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1、经济数学第八章二重积分第1页，此课件共60页哦 一元函数定积分是求与定义在某一区间上的一元函数定积分是求与定义在某一区间上的函数有关的某种总量的数学模型，作为推广，二函数有关的某种总量的数学模型，作为推广，二元函数的二重积分是求与定义在某一平面区域上元函数的二重积分是求与定义在某一平面区域上的函数有关的某种总量的数学模型，这些模型的的函数有关的某种总量的数学模型，这些模型的数学结构相同，都是和式的极限。数学结构相同，都是和式的极限。第2页，此课件共60页哦 8.1 8.1 二重积分的基本概念二重积分的基本概念一、曲顶柱体的体积一、曲顶柱体的体积曲顶柱体是指它的底面是在曲顶柱体是指它的底面是在
2、平面上的有界闭区域，平面上的有界闭区域，它的侧面是以的边界为准线，母线平行于轴的柱面，它的顶是连续它的侧面是以的边界为准线，母线平行于轴的柱面，它的顶是连续曲面曲面 o第3页，此课件共60页哦平顶柱体的高是不变的，它的体积可以用公式平顶柱体的高是不变的，它的体积可以用公式体积底面积高体积底面积高 来计算。而对于曲顶柱体，当点来计算。而对于曲顶柱体，当点 在区域在区域 上变动时，高度是一个变量，因此它的上变动时，高度是一个变量，因此它的 体积不能直接用上式来计算。体积不能直接用上式来计算。第4页，此课件共60页哦3）作和）作和4）取极限）取极限则则曲顶柱体的体积求解过程曲顶柱体的体积求解过程1
3、1）将区域任意分割成个小区域：）将区域任意分割成个小区域：也表示第块小区域的面积。也表示第块小区域的面积。2 2）任取点）任取点o第5页，此课件共60页哦二、二重积分的定义及几何意义二、二重积分的定义及几何意义 设二元函数设二元函数 在有界闭区域在有界闭区域 上有定义，用任意上有定义，用任意分法将分成个小闭区域分法将分成个小闭区域其中表示第个小区域（也表示它的面积），表示其中表示第个小区域（也表示它的面积），表示 的直径中的最大者。在上任取一点，作乘的直径中的最大者。在上任取一点，作乘积积 ，并作和并作和当时，如果这个和的极限存在，则称此极限为函数当时，如果这个和的极限存在，则称此极限为函数
4、在区域上的二重积分，记为，在区域上的二重积分，记为，即即定义定义第6页，此课件共60页哦积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素第7页，此课件共60页哦注：注：1 在二重积分定义中，对区域在二重积分定义中，对区域D的划分是任意的，的划分是任意的，故如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分故如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D，则除了包含边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域，则除了包含边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形小闭区域都是矩形闭
5、区域。设矩形小闭区域 的边长为的边长为 和和 则则第8页，此课件共60页哦0 xyD直角坐标系下面积元素直角坐标系下面积元素第9页，此课件共60页哦2 2 存在性：当存在性：当在闭区域在闭区域 D D上连续时，函数上连续时，函数在 D D上的二重积分必定存在。以后总假定上的二重积分必定存在。以后总假定在在 D D 上的二重积分是存在的。上的二重积分是存在的。3 3 由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数在在D D上的二重积分上的二重积分第10页，此课件共60页哦几何意义几何意义1)1)、若、若 ，表示以区域表示以区域 为底的曲顶柱体的为底的曲顶柱体
6、的体积。体积。2)2)、若、若 ，表示以区域表示以区域 为底的曲顶柱体的体为底的曲顶柱体的体积的相反数。积的相反数。3)3)、若、若 在区域在区域 上的值有正有负，则曲顶柱体的体积取其上的值有正有负，则曲顶柱体的体积取其二重积分的代数和。二重积分的代数和。（其中（其中xoyxoy面上方柱体的体积取正，面上方柱体的体积取正，xoy xoy面下方柱体的体积取面下方柱体的体积取负）。负）。第11页，此课件共60页哦三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即：外面，即：性质性质2 有限个函数的和（或差）的二重积分
