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1、向量与线性方程组的求解第第1节节 线性方程组的高斯消元解法及解判定定理线性方程组的高斯消元解法及解判定定理第第2节节 向量及其运算向量及其运算第第3节节 向量组的线性相关性及相互表示向量组的线性相关性及相互表示第第4节节 向量组的秩向量组的秩第第5节节 线性方程组解的结构线性方程组解的结构第第6节节 向量的内积与正交化向量的内积与正交化第第6节节 向量的内积与正交化向量的内积与正交化一一 向量的内积、长度及向量间的夹角向量的内积、长度及向量间的夹角定义定义 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数。内积也称作点积点积或点乘点乘，并记作 x y。由于向量又可看作矩阵，借用矩阵记号，向量(列
2、矩阵)x,y 的内积又可写成 (x,y)=xT y。内积具有下列性质(其中 x,y,z 为 n 维向量，k 为实数)：(1)(x,y)=(y,x);(2)(kx,y)=k(x,y);(3)(x+y,z)=(x,z)+(y,z);(4)(x,x)0，当且仅当 x=0 时,(x,x)=0。内积还满足施瓦茨施瓦茨(Schwarz)不等式不等式定义：定义向量 的长度长度(范数范数,模模)为向量的长度具有下述性质：(1)非负性：当 x0 时，|x|0；当 x=0 时，|x|=0；(2)齐次性：|k x|=|k|x|；(3)施瓦茨不等式：|(x,y)|x|y|；(4)三角不等式：|x+y|x|+|y|。在
3、二、三维空间中有向量夹角的概念，在更高维的向量空间中，夹角并没有直观的含义。但由施瓦茨不等式，当 x0,y0时，有称该角度为非零向量x与y的夹角夹角。当(x,y)=0时，x与y的夹角为 ,此时称向量x与y正交正交，记为 。由于零向量与任意同维向量的内积为0，所以规定规定零向零向量与任意同维向量正交。量与任意同维向量正交。二二 正交的向量组及向量组的正交化正交的向量组及向量组的正交化 若一组向量两两正交，且不含0向量，则称该向量组为正交向量组。定理定理：正交的向量组必线性无关。例：例：在 n维向量空间中可以找到 n 个两两正交的向量。这是因为1)对任意的 有非零解，从而任取一非零解作为2)则 正
4、交；2)又因方程组 亦有非零解，从而可确定与 正交的 ；3)如此下去进一步确定出 ，即得 n 个两两正交的非零向量组。若现已有线性无关的向量组 ，也可以构建一个与之等价的且两两正交的向量组：以上过程称为施密特施密特(Schimidt)正交化过程正交化过程。进一步，可将 单位化（规范化），对施密特正交化过程，应注意向量组 与向量组 等价，其中 t=1,r例：例：例：可得：定理定理：方阵 A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列(行)向量都是单位向量，且两两正交。三三 正交矩阵与正交变换正交矩阵与正交变换定义：如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA=E则称 A 为正交矩阵正交矩阵，简称正交阵正交阵。对正交阵 A 按列自然分块，则有正交矩阵有如下性质：1)若 A 为正交矩阵，则|A|=1 或|A|=-1；2)A为正交矩阵，则 AT=A-1 也为正交矩阵；3)若A，B为同阶正交矩阵，则 AB 也为正交矩阵。定义：若 P 为正交矩阵，则线性变换 y=Px 称为正交变换。性质性质：正交变换保持线段长度不变。设 y=Px 为正交变换，则有由于任意两点的距离均不变，从而正交变换不改变图形的形状，这是正交变换的优良特性。