2023届辽宁省沈阳市东北育才学校高三二模数学试题含答案.pdf-淘文阁

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1、高三数学第 1 页绝密使用前绝密使用前东北育才学校 2022-2023 学年度高考适应性测试（二）高三数学高三数学考生注意：1.本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟。分四大题，22 小题，共 6 页2.请将各题答案填写在答题卡上。3.本试卷主要考试内容：高考全部内容高考全部内容一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题 5 分，共分，共 40 分）分）1欧拉恒等式ie10（i 为虚部单位，e为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式iecosisinxxx的特例：当自变量x 时，iecosisin1，得ie

2、10 根据欧拉公式，复数2023i4e的虚部为（）A32B32C22D222魔方又叫鲁比克方块（RubksCube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克艾尔内于1974 年发明的机械益智玩具，与华容道独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议.三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中 1 面有色的小正方体称为中心方块，2 面有色的小正方体称为边缘方块，3 面有色的小正方体称为边角方块，若从所有的小正方体中任取一个，恰好抽到中心方块的概率为（）A29B827C49D123已知002 32 31,1,33ABP xy为

3、椭圆22:132xyC上不同的三点，直线:2l x，直线PA交l于点M，直线PB交l于点N，若P A BP M NSS，则0 x（）A0B54C53D34在计算机尚未普及的年代，人们在计算三角函数时常常需要查表得到正弦和余弦值，三角函数表的制作最早可追测到古希腊数学家托勒密下面给出了正弦表的一部分，例如，通过查表可知2 12的正弦值为 0.0384，30 54的正弦值为 0.5135，等等.则根据该表，4165的余弦值为（）0612182430364248546000.000000170035005200700087010501220140015701751017501920209022702

4、44026202790297031403320349203490366038404010419043604540471048805060523高三数学第 2 页300.500050155030504550605075509051055120513551503151505165518051955210522552405255527052845299325299531453295344535853735388540254175432544633544654615476549055055519553455485563557755923455925606562156355650566456785693

5、570757215736A0.5461B0.5519C0.5505D0.57365已知2332a，5775b，3553c，则a，b，c的大小关系为（）AabcBbacCcbaDacb6如图 1 所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点若双曲线 E：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，从2F发出的光线经过图 2中的 A，B 两点反射后，分别经过点 C 和 D，且3cos5BAC，ABBD，则 E 的离心率为（）A52B173C102D57已知函数2()e2lnaxf xxxax，若()0f x 恒成立

6、，则实数 a 的取值范围为（）A1,eB(1,)C2,eD(e,)8已知正方体1111ABCDABC D棱长为 2，P 为空间中一点.下列论述正确的是（）A若112APAD ，则异面直线 BP 与1C D所成角的余弦值为33B若10,1BPBCBB ，三棱锥1PABC的体积不是定值C若110,12BPBCBB ，有且仅有一个点 P，使得1AC 平面1AB P高三数学第 3 页D若10,1APAD ，则异面直线 BP 和1C D所成角取值范围是,4 2二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得 3 分，每题分，每题 5 分，共分，

7、共 20 分）分）9十六世纪中叶，英国数学加雷科德在砺智石一书中先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若0,0ab，则下面结论正确的是（）A若ab，则11abB若144ab，则ab有最小值94C若22abb，则4abD若2ab，则ab有最大值 110重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于 1551 年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱古人曾有诗赞曰：“开合

8、清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图 1 为荣昌折扇，其平面图为图 2 的扇形 COD，其中2,333CODOCOA，动点 P 在CD上（含端点），连接 OP 交扇形 OAB 的弧AB于点 Q，且OQxOCyOD，则下列说法正确的是（）图 1图 2A若yx，则23xyB若2yx，则0OA OP C2AB PQ D112PA PB 11意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，L.该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和

9、.人们把这样的一列数组成的数列nF称为斐波那契数列，现将nF中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为nM，则下列结论中正确的是（）A20221MB*62646521,nnnMMMnnNC2222123202120212022FFFFFFD123202120221FFFFF12已知函数 e,0,lg,010,11,10,xxxfxxxxx ，若22()3()()2g xfxmf xm有 6 个不同的零点分别为123456,x xx xx x，且123456345,xxxxxxf xf xf x，则下列说法正确的是（）A当0 x 时，10efxB34xx的取值范围为1012,10高三数学第 4

