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1、会计学1工学一阶电路和二阶电路的时域分析工学一阶电路和二阶电路的时域分析7-1动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件一阶电路：一阶电路：用一阶微分方程描述的电路用一阶微分方程描述的电路一、换一、换路：路：指指电电路路中中开开关关的的突突然然接接通通或或断断开开，元元件件参数的变化，激励形式的改变等。参数的变化，激励形式的改变等。换路时刻换路时刻（通常取（通常取0），换路前），换路前一瞬间：一瞬间：，换路后一瞬间：，换路后一瞬间：。第1页/共245页二、换二、换路路定定则则第2页/共245页三、初始值的计算三、初始值的计算1.求求 给给定定 时，原电路为直流稳态时，原电路为直流稳态
2、：C C 断路断路 L L短路短路 时，电路未进入稳态时，电路未进入稳态：第3页/共245页2.画画时的等效电路时的等效电路换路前后电压（流）不变的为电压（流）源换路前后电压（流）不变的为电压（流）源 C C电压源电压源 L L 电流源电流源 C C短短 路路 L L断断 路路 3.利用直流利用直流电阻电阻电路的计算方法求初始值电路的计算方法求初始值第4页/共245页icL已知：已知：时，原电路已稳定时，原电路已稳定,时，打开开关时，打开开关S。求：求：时，各物理量的初始值。时，各物理量的初始值。C R10S(t=0)uC+_iR2 15 15 R2 R110_ uR1+iL_uL+10V第5
3、页/共245页Cic解：解：1.求求 时，时，R110iLL10V R10St=0)uC+_iR2 15 15 R2_ uR1+_uL+151010iL(0_)10VuC(0_)+_第6页/共245页2.画画时的等效电路：时的等效电路：3.时时 iR2(0+)uL(0+)_+101010150.25A7.5V+_iC(0+)10VuR1(0+)_+第7页/共245页41474ACS(t=0)uC(t)+_10i1+_i(t)i1已知：已知：t0后电容电压的变化过程。当开后电容电压的变化过程。当开关倒向关倒向2端的瞬间，电容电压不能跃变，即端的瞬间，电容电压不能跃变，即由于电容与电阻并联，这使得
4、电阻电压与电容电压由于电容与电阻并联，这使得电阻电压与电容电压相同，即相同，即电阻的电流为电阻的电流为第14页/共245页该电流在电阻中引起的功率和能量为该电流在电阻中引起的功率和能量为电容中的能量电容中的能量为为随着时间的增长，电阻消耗的能量需要电容来提随着时间的增长，电阻消耗的能量需要电容来提供，这造成电容电压的下降。一直到电容上电压变为供，这造成电容电压的下降。一直到电容上电压变为零和电容放出全部存储的能量为止。也就是电容电压零和电容放出全部存储的能量为止。也就是电容电压从初始值从初始值uC(0+)=U0逐渐减小到零的变化过程。逐渐减小到零的变化过程。这一过这一过程变化的快慢取决于电阻消
5、耗能量的速率。程变化的快慢取决于电阻消耗能量的速率。第15页/共245页为建立图为建立图(b)所示电路的一所示电路的一阶微分方程，由阶微分方程，由KVL得到得到由由KCL和电阻、电容的和电阻、电容的VCR方程得到方程得到代入上式得到以下方程代入上式得到以下方程第16页/共245页这是一个常系数线性一阶齐这是一个常系数线性一阶齐次微分方程。其通解为次微分方程。其通解为代入式代入式(71)中，得到特征方程中，得到特征方程其解为其解为 称为电路的固有频率。称为电路的固有频率。第17页/共245页于是电容电压变为于是电容电压变为式中式中K是一个常量，由初始条件确定。当是一个常量，由初始条件确定。当t=
6、0+时上式变为时上式变为根据初始条件根据初始条件求求得得第18页/共245页最后得到图最后得到图73(b)电路的零输入响应为电路的零输入响应为图图7-3第19页/共245页从式从式74可见，各电压电流的变化快慢取决于可见，各电压电流的变化快慢取决于R和和C的乘积。的乘积。令令 =RC，由于，由于 具有时间的量纲，故称它为具有时间的量纲，故称它为RC电路的时间常电路的时间常数。引入数。引入 后，式后，式74表示为表示为图图7 74 4 RC电路零输入响应的波形曲线电路零输入响应的波形曲线 第20页/共245页下下面面以以电电容容电电压压为为例例，说说明明电电压压的的变变化化与与时间常数的关系。时
