1章章 矢量分析矢量分析感感谢谢大大家家观观看看第40页,讲稿共40张,创作于星期二