10、页C当0m 时，1234563f xf xf x x xf x的取值范围为1,0eD当0m 时，1234563f xf xf x x xf x的取值范围为20,3e三、填空题（每题三、填空题（每题 5 分，共分，共 20 分）分）13古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A点走向B点，先走完总路程的二分之一，再走完剩下路程的二分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的二分之一”要走，这个人永远走不到终点，因古代人们对无限认识的局限性，所以芝诺得到了错误的结论设ABS，这个人走的第n段距离为na，则满足这个人走的前n段距离的总和99999,100

11、 1000nSSS的n的一个值可以为_14已知双曲线 C：22xa22yb1(a0，b0)与椭圆216x212y1 的焦点重合，离心率互为倒数，设 F1、F2分别为双曲线 C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则212PFPF的最小值为_15我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为1,2,3,1n的+1n个球的口袋中取出m个球0,Nmn m n，共有+1Cmn种取法.在+1Cmn种取法中，不取1号球有Cmn种取法；取1号球有1Cmn种取法.所以11CCCmmmnnn.试运用此方法，写出如下等式的结果：323232323142241CCCCCCCCnnnnn_.16

12、当 a0 时，若不等式2ln1xaxbx恒成立，则ba的最小值是_四、解答题（四、解答题（17 题题 10 分，其余每题分，其余每题 12 分，共分，共 70 分）分）17设首项为 2 的数列 na的前n项和为nS，前n项积为nT，且满足_.条件：111nnaann；条件：23nnnSa；条件：12nnnnTa Tn.请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(1)求数列 na的通项公式；(2)求证：数列13nnS的前n项和34nM.（参考公式：22221123(1)(21)6nn nn）18如图，平面四边形 ABCD

13、中，5AD，3CD，120ADCABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足sinsinsinsinabACcAB(1)求四边形 ABCD 的外接圆半径 R；(2)求ABC内切圆半径 r 的取值范围学科网（北京）股份有限公司高三数学第 5 页19 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中ADBC，3AD，2ABBC，PA 平面ABCD，且3PA，点M在棱PD上，点N为BC中点.(1)证明：若2DMMP，直线/MN平面PAB；(2)求二面角CPDN的正弦值；(3)是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为26？若存在求出PMPD值；若不存在，说明理由.20近年

14、来，学生职业生涯规划课程逐渐进入课堂，考生选择大学就读专业时不再盲目扎堆热门专业，报考专业分布更加广泛，之前较冷门的数学、物理、化学等专业报考的人数也逐年上升.下表是某高校数学专业近五年的录取平均分与当年该学校的最低提档线对照表：年份20172018201920202021年份代码 t12345该校最低提档分数线510511520512526数学专业录取平均分522527540536554提档线与数学专业录取平均分之差 y1216202428(1)根据上表数据可知，y 与 t 之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求 y 关于 t 的线性回归方程；(2)据以往数据可知，该大学每年数学专业的录取分

15、数 X 服从正态分布,16N，其中为当年该大学的数学录取平均分，假设 2022 年该校最低提档分数线为 540 分.若该大学 2022 年数学专业录取的学生成绩在 584 分以上的有 3 人，本专业 2022 年录取学生共多少人？进入本专业高考成绩前 46 名的学生可以获得一等奖学金，则一等奖学金分数线应该设定为多少分？在的条件下，若从该专业获得一等奖学金的学生中随机抽取 3 人，用表示其中高考成绩在 584 分以上的人数，求随机变量的分布列与数学期望.参考公式：121niiiniittyybtt，aybt.参考数据：0.683PX，220.954PX，330.997PX高三数学第 6 页21

16、已知双曲线 C：2222103xyaaa的左顶点为 A，右焦点为 F，P 是直线 l：2ax 上一点，且 P 不在 x 轴上，以点 P 为圆心，线段 PF 的长为半径的圆弧 AF 交 C 的右支于点 N.(1)证明：2APNNPF；(2)若直线 PF 与 C 的左、右两支分别交于 E，D 两点，过 E 作 l 的垂线，垂足为 R，试判断直线 DR 是否过定点.若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.22已知函数 2,ln(0)f xxx g xa x a(1)若 f xg x恒成立，求实数a的取值范围；(2)设*Nn，求证：2111111ln124nnn.答案第 1页，共 19页东北育才学校