7、间常数的关系。当当t=0时，时，uC(0)=U0，当，当t=时，时，uC()=0.368U0。表。表71列出列出t等于等于0，2，3，4，5 时的电容电压值，由于时的电容电压值，由于波形衰减很快，实际上只要经过波形衰减很快，实际上只要经过45 的时间就可以认为放的时间就可以认为放电过程基本结束。电过程基本结束。t0 2 3 4 5 uc(t)U00.368U00.135U00.050U00.018U00.007U00表表71第21页/共245页电阻在电容放电过程中消耗的全部能量为电阻在电容放电过程中消耗的全部能量为 计算结果证明了计算结果证明了电容在放电过程中释放的能量的电容在放电过程中释放的
8、能量的确全部转换为电阻消耗的能量。确全部转换为电阻消耗的能量。图图7 74 4 RC电路零输入响应的波形曲线电路零输入响应的波形曲线 第22页/共245页由于电容在放电过程中释放的能量全部转换为电阻由于电容在放电过程中释放的能量全部转换为电阻消耗的能量。电阻消耗能量的速率直接影响电容电压消耗的能量。电阻消耗能量的速率直接影响电容电压衰减的快慢，我们可以从能量消耗的角度来说明放电衰减的快慢，我们可以从能量消耗的角度来说明放电过程的快慢。过程的快慢。例如在电容电压初始值例如在电容电压初始值U0不变的条件下，增加电不变的条件下，增加电容容C，就增加电容的初始储能，使放电过程的时间加，就增加电容的初始
9、储能，使放电过程的时间加长；若增加电阻长；若增加电阻R，电阻电流减小，电阻消耗能量减，电阻电流减小，电阻消耗能量减少，使放电过程的时间加长。少，使放电过程的时间加长。这就可以解释当时间常数这就可以解释当时间常数=RC变大，电容放电过变大，电容放电过程会加长的原因。程会加长的原因。第23页/共245页电路如图电路如图75(a)所示，已知电容电压所示，已知电容电压uC(0-)=6V。t=0闭合开关，求闭合开关，求t 0的电容电压和电容电流。的电容电压和电容电流。图图75解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到此得到 第24页/共245页将将连接于电容两
10、端的电阻单口网络连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻，其等效于一个电阻，其电阻值为电阻值为 得到图得到图(b)所示电路，其时间常数为所示电路，其时间常数为第25页/共245页根据式根据式75得到得到电阻中的电流电阻中的电流iR(t)可以用与可以用与iC(t)同样数值的电流源代同样数值的电流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得替电容，用电阻并联的分流公式求得iR(t)第26页/共245页二、二、RL电路的零输入响应电路的零输入响应电感电流原来等于电流电感电流原来等于电流I0，电感中储存一定的，电感中储存一定的磁场能量，在磁场能量，在t=0时开关由时开关由1端倒向端倒向2端，换路端，换路后的
11、电路如图后的电路如图(b)所示。所示。图图7-6以图以图76(a)电路为例来说明电路为例来说明RL电路零输入响应电路零输入响应的计算过程。的计算过程。第27页/共245页在开关转换瞬间，由于电感电流不能跃变，即在开关转换瞬间，由于电感电流不能跃变，即iL(0+)=iL(0-)=I0，这个电感电流通过电阻，这个电感电流通过电阻R时引起时引起能量的消耗，这就造成电感电流的不断减少，直到能量的消耗，这就造成电感电流的不断减少，直到电流变为零为止。电流变为零为止。综上所述，图综上所述，图(b)所示所示RL电电路是电感中的初始储能逐渐释路是电感中的初始储能逐渐释放出来消耗在电阻中的过程。放出来消耗在电阻
12、中的过程。与能量变化过程相应的是各电与能量变化过程相应的是各电压电流从初始值，逐渐减小到压电流从初始值，逐渐减小到零的过程。零的过程。第28页/共245页列出列出KCL方程方程代入电感代入电感VCR方程方程得到以下微分方程得到以下微分方程第29页/共245页这个微分方程与式这个微分方程与式(71)相似，其通解为相似，其通解为代入初始条件代入初始条件iL(0+)=I0求得求得 最后得到电感电流和电感电压的表达式为最后得到电感电流和电感电压的表达式为 第30页/共245页其波形如图所示。其波形如图所示。RL电路零输入响应也是按指数电路零输入响应也是按指数规律衰减，衰减的快慢取决于常数规律衰减，衰减
