微积分下册总复习.pptx

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1、1 1、多元函数的定义、极限及连续性、多元函数的定义、极限及连续性确定极限确定极限不存在不存在的方法的方法(1)(1)此时即可断言极限不存在。此时即可断言极限不存在。找两种不同趋近方式找两种不同趋近方式,但两者不相等但两者不相等,存在存在,第七章 多元函数微分学第1页/共107页2 2、偏导数与、偏导数与全微分全微分第2页/共107页 可 微 连 续偏导数连续偏导存在第3页/共107页若不存在，则不可微，若不存在，则不可微，否则转下一步；否则转下一步；若为若为0 0，则可微，则可微，否则不可微。否则不可微。第4页/共107页3 3、复合函数求导法、复合函数求导法则复合函数则复合函数第5页/共1

2、07页(1)一个方程情形(二元方程、三元方程)4 4、隐函数的求导法隐函数的求导法隐函数存在定理隐函数存在定理1 1 设设的某一邻域内满足的某一邻域内满足:在点在点则方程则方程的某一邻域内的某一邻域内并有并有(1)具有连续偏导数具有连续偏导数;它它满足满足条件条件在点在点恒能恒能唯一唯一确定一个确定一个连续且具有连续导数连续且具有连续导数的函数的函数第6页/共107页第7页/共107页(2)方程组情形隐函数的个数=方程的个数隐函数的自变量个数=总自变量个数 方程的个数第8页/共107页5.多元函数微分学的几何应用(1)空间曲线的切线与法平面(三种情形)(2)空间曲面的切平面与法线(三种情形)6

3、.方向导数与梯度方向导数梯度*第9页/共107页方向导数与梯度的关系函数沿梯度方向的方向导数最大(即增长最快)，且方向导数的最大值为梯度的模。7.多元函数的极值与最值(1)极值的必要条件极值的充分条件(2)求条件极值的方法代入法，Lagrange乘数法*第10页/共107页(3)求最值的方法1.求D内所有的驻点和不可导点；2.用求条件极值的方法(Lagrange乘数法或代入法)求D的边界上的条件极值点；3.求D的边界的边界点；4.计算上面三步求出的所有点的函数值，最大者即为D上的最大值，最小者即为最小值。第11页/共107页 1.理解二重积分、三重积分的概念,第八章 重积分2.掌握二重积分的计

4、算法(直角坐标、极 3.会用重积分求一些几何量与物理量.了解重积分的性质.了解三重积分的计算法（直角坐标、坐标)，柱面坐标、球面坐标).第12页/共107页其中二重积分二重积分是各小闭区域的直径中的最大值.几何意义几何意义二重积分I表示以D为底,柱体的体积.z=f(x,y)为曲顶,侧面是定义定义1.平面上有界闭区域D上二元有界函数z=f(x,y)的二重积分2.当连续函数以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面的曲顶一般情形,xOy平面上方的曲顶柱体体积减xOy平面下方的曲顶柱体体积.第13页/共107页物理意义物理意义3.若平面薄片占有平面内有界闭区域D,则它的质量M为:它的面密度为连续函数性质

5、性质1(线性运算性质线性运算性质)为常数,则(重积分与定积分有类似的性质)4 4、二重积分的性质第14页/共107页性质性质2 将区域D分为两个子域对积分区域的可加性质.以1为高的性质性质3(几何应用几何应用)若 为D的面积 注注既可看成是以D为底,柱体体积.又可看成是D的面积.第15页/共107页特殊地特殊地性质性质4(4(比较性质比较性质)则(保序性保序性)性质性质5(5(估值性质估值性质)为D的面积,则第16页/共107页性质性质6(6(二重积分中值定理二重积分中值定理)体体积等于以D为底几何意义域D上连续,为D的面积,则在D上至少存在一点使得则曲顶柱 为高的平顶柱体体积.设f(x,y)

6、在闭区第17页/共107页(1)设f(x,y)在有界闭区域D上连续.若D关于则x轴对称,f(x,y)对y为奇函数,即 f(x,y)对y为偶函数,即则其中5 5、对称区域上奇偶函数的积分性质第18页/共107页(2)设f(x,y)在有界闭区域D上连续.若D关于则 y轴对称,f(x,y)对x为奇函数,即 f(x,y)对x为偶函数,即则其中第19页/共107页其中函数 在区间a,b上连续.(1)直角坐标系直角坐标系先对y 后对x的二次积分6、二重积分计算、二重积分计算第20页/共107页其中函数 在区间c,d上连续.先对x 后对y的二次积分.第21页/共107页交换积分次序的步骤交换积分次序的步骤

