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1、平面向量数乘运算及其几何意义平面向量数乘运算及其几何意义11.1.向量向量加法加法三角形法则三角形法则:特点特点:首尾顺次连，起点首尾顺次连，起点指终点指终点特点特点:起点相同起点相同,对角为和对角为和BAO特点：平移同起点，方向指被减特点：平移同起点，方向指被减2.2.向量向量加法加法平行四边形法则平行四边形法则:3.3.向量向量减法减法三角形法则三角形法则:第1页/共23页已知非零向量已知非零向量 ,作出作出 ,你能发现什么你能发现什么？类比上述结论，类比上述结论，又如何呢？又如何呢？OABCPQMN与与 方向相同方向相同与与 方向相反方向相反作一作，看成果作一作，看成果第2页/共23页
2、一般地，我们规定实数一般地，我们规定实数与向量与向量 的积是一个的积是一个向量向量，这种运算叫做这种运算叫做向量的数乘向量的数乘，记作，记作 ，它的长度和方向，它的长度和方向规定如下：规定如下：（1 1）（2 2）当）当 时，时，的方向与的方向与 的方向的方向相同相同；当当 时，时，的方向与的方向与 的方向的方向相反相反。特别的，当特别的，当 时，时，书本书本P90,P90,练习练习2,32,3练一练练一练:第3页/共23页(1)(1)根据定义，求作向量根据定义，求作向量根据定义，求作向量根据定义，求作向量3(23(2a a)和和和和(6(6a a)(a a为非零向量为非零向量为非零向量为非零
3、向量)，并进行比较。，并进行比较。，并进行比较。，并进行比较。=(2)(2)已知向量已知向量已知向量已知向量 a,ba,b，求作向量，求作向量，求作向量，求作向量2(2(a+ba+b)和和和和2 2a+a+2 2b b，并进行比较。，并进行比较。，并进行比较。，并进行比较。第4页/共23页向量的数乘运算满足如下运算律：向量的数乘运算满足如下运算律：向量的加、减、数乘运算统称为向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算第5页/共23页例例1、计算下列各式、计算下列各式书本书本P90,P90,练习练习5 5练一练练一练:第6页/共23页成立成立第7页/共23页向量共线定理：向量共线定
4、理：书本书本P90,P90,练习练习4 4 练一练练一练:思考思考思考思考:1):1):1):1)为什么要是非零向量为什么要是非零向量为什么要是非零向量为什么要是非零向量?2)2)2)2)可以是零向量吗可以是零向量吗可以是零向量吗可以是零向量吗?第8页/共23页例例2 2 如图，已知如图，已知AD=3ABAD=3AB，DE=3BCDE=3BC，试判断试判断ACAC与与AEAE是否共线。是否共线。与与 共线共线 解解：第9页/共23页例例3.如图，已知任意两个向量如图，已知任意两个向量 ，试作，试作你能判断你能判断A、B、C三点之三点之间的位置关系吗？为什么？间的位置关系吗？为什么？ABCO第1
5、0页/共23页证明证明证明证明三点共线三点共线三点共线三点共线的方法的方法的方法的方法:总结总结:AB=BC AB=BC 且有公共点且有公共点且有公共点且有公共点A,B,CA,B,C三点共线三点共线三点共线三点共线第11页/共23页设是两个不共线的向量，设是两个不共线的向量，若，若A、B、D三点共线，求三点共线，求k的值的值.第12页/共23页例例5.如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点的两条对角线相交于点M，且，且 ，你能用，你能用 、来表示来表示 。ABDCM书本书本P92,11P92,11题题练一练练一练:第13页/共23页第14页/共23页第15页/共23页第1
6、6页/共23页第17页/共23页第18页/共23页第19页/共23页第20页/共23页一、一、一、一、a a 的定义及运算律的定义及运算律的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理向量共线定理向量共线定理 (a0)(a0)b=b=a a 向量向量向量向量a a与与与与b b共线共线共线共线 二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用：1.1.证明证明证明证明 向量共线向量共线向量共线向量共线 2.2.证明证明证明证明 三点共线三点共线三点共线三点共线:AB=:AB=BC BC 且有公共点且有公共点且有公共点且有公共点 3.3.证明证明证明证明 两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行:AB=AB=CDCD AB AB与与与与CDCD不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上直线直线直线直线ABAB直线直线直线直线CDCD小结小结:A,B,CA,B,C三点共线三点共线三点共线三点共线ABABCDCD第21页/共23页书本书本P91，A组，组，9,10 B组组,3第22页/共23页