13、的快慢取决于常数。由于。由于=L/R具有具有时间的量纲，称为时间的量纲，称为RL电路的时间常数。电路的时间常数。图图7-7第31页/共245页电路如图电路如图78(a)所示，开关所示，开关S1连接至连接至1端已经很久，端已经很久，t=0时开关时开关S由由1端倒向端倒向2端。求端。求t 0时的电感电流时的电感电流iL(t)和电感电压和电感电压uL(t)。图图7-8解：开关转换瞬间，电感电流不能跃变，故解：开关转换瞬间，电感电流不能跃变，故第32页/共245页将连接到电感的电阻单口网络等效为一个的电阻，将连接到电感的电阻单口网络等效为一个的电阻，得到的电路如图得到的电路如图(b)所示。该电路的时间
14、常数为所示。该电路的时间常数为根据式根据式77得到电感电流和电感电压为得到电感电流和电感电压为第33页/共245页通过对通过对RC和和RL一阶电路零输入响应的分析和一阶电路零输入响应的分析和计算表明，电路中各电压电流均从其初始值开始，计算表明，电路中各电压电流均从其初始值开始，按照指数规律衰减到零，一般表达式为按照指数规律衰减到零，一般表达式为因为电容或电感在非零初始状态时具有初始储因为电容或电感在非零初始状态时具有初始储能，各元件有初始电压电流存在，由于电阻要消耗能，各元件有初始电压电流存在，由于电阻要消耗能量，一直要将储能元件的储能消耗完，各电压电能量，一直要将储能元件的储能消耗完，各电压
15、电流均变为零为止。流均变为零为止。第34页/共245页7-3 7-3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应初初始始状状态态为为零零，仅仅仅仅由由独独立立电电源源(称称为为激激励励或或输输入入)引引起起的的响响应应，称称为为零零状状态态响响应应。本本节节只只讨讨论论由由直直流流电源引起的零状态响应。电源引起的零状态响应。一、一、RC电路的零状态响应电路的零状态响应 图图7-9(a)所示电路中的电容原来未充电，所示电路中的电容原来未充电，uC(0-)=0。t=0时开关闭合，时开关闭合，RC串联电路与直流电压源连接，串联电路与直流电压源连接，电压源通过电阻
16、对电容充电。电压源通过电阻对电容充电。第35页/共245页图图7-9uC(0-)=0其电压电流的变化规律，可以通过以下计算求得。其电压电流的变化规律，可以通过以下计算求得。第36页/共245页(a)t0的电路的电路以电容电压为变量，列出图以电容电压为变量，列出图(b)所示电路的微分方程所示电路的微分方程图图7-9uC(0-)=0uC(0+)=0其电压电流的变化规律，可以通过以下计算求得。其电压电流的变化规律，可以通过以下计算求得。第37页/共245页这是一个常系数线性非齐次一阶微分方程。其解答这是一个常系数线性非齐次一阶微分方程。其解答由两部分组成，即由两部分组成，即式中的式中的uCh(t)是
17、与式（是与式（78）相应的齐次微分方程）相应的齐次微分方程的通解，其形式与零输入响应相同，即的通解，其形式与零输入响应相同，即第38页/共245页式式(79)中中的的uCp(t)是是式式(78)所所示示非非齐齐次次微微分分方方程程的的一一个个特特解解。一一般般来来说说，它它的的模模式式与与输输入入函函数数相相同同。对对于于直直流电源激励的电路，它是一个常数，令流电源激励的电路，它是一个常数，令将它代入式将它代入式(78)中求得中求得因而因而第39页/共245页式中的常数式中的常数K由初始条件确定。在由初始条件确定。在t=0+时时由此求得由此求得代入式代入式(710)中得到零状态响应为中得到零状
18、态响应为第40页/共245页其波形如图其波形如图(710)所示。所示。图图710RC电路的零状态响应曲线电路的零状态响应曲线图图7-9第41页/共245页从上可见，从上可见，电容电压由零开始以指数规律上升到电容电压由零开始以指数规律上升到US，经过一个时间常数变化到，经过一个时间常数变化到(1-0.368)US=0.632US，经过，经过(45)时间后电容电压实际上达到时间后电容电压实际上达到US。电容电流则从初始值电容电流则从初始值US/R以指数规律衰减到零。零以指数规律衰减到零。零状态响应变化的快慢也取决于时间常数状态响应变化的快慢也取决于时间常数 =RC。当时间。当时间常数常数 越大，充
19、电过程就越长。越大，充电过程就越长。第42页/共245页电路如图电路如图7-11(a)所示，已知电容电压所示，已知电容电压uC(0-)=0。t=0打开开关，求打开开关，求t 0的电容电压的电容电压uC(t),电容电流电容电流iC(t)以及以及电阻电流电阻电流i1(t)。图图7-11uC(0-)=0第43页/共245页解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到先将连接于电容两端的含源电阻单口网络等效于戴先将连接于电容两端的含源电阻单口网络等效于戴维宁等效电路，得到图维宁等效电路，得到图(b)所示电路，其中所示电路，其中 电路的时间常数为电路的时间