17、 2022-2023 学年度高考适应性测试（二）数学参考答案（含客观题详解）数学参考答案（含客观题详解）1C【分析】根据欧拉公式得到复数的代数形式，结合诱导公式计算即可得答案.【详解】2023i42023202377ecosisincosisincos 2 isin 244444422cosisincosisini444422，则虚部为22故选：C2A【分析】沿等分线把正方体切开，共有 27 个同样大小的小正方体，然后数出 1 面有色、2 面有色和 3 面有色的小正方体的个数，可通过古典概型运算公式求得答案.【详解】沿等分线把正方体切开，得到 27 个同样大小的小正方体，1 面有色的小正方体有

18、 6 个，2 面有色的小正方体有 12 个，3 面有色的小正方体有 8 个，所以恰好抽到的是中心方块的概率是62279故选：A.3B【分析】根据三角形面积公式及APBMPN 或APBMPN得PA PBPN PM，再应用相交弦长公式列方程，即可求0 x.【详解】由P A BP M NSS，则11sinsin22APB PA PBMPNPN PM，由图知：当P位置变化时，APBMPN 或APBMPN，故sinsinA PBM PN，所以PA PBPN PM，而直线AP、BP斜率存在且不为 00(1)x ，故22001111APBPPA PBkxkx，答案第 2页，共 19页22001212APBP

19、PN PMkxkx，所以22001(2)xx，即22000144xxx 或22000144xxx，当22000144xxx，化简得054x.当22000144xxx时，2002430 xx，显然16200，无解.所以054x.故选：B.4B【分析】利用诱导公式进行化简，然后查表即可得到结果.【详解】由题意，cos416.5cos56.5sin33.5sin33 30 ，查表可sin33 300.5519故选：B.5B【分析】构造函数 ln1exf xxx，利用导数与函数的单调性证得 fx在1,e上单调递增，从而证得523735735lnlnln523，进而由对数函数的单调性得到bac.【详解】

20、因为23lnln32a，57lnln75b，35lnln53c，故令 ln1exf xxx，则 21ln xfxx，因为1ex，所以0ln1x，故 21 ln0 xfxx恒成立，所以 fx在1,e上单调递增，因为7351e523，所以753lnlnln532735523，即572335lnlnln753253，故523735735lnlnln523，又因为lnyx在0,上单调递增，所以523735735523，即bac.故选：B.6B【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用2|BF表示11|,|,|BFAFAB，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.【详解】依题意，直线,CA DB都过

22、出方程组，求得,a c的值，根据离心率的定义求解离心率e；齐次式法，由已知条件得出关于,a c的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解；特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.7C【分析】依题意可得22lne2lne2lnaxxaxxxx，进而可得2ln xax在0,x上恒成立，构造函数2ln()xh xx，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围.【详解】()0f x 等价于22lne2lne2lnaxxaxxxx令函数()exg xx，则()e10 xg x，故()g x是增函数2lnee2lnaxxaxx等价于2ln(0)axx x，即2ln xax令函数

23、2ln()xh xx，则222ln()xh xx当(0,e)x时，()0h x，()h x单调递增：当(e,)x时，()0h x，()h x单调递减max2()(e)eh xh.故实数 a 的取值范围为2,e故选：C.8D【分析】A：P为1AD中点，连接1,BP BC BD，若,E O分别是1,BC BD中点，连接1,OE ED，找到异面直线 BP 与1C D答案第 4页，共 19页所成角为1OED或其补角，求其余弦值；B：P在11BC（含端点）上移动，PBC面积恒定，1A到面PBC的距离恒定，即可判断；C：若,E F分别是11,BB CC中点，P在EF（含端点）上移动，证明1AC 面11AB

24、D，易知要使1AC 面1AB P，则P必在面11AB D内，即可判断；D 构建空间直角坐标系，设(0,2),0,2Paa a，应用向量夹角的坐标表示求1cos,BP C D ，进而判断夹角的范围.【详解】A：由112APAD ，即P为1AD中点，连接1,BP BC BD，若,E O分别是1,BC BD中点，连接1,OE ED，则1/OEC D，又1BEPD且1/BEPD，即1BED P为平行四边形，所以1/BPED，所以异面直线 BP 与1C D所成角，即为1OED或其补角，而1122OEDC，16ED，16OD，故12663cos6226OED，错误；B：由10,1BPBCBB 知：P在11

