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1、 二、向量的长度及性质定义:n 维向量 x 的长度(或范数)长度的性质：第1页/共13页 长度为1的向量叫单位向量;任意一个非零向量 x,此外向量的内积满足Schwarz 不等式:于是对非零向量 x,y,定义 x 与 y 的夹角第2页/共13页 三、正交向量组的概念及求法 当 x,y=0时,称向量 x 与 y 正交;特别地,零向量与任何向量都正交.一组两两正交的非零向量构成的向量组称为正交向量组定理定理:正交向量组必线性无关正交向量组必线性无关 在实际应用中,常以正交向量组作为向量空间的基，叫做向量空间的正交基;而由单位向量构成的正交基叫做规范正交基(或标准正交基).第3页/共13页例例:已知
2、 R3 中两个正交向量构成 R3 的一个正交基.解：第4页/共13页四、规范正交基的求法(1)先使用Schimidt正交化法正交化正交化:第5页/共13页（2）再单位化单位化，取第6页/共13页例例 用施密特正交化方法，将向量组正交规范化.解解:先正交化，取第7页/共13页续解续解:已正交化得再单位化得规范正交向量组第8页/共13页五、正交矩阵与正交变换定义定义:若若 n 阶阶方阵方阵A 满足满足 AT A=E (即即A1=AT),则称则称 A 为为正交矩阵正交矩阵(简称为简称为正交阵正交阵).方阵方阵A 为为正交矩阵的充要条件是正交矩阵的充要条件是 A 的列（行）的列（行）向量都是单位向量且
3、两两正交向量都是单位向量且两两正交正交矩阵的性质:设A,B 为 n 阶正交矩阵,则(1)A1=AT 也为正交矩阵,且|A|=1 或1.(2)AB 也为正交矩阵.第9页/共13页定义定义:若若 P 为正交阵为正交阵,则线性变换则线性变换 y=P x 称为称为正交变换正交变换.正交变换的性质:(1)正交变换可逆，且其逆变换也是正交变换.(2)正交变换保持向量的内积及长度不变正交变换保持向量的内积及长度不变第10页/共13页例：例：判别矩阵 A=是否为正交阵？解：解：只需验证 AT A 是否等于 E？由于所以 A是正交矩阵.第11页/共13页例：例：设实对称阵 A 满足 证明：A+3E 为正交矩阵.证：证：因为 所以 A+3E 是正交矩阵.第12页/共13页感谢您的观看！第13页/共13页