20、常数为 第44页/共245页 当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路，由此求得当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路，由此求得 按照式按照式(711)可以得到可以得到为了求得为了求得i1(t)，根据图（，根据图（a）所示电路，用）所示电路，用KCL方方程得到程得到第45页/共245页二、二、RL电路的零状态响应电路的零状态响应 RL一阶电路的零状态响应与一阶电路的零状态响应与RC一阶电路相似。一阶电路相似。图图7-12所示电路在开关转换前，电感电流为零，所示电路在开关转换前，电感电流为零，即即iL(0-)=0。当。当t=0时开关由时开关由a倒向倒向b，其电感电流，其电感电流和电感电压的计算如下
21、：和电感电压的计算如下：图图712RL电路的零状态响应电路的零状态响应 第46页/共245页以电感电流作为变量，对图以电感电流作为变量，对图(b)电路列出电路方程电路列出电路方程 这是常系数非齐次一阶微分方程，其解答为这是常系数非齐次一阶微分方程，其解答为 第47页/共245页 常系数非齐次一阶微分方程的其解答为常系数非齐次一阶微分方程的其解答为 式中式中 =L/R是该电路的时间常数。常数是该电路的时间常数。常数K由初始条由初始条件确定，即件确定，即 由此求得由此求得 第48页/共245页最后得到最后得到RL一阶电路的零状态响应为一阶电路的零状态响应为其波形曲线如图其波形曲线如图713所示。所
22、示。图图713RL电路零状态响应的波形曲线电路零状态响应的波形曲线第49页/共245页电路如图电路如图7-14(a)所示，已知电感电流所示，已知电感电流iL(0-)=0。t=0闭合开关，求闭合开关，求t 0的电感电流和电的电感电流和电感电压。感电压。图图7-14第50页/共245页解：开关闭合后的电路如图解：开关闭合后的电路如图(b)所示，由于开关闭合瞬所示，由于开关闭合瞬间电感电压有界，电感电流不能跃变，即间电感电压有界，电感电流不能跃变，即将图将图(b)中连接电感的含源电阻单口网络用诺顿等中连接电感的含源电阻单口网络用诺顿等效电路代替，得到图效电路代替，得到图(c)所示电路。由此电路求得时
23、间所示电路。由此电路求得时间常数为常数为图图6-14第51页/共245页按照式按照式(714)可以得到可以得到假如还要计算电阻中的电流假如还要计算电阻中的电流i(t)，可以根据图，可以根据图(b)电电路，用欧姆定律求得路，用欧姆定律求得图图7-147-14第52页/共245页图图7-15(a)为一个继电器延时电路的模型。已知继电为一个继电器延时电路的模型。已知继电器线圈参数为：器线圈参数为：R=100，L=4H，当线圈电流达到，当线圈电流达到6mA时，继电器开始动作，将触头接通。从开关闭时，继电器开始动作，将触头接通。从开关闭合到触头接通时间称为延时时间。为了改变延时时合到触头接通时间称为延时
24、时间。为了改变延时时间，在电路中串联一个电位器，其电阻值可以从零间，在电路中串联一个电位器，其电阻值可以从零到到900 之间变化。若之间变化。若US=12V，试求电位器电阻值，试求电位器电阻值变化所引起的延时时间的变化范围。变化所引起的延时时间的变化范围。图图715第53页/共245页解：开关闭合前，电路处于零状态，解：开关闭合前，电路处于零状态，iL(0-)=0。开关转换瞬间电感电压有界，电感电流不能跃变，开关转换瞬间电感电压有界，电感电流不能跃变，即即iL(0+)=iL(0-)=0。将电路用图。将电路用图715(b)所示诺顿等效电所示诺顿等效电路代替，其中路代替，其中 电感电流的表达式为电
25、感电流的表达式为 第54页/共245页设设t0为延时时间，则有为延时时间，则有由此求得由此求得当当Rw=0 时，时，=0.04s当当Rw=900 时，时，=0.004s第55页/共245页7-4 7-4 7-4 7-4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应一阶电路的全响应一阶电路的全响应由储能元件的初始储能和独立电源共同引起的响应，由储能元件的初始储能和独立电源共同引起的响应，称为全响应。称为全响应。下面讨论下面讨论RC串联电路在直流电压源作用下串联电路在直流电压源作用下的全响应。电路如图的全响应。电路如图7-16(a)所示，开关连接在所示，开关连接在1端为时端为时已经很久，已经很久，uC(0-)