7、等于各个有限个函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。函数的二重积分的和（或差）。第12页，此课件共60页哦性质性质3 (区域可加性区域可加性)如果闭区域如果闭区域D被有限条曲线分为有被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在个部分闭区上的二重积分等于在个部分闭区域上的二重积分的和域上的二重积分的和.第13页，此课件共60页哦性质性质4 若在若在D上，上，则：则：特别地，特别地，第14页，此课件共60页哦高为高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。性质性质如果在上恒有如果在上恒有 ，是是
8、的面积，的面积，则则 性质性质设设 和和 分别是函数分别是函数 在闭区域在闭区域 上上 的最大值和最小值，是的最大值和最小值，是 的面积，则的面积，则第15页，此课件共60页哦性质性质中值定理如果中值定理如果 在闭区域在闭区域 上连续，上连续，是的面积，则在是的面积，则在 内至少存在一点内至少存在一点 ，使得使得中值定理的中值定理的几何意义几何意义：在区域：在区域 上以曲顶上以曲顶 为顶为顶 的曲顶柱体的体积，等于区域的曲顶柱体的体积，等于区域 上以某一点上以某一点 的函数值的函数值 为高的平顶柱体的体积。为高的平顶柱体的体积。第16页，此课件共60页哦0yx(3,0)(1,0)(0,1).D
9、解解：在区域：在区域 D内，显然有内，显然有故在故在D内内例例1 比较下列积分的大小：比较下列积分的大小：1）与与其中其中D:第17页，此课件共60页哦 ,其中区域其中区域 D为为顶点为顶点为A(1，0)B(1，1)，C(2，0)的三角形闭区域。的三角形闭区域。2）解解：BC的方程的方程 x+y=2D内内所以所以A(1,0)C(2,0)B(1,1)第18页，此课件共60页哦例例 估计积分值估计积分值解：解：在在D内的最大值为内的最大值为4，最小值为，最小值为1区域区域D的面积为的面积为2所以所以第19页，此课件共60页哦二重积分的计算，可以归结为求两次一元定积分，二重积分的计算，可以归结为求两
10、次一元定积分，然后利用一元定积分的计算方法来计算二重积分。然后利用一元定积分的计算方法来计算二重积分。按定义按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限二重积分是一个特定乘积和式极限 然而，用定义来计算二重积分，一般情况然而，用定义来计算二重积分，一般情况 下是非常麻烦的下是非常麻烦的.8.2 二重积分的计算二重积分的计算第20页，此课件共60页哦 那么，有没有简便的计算方法呢那么，有没有简便的计算方法呢?这就是这就是 我们今天所要研究的课题。下面介绍我们今天所要研究的课题。下面介绍:一、直角坐标系下二重积分的计算一、直角坐标系下二重积分的计算 二重积分仅与被积函数及积分域有关二重积分仅与被积函数及
11、积分域有关,为此为此,先介绍：先介绍：1、积分域、积分域 D:第21页，此课件共60页哦如果积分区域为：如果积分区域为：（1 1）X-X-型域型域X型型 X型区域的特点型区域的特点：a、平行于平行于y轴且穿过区域的直线轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个；与区域边界的交点不多于两个；b、第22页，此课件共60页哦 2 2、X-X-型域下二重积分的计算型域下二重积分的计算:由几何意义，若由几何意义，若(x,y)(x,y)00，则，则平行截面面积为已知平行截面面积为已知的立体的体积的立体的体积.第23页，此课件共60页哦yZ截面为曲边梯形，面积为：截面为曲边梯形，面积为：第24页，此课件共
12、60页哦第25页，此课件共60页哦 注注:若若 (x,y)(x,y)0 0 仍然适用。仍然适用。注意注意:2 2）积分次序）积分次序:X-:X-型域型域 先先Y Y后后X;X;3 3）积分限确定法）积分限确定法:域中一线插域中一线插,内限定上下，内限定上下，域边两线夹，外限依靠它。域边两线夹，外限依靠它。为方便，上式也常记为：为方便，上式也常记为：1）上式说明）上式说明:二重积分可化为二次定积分计算二重积分可化为二次定积分计算;第26页，此课件共60页哦（2 2）Y-Y-型域：型域：Y型型Y型区域的特点：型区域的特点：a、穿过区域且平行于、穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界轴的直线与区域边界
