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1、一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 第一节第一节 二重积分二重积分三、二重积分的性质三、二重积分的性质 一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算 五、二重积分的计算五、二重积分的计算解法解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:底：底：xOy 面上的闭区域 D顶顶:连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求 极限”1)“大化小”用
2、任意曲线网分D为 n 个区域以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体4)“取极限”令2.平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片,在 xOy 平面上占有区域 D,计算该薄片的质量 M.度为设D 的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小块.2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第 k 小块的质量两个问题的共性共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:二、二
3、重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I,使可积可积,在D上的二重积分二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数,引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,元素d也常记作二重积分记作这时分区域 D,因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域 D上连续,则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如例如,在 D:上二重积分存在;在D 上
4、二重积分不存在.三、二重积分的性质三、二重积分的性质(k 为常数)为D 的面积,则 特别,由于则5.若在D上6.设D 的面积为,则有7.(二重积分的中值定理二重积分的中值定理)证证:由性质6 可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上 为D 的面积,则至少存在一点使使连续,因此例例1.比较下列积分的大小:其中解解:积分域 D 的边界为圆周它在与 x 轴的交点(1,0)处与直线从而而域 D 位于直线的上方,故在 D 上例例2.估计下列积分之值解解:D 的面积为由于积分性质5即:1.96 I 2D例例3.判断积分的正负号.解解:分积分域为则原式=猜想结果为负 但不好估计.舍去此项8.设函数D
5、 位于 x 轴上方的部分为D1,当区域关于 y 轴对称,函数关于变量 x 有奇偶性时,仍在 D 上在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的记记作作 同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算记记作作 例例4.求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积.解解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为被积函数相同,且非负,思考与练习思考与练习解解:由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:2.设D 是第二象限的一个有界
6、闭域,且 0 y 1,则的大小顺序为()提示:因 0 y 1,故故在D上有3.计算解解:4.证明:其中D 为解解:利用题中 x,y 位置的对称性,有又 D 的面积为 1,故结论成立.且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X-型区域 则1、利用直角坐标计算二重积分、利用直角坐标计算二重积分五、二重积分的计算五、二重积分的计算若D为Y-型区域则当被积函数均非负均非负在D上变号变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于说明说明:(1)若积分区域既是 X-型区域又是Y-型区域,为计算方便,可选择积分序选择积分序,必要时还可以交换积分序交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干
7、X-型域或Y-型域,则 例例1.计算其中D 是直线 y1,x2,及yx 所围的闭区域.解法解法1.将D看作X-型区域,则解法解法2.将D看作Y-型区域,则例例2.计算其中D 是抛物线所围成的闭区域.解解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线则 例例3.计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解解:由被积函数可知,因此取D 为X-型域:先对 x 积分不行,说明说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.例例4.交换下列积分顺序解解:积分域由两部分组成:视为Y-型区域,则例例5.计算其中D 由所围成.解解:令(如图所示)显然,2、利用极坐标计算二重积分、利用极坐标计算二重积分对应有在极坐
8、标系下,用同心圆 r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线 =常数,分划区域D 为即设则(1)极点极点O在积分区域在积分区域D之外之外(2)极点极点O在积分区域在积分区域D之内之内此时若 f 1 则可求得D 的面积思考思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试答答:问 的变化范围是什么?(1)(2)若区域特征如图若区域特征如图解解解解例例3 3 求由球面求由球面x x2 2+y+y2 2+z+z2 2=4a=4a2 2与柱面与柱面x x2 2+y+y2 2=2ay=2ay所围立体的体积。所围立体的体积。解：解：计算第一挂限部分体积计算第一挂限部分体积xyoxy
9、z解解 D=2D D=2D1 1例例5 5解解例例6.计算其中解解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.注注:利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,故式成立.又例例7.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解解:设由对称性可知*3、二重积分换元法、二重积分换元法 定积分换元法满足一阶导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理定理:变换:是一一对应的,证证:根据定理条件可知变换 T 可逆.用平行于坐标轴的 直线分割区域 任取其中一个小矩形,其顶点为通过变换T,在 xOy 面上得到一个四边形,其对应顶点为则同理得当h,k
10、充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形,故其面积近似为因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:例如例如,直角坐标转化为极坐标时,例例8.计算其中D 是 x 轴 y 轴和直线所围成的闭域.解解:令则例例9.计算由所围成的闭区域 D 的面积 S.解解:令则例例10.试计算椭球体解解:由对称性令则D 的原象为的体积V.思考与练习思考与练习1.设且求提示提示:交换积分顺序后,x,y互换 解：解：原式2.给定改变积分的次序.内容小结内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形:若积分区域为则 若积分区域为则4、二重积分的计算、二重积分的计算则(2)一般换元公式且则极坐标系情形极坐标系情形:若积分区域为在变换下(3)计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式精品课件精品课件！精品课件精品课件！P169 习题8.1作作 业业