26、=U0。t=0时开关倒向时开关倒向2端。端。t 0时的电时的电路如图路如图7-16(b)所示所示。图图716RC电路的完全响电路的完全响应应 第56页/共245页为了求得电容电压的全响应，以电容电压为了求得电容电压的全响应，以电容电压uC(t)为变为变量，列出图量，列出图(b)所示电路的微分方程所示电路的微分方程 其解为其解为 UC(0+)=U0第57页/共245页 代入初始条件代入初始条件求得求得 于是得到电容电压以及电容电流的表达式于是得到电容电压以及电容电流的表达式 第58页/共245页第一项是对应微分方程的通解第一项是对应微分方程的通解uCh(t)，称为电路的固，称为电路的固有响应或自
27、由响应，有响应或自由响应，若时间常数若时间常数 0，固有响应将随时，固有响应将随时间增长而按指数规律衰减到零，在这种情况下，称它为间增长而按指数规律衰减到零，在这种情况下，称它为瞬态响应。瞬态响应。第二项是微分方程的特解第二项是微分方程的特解uCp(t)，其变化规律一般与，其变化规律一般与输入相同，称为强制响应。输入相同，称为强制响应。在直流输入时，当在直流输入时，当t时，时，uC(t)=uCp(t)这个强制响应称为这个强制响应称为直流稳态响应。直流稳态响应。第59页/共245页式式(716)可以改写为以下形式可以改写为以下形式式中第一项为初始状态单独作用引起的零输式中第一项为初始状态单独作用
28、引起的零输入响应，第二项为输入入响应，第二项为输入(独立电源独立电源)单独作用引起单独作用引起的零状态响应。的零状态响应。也就是说电路的也就是说电路的完全响应等于零输入响应与零完全响应等于零输入响应与零状态响应之和。状态响应之和。这是线性动态电路的一个基本性这是线性动态电路的一个基本性质，是响应可以叠加的一种体现。质，是响应可以叠加的一种体现。第60页/共245页以上两种叠加的关系，可以用波形曲线来表示。利以上两种叠加的关系，可以用波形曲线来表示。利用全响应的这两种分解方法，可以简化电路的分析计算，用全响应的这两种分解方法，可以简化电路的分析计算，实际电路存在的是电压电流的完全响应。实际电路存
29、在的是电压电流的完全响应。(a)(a)全响应分解为固有响应与强制响应之和全响应分解为固有响应与强制响应之和(b)(b)全响应分解为零输入响应与零状态响应之和全响应分解为零输入响应与零状态响应之和图图7-17瞬态响应瞬态响应稳态响应稳态响应全响应全响应零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应全响应全响应第61页/共245页图图7-18(a)所示电路原来处于稳定状态。所示电路原来处于稳定状态。t=0时开关时开关断开，求断开，求t 0的电感电流的电感电流iL(t)和电感电压和电感电压uL(t)。图图7-18iL(0+)=0.25A第62页/共245页解：在解：在t0时的电路中，用诺顿等效电路代替连接
30、电感的含源电时的电路中，用诺顿等效电路代替连接电感的含源电阻单口网络，得到图阻单口网络，得到图(b)所示电路，该电路的微分方程为所示电路，该电路的微分方程为 其全解为其全解为第63页/共245页 式中式中 代入上式得到代入上式得到 代入初始条代入初始条件件第64页/共245页其中第一项是瞬态响应，第二项是稳态响应。电路在开关断开其中第一项是瞬态响应，第二项是稳态响应。电路在开关断开后，经过后，经过(45)的时间，即经过的时间，即经过(810)ms的过渡时期，就达的过渡时期，就达到了稳态。到了稳态。于是于是 可以得到可以得到第65页/共245页 电电感感电电流流iL(t)的的全全响响应应也也可可
31、以以用用分分别别计计算算出出零零输输入入响响应应和和零零状状态响应，然后相加的方法求得。电感电流态响应，然后相加的方法求得。电感电流iL(t)的零输入响应为的零输入响应为电感电流电感电流iL(t)的零状态响应的零状态响应为为第66页/共245页 iL(t)的全响应为零输入响应与零状态响应之和的全响应为零输入响应与零状态响应之和电感电压的全响应可以利用电感元件的电感电压的全响应可以利用电感元件的VCR方程求方程求得得第67页/共245页电路如图电路如图7-19(a)所示。已知所示。已知 uC(0-)=4V，uS(t)=(2+e-2t)V，求电容电压，求电容电压uC(t)的全响应。的全响应。图图7