7、(1)利用已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域,(2)按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图;第22页/共107页极坐标系中的面积元素(2)极坐标系极坐标系其中函数第23页/共107页其中函数第24页/共107页极坐标系下区域的面积其中函数第25页/共107页2、三重积分的几何意义、三重积分的几何意义3 3、三重积分的性质、三重积分的性质类似于二重积分的性质1 1、三重积分的定义、三重积分的定义三重积分第26页/共107页三重积分对称性质对称性质则称f关于变量z的奇 函数.关于坐标面的上半部区域.(偶)第27页/共107页关于坐标面的前半部区域.三重积分三重积分第28页/共10

8、7页关于坐标面的右半部区域.三重积分三重积分第29页/共107页4 4、三重积分的计算、三重积分的计算()直角坐标第30页/共107页()柱面坐标注通常是先积再积后积第31页/共107页()球面坐标通常是注第32页/共107页5 5、二重积分的应用、二重积分的应用(1)体积设S曲面的方程为：曲面S的面积为(2)曲面面积第33页/共107页当薄片是均匀的，重心称为形心.(3)重心第34页/共107页薄片对于x轴的转动惯量薄片对于y轴的转动惯量(4)转动惯量第35页/共107页薄片对 轴上单位质点的引力为引力常数(5)引力第36页/共107页6 6、三重积分的应用、三重积分的应用()重心第37页/

9、共107页()转动惯量转动惯量第38页/共107页第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.2.会计算两类曲线积分.曲线积分与路径无关的条件.1.理解两类曲线积分的概念,了解两类3.掌握格林(Green)公式,会使用平面第39页/共107页(Gauss)、5.了解散度、旋度的概念及其计算6.会用曲线积分、4.了解两类曲面积分的概念及高斯并会计算两类曲面积分.斯托克斯(Stokes)公式,方法.曲面积分求一些几何量与物理量.第40页/共107页 曲曲 线线 积积 分分第一类曲线积分第一类曲线积分第二类曲线积分第二类曲线积分定定义义联联系系计计算算三代一

10、定二代一定 (与方向有关)第41页/共107页格林公式格林公式第42页/共107页与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题第43页/共107页思路思路闭合非闭闭合非闭补充曲线或用公式第二类曲线积分第二类曲线积分的计算法+LyyxQxyxPd),(d),(-=DyxyPxQIdd)(第44页/共107页 如果曲面方程为以下三种：如果曲面方程为以下三种：第一类曲面积分 曲面积分曲面积分则则第45页/共107页则第46页/共107页第二类曲面积分其中符号当取上侧时为正，下侧时为负。其中符号当取右侧时为正，左侧时为负。第47页/共107页其中符号当取前侧时为正，后侧时为

11、负。注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.第48页/共107页两类关系第49页/共107页高斯公式第50页/共107页设向量场设向量场P,Q,R,在域在域G内有一阶内有一阶 连续连续 偏导数偏导数,则则 向量场通过有向曲面向量场通过有向曲面 的通量为的通量为 2.通量与散度通量与散度 G 内任意点处的内任意点处的散度散度为为 第51页/共107页斯托克斯斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式斯托克斯公式斯托克斯公式第52页/共107页斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 第53页/共107页2.2.旋度第54页/共107页第二类曲第

12、二类曲面积分的计算法面积分的计算法1.利用利用Gauss公式公式具有则外侧外侧.一阶连续偏导数一阶连续偏导数,具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数,则第55页/共107页2.上侧为正，下侧为负。第56页/共107页常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数交错级 数 正正项项级级数数幂级数幂级数三角级数三角级数收收敛敛半半径径R R泰勒展开式泰勒展开式数或函数数或函数函函 数数数数任任意意项项级级数数傅氏展开式傅氏展开式傅氏级数傅氏级数泰勒级数泰勒级数满足狄 氏条件在收敛 级数与数条件下 相互转化 第十章 无穷级数第57页/共107页定义定义1 1、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法审敛法审敛法

13、(1)(1)比较审敛法比较审敛法第58页/共107页(2)(2)比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式第59页/共107页第60页/共107页定义定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.2 2、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法第61页/共107页定义定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.3 3、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法第62页/共107页4 4、函数项级数、函数项级数(1)(1)定义定义(2)(2)收敛点与收敛域收敛点与收敛域第63页/共107页(3)(3)和函数和函数第64页/共107页(1)(1)定义定义5 5、幂级数、幂级数第65页/共107页(2)(2

