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1、（北京）股份有限（北京）股份有限（北京）股份有限（北京）股份有限数学参考答案 第 1 页 共 7 页宿州市宿州市 2023 届高三第一次质量检测届高三第一次质量检测数学数学参考答案参考答案一、选择题一、选择题(单项选择单项选择)题号12345678答案CBADADAB二二、选择题、选择题(多多项选择项选择)题号9101112答案ABABABCABD三三、填空题、填空题13.5；14.xy42（23p即可）；15.)12(212nn；16.53,-ln3四、解答题、解答题17.解：（）由正弦定理可得bcaacbcb)(，即bcacb222，2 分由余弦定理的变形得212cos222bcacbA，
2、4 分又),0(A，所以3A5 分（）)3sin(sinsinsinBBCB)6sin(3cos23sin23BBB7 分由（）知3A，所以)32,0(B，从而)65,6(6B，所以1,21)6sin(B，从而3,23sinsinCB即CBsinsin的取值范围为3,2310 分18.（）证明：记F为棱PB靠近点P的三等分点,连接,EF AF因为BCEF/，且13EFBC，又BCAD/且13ADBC,所以/EFAD且EFAD,即四边形 ADEF 为平行四边形，2 分所以/DEAF，又因为AF平面PAB，DE平面PAB,所以/DE平面PAB4 分数学参考答案 第 2 页 共 7 页（）解：在BC
3、上取一点 G，使得GCBC3，所以2 ADGC，又BCAD/，CDBC 知四边形AGCD为矩形，从而ADAG，又PA底面ABCD，所以APADAG,两两垂直，以A为坐标原点，APADAG,所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系xyzO，则)34,32,32(),2,0,0(),0,2,0(),0,2,2(),0,4,2(EPDCB，从而)34,34,32(),2,2,2(),0,6,0(DECPBC，7 分设平面PBC的法向量为),(zyxn，则00CPnBCn，即022202zyxy，可取)1,0,1(n为平面PBC的一个法向量，则2242341321,cosDE
4、nDEnDEn，设DE与平面PBC所成的角为，则22,ncossinDE，即DE与平面PBC所成的角的正弦值为2212 分19.解：（）由题意412121nnnnaabb，又111 ab所以，数列 nb为以 1 为首项，4 为公差的等差数列，4 分所以344)1(1nnbn5 分（）由已知当n为偶数时42nnaa，所以6 分232123aaaS)()(22422331aaaaaa数学参考答案 第 3 页 共 7 页)()()()(22201086421221aaaaaaabbb2975412)451(1212 分20.解：（）共有6n个机房，抽取 2 个机房有26nC种方法，其中全是小机房有2
5、6C种方法，因此全是小机房的概率为312626nCC，从而解得4n4 分（）X的可能取值为 0,1,2,35 分6112020)3(2112060)2(10312036)1(3011204)0(3100436310142631024163103406CCCXPCCCXPCCCXPCCCXP则随机变量X的分布列为X0123P301103216110 分则X的数学期望5961321210313010)(XE12 分21.解：（）设椭圆焦距为c2，由题意可得2242222caac解得2,2ca，所以2222cab，从而椭圆C的标准方程12422yx4 分（）设点),(00yxM，则以OM为直径的圆的
6、方程为0)()(00yyyxxx，又圆1:22 yxO，两式相减得直线AB的方程为100yyxx，5 分设),(),(2211yxQyxP，由数学参考答案 第 4 页 共 7 页11240022yyxxyx消去y整理后得0424)2(20022020yxxxyx202020212020021242,24yxyxxyxxxx，7 分所以21221200212004)()(1)(1xxxxyxxxyxPQ2020202020202020220200202021622424)24(1yxxyxyxyyxxyx又点O到直线PQ的距离20201yxd，设OPQ的面积为S，则202020202020201
7、21622121yxyxxyxdPQS1)1(3162431624416220202020202020 xxxxxxx11131622020 xx其中4,020 x，令120 xt，则5,1t，设tttf13)(，5,1t，则013)(2ttf，所以)(tf在区间5,1上单调递增，从而得5516,4)(tf，于是可得26,830S，即OPQ的面积的取值范围为26,83012 分数学参考答案 第 5 页 共 7 页22.解：（）当0b时，)ln()(2xxaxxf，)(xf的定义域为),0(，xaaxxxaaxxf222)(，1 分当082 aa，即08a时，0)(xf且不恒为0，所以()f x
8、在(0,)上单调递增；2 分当8a时，方程022aaxx有两不等正根482aaa，结合定义域由0)(xf可得),48()48,0(22aaaaaax，由0)(xf可得)48,48(22aaaaaax，所以()f x在区间)48,48(22aaaaaa上单调递减，在区间)48,0(2aaa和),48(2aaa上单调递增；当0a时，方 程022aaxx有 一 负 根482aaa和 一 正 根482aaa，结合定义域由0)(xf可得),48(2aaax，由0)(xf可得)48,0(2aaax，所以()f x在区间)48,0(2aaa上单调递减，在区间),48(2aaa上单调递增综上可知：当8a时，(
9、)f x在区间)48,48(22aaaaaa上单调递减，数学参考答案 第 6 页 共 7 页在区间)48,0(2aaa和),48(2aaa上单调递增；当08a时，()f x在(0,)上单调递增；当0a时，()f x在区间)48,0(2aaa上单调递减，在区间),48(2aaa上单调递增6 分（）当1b时，xexxaxxf)ln()(2，令)ln()(2xxaxxg，xexh)(，则0)(xf，即为)()(xhxg，而)(xh在1,e上单调递减，所以当1xe时，1)()(ehxh又aaeeeg2)(，当)()(eheg，即12aaee时，ea 1，符合题意；8 分当ea18时，由（）知)(xg在
10、1,e上是增函数，恒有1)()()(ehegxg，故不存在ex,1，使)()(xhxg；当8a时，由于1xe时，ln0 xx，所以)ln(8)ln()(22xxxxxaxxg，令2()8lnm xxxx，则2282(44)2(2)()280 xxxm xxxxx 所以()m x在1,e上是增函数，最大值为()m e，又0)7)(1(781)1(8)()(22eeeeeeehem，所以)()(ehem，此时恒有)()(xhxg，因此不存在ex,1，使)()(xhxg综上可知,ea 1即a的取值范围为),1(e12 分数学参考答案 第 7 页 共 7 页另解：另解：分离变量可得：xxxxealn2，令exxxxxexF,1,ln)(2，则22222)ln()1ln2()12(ln)ln()11)()ln)(2()(xxxxxxxxexxxxxexxxxexF易得当ex,1时，012ln xx，且01ln2 xx，从而0)(xF，所以)(xF在e,1单调递减，于是eeFxFa1)()(min（说明：解答题若用其它方法，可酌情给分（说明：解答题若用其它方法，可酌情给分！）