32、-19第68页/共245页解：将全响应分解为解：将全响应分解为(零输入响应零输入响应)(2V电压源引起的零状电压源引起的零状态响态响应应)(e-2t电压源引起的零状态响应电压源引起的零状态响应)。现在分别计算响应的几个。现在分别计算响应的几个分量然后相加得到全响应。分量然后相加得到全响应。首先列出图首先列出图(a)电路的微分方程和初始条件电路的微分方程和初始条件图图7-19第69页/共245页1.求电路的零输入响应求电路的零输入响应见图见图(b)电路电路求得求得图图7-19列出齐次微分方程和初始条件列出齐次微分方程和初始条件第70页/共245页2.求求2V电电压压源源引引起起的的零零状状态态响
33、响应应见见图图(c)电路电路由此求得由此求得图图7-19列出微分方程和初始条件列出微分方程和初始条件第71页/共245页3.求求2e-2tV电压源引起的零状态响应电压源引起的零状态响应见图见图(d)电路电路其解为其解为图图7-19列出微分方程和初始条件列出微分方程和初始条件第72页/共245页由此求得由此求得代入上式代入上式代入初始条件，代入初始条件，t=0时，时，最后求得零状态响应最后求得零状态响应由此得到由此得到K=1设设，并将它代入到式，并将它代入到式721所示微分方程中所示微分方程中可以得到可以得到第73页/共245页4.最后求得全响应如下最后求得全响应如下第74页/共245页思思考考
34、与与练练习习7-3-1在电阻，电感与电压源串联电路中，若在电阻，电感与电压源串联电路中，若US=1V,iL(0)=1A时的全响应为时的全响应为iL(t)。如果使全响应增加一倍，达到。如果使全响应增加一倍，达到2iL(t)，则需，则需改变电压源电压和电感初始电流为以下数值改变电压源电压和电感初始电流为以下数值(1)US=2V,iL(0)=1A(2)US=1V,iL(0)=2A(3)US=2V,iL(0)=2A请从以上三个条件中，选择一个正确的答案，并说明原因请从以上三个条件中，选择一个正确的答案，并说明原因。第75页/共245页图图7327-3-2图图7-3-2电路中电路中uC(0)=5V，试求
35、，试求t0时电容电压时电容电压uC(t)的全响的全响应，瞬态响应和稳态响应。应，瞬态响应和稳态响应。第76页/共245页补充：三要素法补充：三要素法补充：三要素法补充：三要素法本本节节专专门门讨讨论论由由直直流流电电源源驱驱动动的的只只含含一一个个动动态态元元件件的的一一阶阶电电路路全全响响应应的的一一般般表表达达式式，并并在在此此基基础础上上推推导导出出三三要要素法。素法。图图720(a)RC一阶电路一阶电路(b)RL一阶电路一阶电路一、三要素法一、三要素法仅含一个电感或电容的线性一阶电路，将连接动态元仅含一个电感或电容的线性一阶电路，将连接动态元件的线性电阻单口网络用戴维宁和诺顿等效电路代
36、替后，件的线性电阻单口网络用戴维宁和诺顿等效电路代替后，可以得到图可以得到图7-20(a)和和(b)所示的等效电路。所示的等效电路。第77页/共245页图图(a)电路的微分方程和初始条件为电路的微分方程和初始条件为图图(b)电路的微分方程和初始条件为电路的微分方程和初始条件为第78页/共245页上上述述两两个个微微分分方方程程可可以以表表示示为为具具有有统统一一形形式式的的微微分分方方程程 其通解为其通解为 如果如果 0，在直流输入的情况下，在直流输入的情况下，t时，时，fh(t)0，则有则有第79页/共245页由初始条件由初始条件f(0+)，可以求得，可以求得于是得到全响应的一般表达式于是得
37、到全响应的一般表达式 因而得到因而得到 第80页/共245页这就是这就是直流激励的直流激励的RC一阶电路和一阶电路和RL中的任一响应的中的任一响应的表达式表达式(可以用叠加定理证明可以用叠加定理证明)。其波形曲线如图。其波形曲线如图721所所示。由此可见，直流激励下一阶电路中示。由此可见，直流激励下一阶电路中任一响应总是从初任一响应总是从初始值始值f(0+)开始，按照指数规律增长或衰减到稳态值开始，按照指数规律增长或衰减到稳态值f()，响应变化的快慢取决于电路的时间常数响应变化的快慢取决于电路的时间常数 。图图721直流激励下一阶电路全响应的波形曲线直流激励下一阶电路全响应的波形曲线 第81页