13、的交点不多于两个；的交点不多于两个；b、第27页，此课件共60页哦3、Y-型域下二重积分的计算：型域下二重积分的计算：1）积分次序）积分次序:Y-型域型域,先先x后后Y;2）积分限确定法）积分限确定法:“域中一线插域中一线插”,须用平行于须用平行于X轴的直线轴的直线 穿插区域穿插区域。注意注意:第28页，此课件共60页哦 注意注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限积分限,一定要做到熟练、准确。一定要做到熟练、准确。4、利用直角坐标系计算二重积分的步骤、利用直角坐标系计算二重积分的步骤（1 1）画出积分区域的图形）画出积分区域的图形
14、,求出边界曲线交点坐标；求出边界曲线交点坐标；（3）确定积分限，化为二次定积分；）确定积分限，化为二次定积分；（2 2）根据积分域类型）根据积分域类型,确定积分次序；确定积分次序；（4）计算两次定积分，即可得出结果）计算两次定积分，即可得出结果.第29页，此课件共60页哦解：解：X型型第30页，此课件共60页哦第31页，此课件共60页哦Y型型第32页，此课件共60页哦例例2 2解：解：X-型型第33页，此课件共60页哦例例3解解：（如图）将如图）将D作作Y型型-12第34页，此课件共60页哦例例8计算计算第40页，此课件共60页哦例例9计算计算第41页，此课件共60页哦例例11解解表示为表示为
15、X-型域型域第44页，此课件共60页哦改变积分次序改变积分次序第45页，此课件共60页哦二二 利用极坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分 当一些二重积分的积分区域当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。其计算问题。第46页，此课件共60页哦 直角坐标系与极坐标系直角坐标系与极坐标系o第47页，此课件共60页哦1 1 直角坐标系与极坐标系下的二重积分关系直角坐标系与极坐标系下的二重积分关系（
16、1）面积元素变换为极）面积元素变换为极坐标坐标系下：系下：极极坐标坐标系下的面积元素为：系下的面积元素为：第48页，此课件共60页哦（2）二重积分转换公式：）二重积分转换公式：第49页，此课件共60页哦（3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行的二重积分需要进行“三换三换”：o第50页，此课件共60页哦2 2 极坐标系下的二重积分化为二次积分极坐标系下的二重积分化为二次积分用两条过极点的射线夹平面区域，用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限由两射线的倾角得到其上下限任意作过极点的半射线与平面区域相交，任意作过
17、极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。将直角坐标系下的二重积分化为极坐标系后，极坐标系下的二重将直角坐标系下的二重积分化为极坐标系后，极坐标系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。积分仍然需要化为二次积分来计算。第51页，此课件共60页哦（1）区域如图）区域如图1具体地（如图）具体地（如图）图图1 1第52页，此课件共60页哦（2）区域如图）区域如图2图图2第53页，此课件共60页哦（3）区域如图）区域如图3图图3第54页，此课件共60页哦（4）区域如图）区域如图4图图4第55页，此课件共60页哦当积分区域为圆形、扇形或环形时，利用极坐标计算比较简单。当积分区域为圆形、扇形或环形时，利用极坐标计算比较简单。当被积函数为当被积函数为 时，用极坐标计算简单。时，用极坐标计算简单。第56页，此课件共60页哦例例计算，由圆周计算，由圆周及直线所围第一象限部分。及直线所围第一象限部分。解：解：画图画图1212o第57页，此课件共60页哦解：解：画图画图例例计算计算，。第58页，此课件共60页哦例例计算计算，解：解：画图画图2o第59页，此课件共60页哦D例例4第60页，此课件共60页哦