14、)收敛性收敛性第66页/共107页推论推论第67页/共107页定义定义:正数R称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间.第68页/共107页a.a.代数运算性质:加减法加减法(其中(3)(3)幂级数的运算幂级数的运算第69页/共107页乘法乘法(其中除法除法第70页/共107页b.b.和函数的分析运算性质:第71页/共107页(4)幂级数展开式第72页/共107页充要条件充要条件唯一性唯一性第73页/共107页展开方法展开方法a.a.直接法(泰勒级数法)步骤步骤:b.b.间接法 根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方

15、法,求展开式.第74页/共107页常见函数展开式常见函数展开式第75页/共107页第76页/共107页应用应用a.a.近似计算b.b.欧拉公式第77页/共107页(1)(1)三角函数系三角函数系三角函数系6 6、傅里叶级数、傅里叶级数第78页/共107页(2)(2)傅里叶级数傅里叶级数定义定义三角级数第79页/共107页其中称为傅里叶级数.第80页/共107页(3)(3)狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分条件充分条件(收敛定理收敛定理)第81页/共107页(4)(4)正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数第82页/共107页第83页/共107页奇延拓奇延拓:(5)(

16、5)周期的延拓周期的延拓第84页/共107页偶延拓偶延拓:第85页/共107页第86页/共107页第十一章 微分方程1.一阶微分方程一阶微分方程可分离变量方程齐次方程(可化为齐次方程的方程)一阶线性微分方程2.可降阶的高阶微分方程Bernoulli方程 全微分方程4.常系数线性微分方程(齐次，非齐次)3.线性微分方程解的结构第87页/共107页1 1、基本概念、基本概念微分方程微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解 第88页/

17、共107页通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解特解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解初始条件初始条件用来确定任意常数的条件.初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题第89页/共107页(1)可分离变量的微分方程解法解法分离变量法2 2、一阶微分方程的解法、一阶微分方程的解法(2)齐次方程解法解法作变量代换第90页/共107页齐次方程否则为非齐次方程(3)可化为齐次的方程解法解法化为齐次方程是两直线的交点第91页/共107页(4)一阶线性微分方程上方程称为齐次的上方程称为非齐次的

18、.齐次方程的通解为（使用分离变量法）解法解法非齐次微分方程的通解为（使用常数变易法）第92页/共107页(5)伯努利(Bernoulli)方程方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.解法解法 需经过变量代换化为线性微分方程第93页/共107页解法解法应用曲线积分与路径无关.用直接凑全微分的方法.通解为其中形如(6)全微分方程 用不定积分的方法.第94页/共107页(7)可化为全微分方程形如观察法观察法:熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子第95页/共107页常见的全微分表达式可选用积分因子第96页/共107页3 3、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法解法解

19、法特点特点 型型接连积分n次，得通解 型型解法解法代入原方程,得第97页/共107页特点特点 型型解法解法代入原方程,得第98页/共107页4 4、高阶线性微分方程解的结构、高阶线性微分方程解的结构 (1)(1)齐次线性微分方程解的结构齐次线性微分方程解的结构 解的叠加性：是方程是方程(1)(1)的解，的解，也是也是(1)(1)的解，其中的解，其中第99页/共107页是是(1)(1)的通解，其中的通解，其中通解的结构：是方程是方程(1)(1)的的n n个线性无关的解个线性无关的解,(2)(2)非齐次线性微分方程解的结构非齐次线性微分方程解的结构 第100页/共107页（可推广到（可推广到n n

20、阶非齐次线性微分方程）阶非齐次线性微分方程）解的性质：是非齐次方程是非齐次方程(2)(2)的两个解的两个解,是是(2)(2)所对应的齐次方程所对应的齐次方程(1)(1)的解的解.若若设设第101页/共107页是对应齐次方程的是对应齐次方程的n n个线性个线性无关特解无关特解,给定给定n n阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解通解的结构：通解的结构：第102页/共107页5 5、二阶常系数线性、二阶常系数线性齐次齐次齐次齐次微分方程的解法微分方程的解法 特征方程特征方程:实根实根 （以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程）（以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程）特特 征征 根根通通 解解第103页/共107页特征方程为特征方程为特征根特征根通解中的对应项通解中的对应项n阶常系数齐次线性方程解法：第104页/共107页6 6、二阶、二阶常系数线性常系数线性非齐次非齐次非齐次非齐次微分方程微分方程 通解为通解为非齐次方程特解非齐次方程特解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特解特解 待定系数法待定系数法第105页/共107页关系第106页/共107页感谢您的观看！第107页/共107页