38、/共245页由由此此可可见见，直直流流激激励励下下一一阶阶电电路路的的全全响响应应取取决决于于f(0+)、f()和和 这这三三个个要要素素。只只要要分分别别计计算算出出这这三三个个要要素素，就就能能够够确确定定全全响响应应，也也就就是是说说，根根据据式式(7-25）可可以以写写出出响响应应的的表表达达式式以以及及画画出出图图7-21那那样样的的全全响响应应曲曲线线，而而不不必必建建立立和和求求解解微微分分方方程程。这这种种计计算算直直流流激激励励下下一一阶阶电电路路响响应应的的方方法称为三要素法。法称为三要素法。图图7-22第82页/共245页用用三三要要素素法法计计算算含含一一个个电电容容或
39、或一一个个电电感感的的直直流流激激励励一一阶电路响应的一般步骤是阶电路响应的一般步骤是:1.初始值初始值f(0+)的计算的计算(1)根据根据t0的电路，将的电路，将电容用开路代替或电感用短路代替，电容用开路代替或电感用短路代替，得到一个直流电阻电路，再从此电路中计算出稳态值得到一个直流电阻电路，再从此电路中计算出稳态值f()。3.时间常数时间常数 的计算的计算先计算与电容或电感连接的线性电阻单口网络的输出电先计算与电容或电感连接的线性电阻单口网络的输出电阻阻Ro，然后用以下公式然后用以下公式 =RoC或或 =L/Ro计算出时间常数。计算出时间常数。第84页/共245页4.将将f(0+)，f()
40、和和 代入下式得到响应的一般表达式代入下式得到响应的一般表达式和画出图和画出图821那样的波形曲线。那样的波形曲线。图图721直流激励下一阶电路全响应的波形曲线直流激励下一阶电路全响应的波形曲线 第85页/共245页例例 图图7-22(a)所示电路原处于稳定状态。所示电路原处于稳定状态。t=0时开关闭合，求时开关闭合，求t 0的电容电压的电容电压uC(t)和电和电流流i(t)，并画波形图。，并画波形图。图图7-22第86页/共245页由于开关转换时电容电流有界，电容电压不能跃变，由于开关转换时电容电流有界，电容电压不能跃变，故故解：解：1.计算初始值计算初始值uC(0+)开关闭合前，图开关闭合
41、前，图(a)电路已经稳定，电容相当于开路，电路已经稳定，电容相当于开路，电流源电流全部流入电流源电流全部流入4 电阻中，此时电容电压与电阻电压电阻中，此时电容电压与电阻电压相同相同图图7-22第87页/共245页图图7-222.计算稳态值计算稳态值uC()开关闭合后，电路如图开关闭合后，电路如图(b)所示，经过一段时间，重新所示，经过一段时间，重新达到稳定状态，电容相当于开路，根据用开路代替电容所达到稳定状态，电容相当于开路，根据用开路代替电容所得到一个电阻电路，运用叠加定理求得得到一个电阻电路，运用叠加定理求得第88页/共245页 时间常数为时间常数为 3.计算时间常数计算时间常数 计算与电
42、容相连接的电阻单口网络的输出电阻，它是计算与电容相连接的电阻单口网络的输出电阻，它是三个电阻的并联三个电阻的并联图图7-22ab第89页/共245页4.将将uC(0+)=8V,uC()=7V和和=0.1s代入式代入式(725)得到得到响应的一般表达式响应的一般表达式求得电容电压后，电阻电流求得电容电压后，电阻电流i(t)可以利用欧姆定律求得可以利用欧姆定律求得第90页/共245页也也可可以以用用叠叠加加定定理理分分别别计计算算2A电电流流源源，10V电电压压源源和和电容电压电容电压uC(t)单独作用引起响应之和单独作用引起响应之和第91页/共245页 由于电路中每个响应具有相同的时间常数，不必
43、重新由于电路中每个响应具有相同的时间常数，不必重新计算，用三要素公式得到计算，用三要素公式得到 值得注意的是该电阻电流在开关转换时发生了跃变，值得注意的是该电阻电流在开关转换时发生了跃变，i(0+)=1A i(0-)=1.667A，因而在电流表达式中，标明的时间范，因而在电流表达式中，标明的时间范围是围是t t00，而不是，而不是t t 0 0。电阻电流电阻电流i(t)还可以利还可以利用三要素法直接求得用三要素法直接求得 第92页/共245页例例 图图7-23示电路中，开关转换前电路已处于稳态，示电路中，开关转换前电路已处于稳态，t=0时开关时开关S由由1端接至端接至2端，求端，求t0时的电感
44、电流时的电感电流iL(t)，电，电阻电流阻电流i2(t)，i3(t)和电感电压和电感电压uL(t)。图图7-23第93页/共245页解：用三要素法计算电感电流。解：用三要素法计算电感电流。1.计算电感电流的初始值计算电感电流的初始值iL(0+)直流稳态电路中，电感相当于短路，此时电感电流为直流稳态电路中，电感相当于短路，此时电感电流为开关转换时，电感电压有界。电感电流不能跃变，即开关转换时，电感电压有界。电感电流不能跃变，即第94页/共245页2.计算电感电流的稳态值计算电感电流的稳态值iL()开关转换后，电感与电流源脱离，电感储存的能量释开关转换后，电感与电流源脱离，电感储存的能量释放出来消
45、耗在电阻中，达到新的稳态时，电感电流为零，放出来消耗在电阻中，达到新的稳态时，电感电流为零，即即第95页/共245页3.计算时间常数计算时间常数 与电感连接的电阻单口网络的等效电阻以及时间常数与电感连接的电阻单口网络的等效电阻以及时间常数为为4.计算计算iL(t)，uL(t)，i2(t)和和i3(t)。将将iL(0+)=10mA,iL()=0和和=1 10-7s代代入入式式(725）得得到电感电流的表达式到电感电流的表达式第96页/共245页然后根据然后根据KCL，KVL和和VCR求出其它电压电流求出其它电压电流第97页/共245页例例7-10图图7-24(a)所示电路在所示电路在t=0时闭合
46、开关，求电容电压时闭合开关，求电容电压uC(t)和电流和电流i2(t)的零状态响应。的零状态响应。图图724例例710第98页/共245页解：在开关闭合以后，与电容连接的含有独立电压源和受解：在开关闭合以后，与电容连接的含有独立电压源和受控源的电阻单口网络用图控源的电阻单口网络用图7-24(c)所示的戴维宁等效电所示的戴维宁等效电路代替，其中路代替，其中用外加电源法求图用外加电源法求图724(b)所示电阻单口网络的输出电阻所示电阻单口网络的输出电阻Ro第99页/共245页 时间常数为时间常数为用三要素公式得到电容电压的表达式用三要素公式得到电容电压的表达式从图从图724(a)电路中开关闭合后的
47、电路求得电流电路中开关闭合后的电路求得电流i2(t)第100页/共245页二、包含开关序列的直流一阶电路二、包含开关序列的直流一阶电路本小节讨论的直流一阶电路中包含有在不同时刻转换本小节讨论的直流一阶电路中包含有在不同时刻转换的开关，在开关没有转换的时间间隔内，它是一个直流一的开关，在开关没有转换的时间间隔内，它是一个直流一阶电路，可以用三要素法来计算。阶电路，可以用三要素法来计算。对于这一类电路，我们可以按照开关转换的先后次序，对于这一类电路，我们可以按照开关转换的先后次序，从时间上分成几个区间，分别用三要素法来求解电路的响从时间上分成几个区间，分别用三要素法来求解电路的响应。应。第101页
48、/共245页例例6-11图图7-25(a)所示电路中，电感电流所示电路中，电感电流iL(0-)=0,t=0时，开时，开关关S1闭合，经过闭合，经过0.1s，再闭合开关，再闭合开关S2，同时断开，同时断开S1。试求电感电流试求电感电流iL(t)，并画波形图。，并画波形图。图图7-25第102页/共245页解：解：1.在在0 t 0.1s时间范围内响应的计算时间范围内响应的计算S1闭合后，闭合后，iL(0+)=iL(0-)=0，处于零状态，电感电流为，处于零状态，电感电流为零状态响应。可以用三要素法求解零状态响应。可以用三要素法求解第103页/共245页2.在在t 0.1s时间范围内响应的计算时间
49、范围内响应的计算此后的电感电流属于零输入响应，此后的电感电流属于零输入响应，iL()=0。仍然用三要素法，先求仍然用三要素法，先求t=0.1s时刻的初始值。时刻的初始值。第104页/共245页根据三要素公式（根据三要素公式（725）得到）得到在此时间范围内电路的时间常数为在此时间范围内电路的时间常数为第105页/共245页电感电流电感电流iL(t)的波形曲线如图的波形曲线如图(b)所示。在所示。在t=0时，它从零开始，时，它从零开始，以时间常数以时间常数 1=0.1s确定的指数规律增加到最大值确定的指数规律增加到最大值0.316A后，就后，就以时间常数以时间常数 2=0.0667s确定的指数规
50、律衰减到零。确定的指数规律衰减到零。图图7-25第106页/共245页例例7-12图图7-26(a)所示电路中，开关断开已经很久，所示电路中，开关断开已经很久，t=1s时时开关开关S闭合，闭合，t=2s时开关时开关S重新断开，试求重新断开，试求t 0电容电电容电压压uC(t)和电阻电压和电阻电压uo(t)。图图7-26第107页/共245页解：本题要求计算电容电压和解：本题要求计算电容电压和1.6k电阻电压，先将电路电阻电压，先将电路其余部分用戴维宁等效电路代替，得到开关其余部分用戴维宁等效电路代替，得到开关S断开和断开和闭合时的等效电路如图闭合时的等效电路如图726(b)和和(c)所示，再从