25、BC（含端点）上移动，如下图示，PBC面积恒定，1A到面PBC的距离恒定，故1PABC的体积是定值，错误；C：若,E F分别是11,BB CC中点，由110,12BPBCBB 知：P在EF（含端点）上移动，答案第 5页，共 19页由CD 面11ADD A，CD 面1DCA，则面11ADD A 面1DCA，由11ADAD，面11ADD A 面11DCAAD，1AD 面11ADD A，所以1AD 面1DCA，1AC 面1DCA，则1AD 1AC，同理可证：1AB 1AC，由1AD 1ABA，1AD、1AB 面11ABD，故1AC 面11ABD，而面1AB P面111AB DAB，要使1AC 面1A

26、B P，则P必在面11ABD内，显然EF 面11AB D，故错误；D：由10,1APAD 知：P在1AD（含端点）上移动，如下图建系1(2,2,0)C，(0,2,2)D，(2,0,2)B，则1(2,0,2)C D ，设(0,2),0,2Paa a，则(2,)BPaa ，所以122422cos,2 2 422 2aaBP C Daa ，令20,2ax，当=2a，即=0 x时，1cos,0BP C D ，此时直线BP和1C D所成角是2；当2a，即2(0,x时，则12211cos,64111212 6()33BP C Dxxx ，当112tx，即=0a时，1cos,BP C D 取最大值为22，直

27、线BP和1C D所成角的最小值为4，正确.故选：D【点睛】关键点点睛：根据向量的线性关系判断P的位置，结合异面直线夹角的定义、锥体体积公式、线面垂直的判定及向量夹角的坐标求法，证明或求解线面垂直、体积、异面直线夹角范围等.9ABD【分析】利用不等式性质判断 A；利用“1”的妙用计算判断 B；确定 b 的取值范围，求出ab范围作答；利用均值不等式计算判断 D 作答.【详解】对于 A，0ab，则ababab，即11ab，A 正确；对于 B，0,0ab，144ab，则1 1414149()()(5)(52)4444babaababababab，答案第 6页，共 19页当且仅当4baab，即322ba

28、时取等号，B 正确；对于 C，0,0ab，由22abb得：20abb，有02b，则22abb，C 不正确；对于 D，0,0ab，2ab，则2()12abab，当且仅当1ab时取等号，D 正确.故选：ABD10ABD【分析】建立平面直角系，表示出相关点的坐标，设2(cos,sin),0,3Q，可得(3cos,3sin)P，由OQxOCyOD，结合题中条件可判断 A,B;表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断 C，D.【详解】如图，作OEOC,分别以,OC OE为 x,y 轴建立平面直角坐标系，则133 3 3(1,0),(3,0),(,),(,)2222ACBD,设

29、2(cos,sin),0,3Q，则(3cos,3sin)P,由OQxOCyOD可得33 3cos3,sin22xyy，且0,0 xy，若yx，则222233 3cossin(3)()122xxx，解得13xy，（负值舍去），故23xy，A 正确；若2yx，则3cos302xy，(1,0)(0,1)0OA OP ，故 B 正确；33(,)(2cos,2sin)3sin3cos2 3sin()223AB PQ ，由于0,3，故,33 3 ，故2 3sin()33，故 C 错误；由于13(3cos1,3sin),(3cos,3sin)22PAPB ，故13(3cos1,3sin)(3cos,3sin

30、)22PA PB 答案第 7页，共 19页173sin()26，而5,666，故173sin(17)2611322PA PB ，故 D 正确，故选：ABD11BC【分析】写出nM的前几项，通过观察可得数列的周期，进而结合数列nF的性质以及nM的定义，可判断 A、B 项；因为2112FFF，可推得2221212221223FFFFFFFFF F，逐项代入即可得到 C 项；由21nnnFFF，可得21nnnFFF，逐项代入即可得到12320212023220231FFFFFFF，从而得到 D 项错误.【详解】因为11M，21M，32M，43M，51M，60M，根据数列nF的性质以及nM的定义可得，

31、71M，81M，92M，103M，111M，120M.同理可推得，当*k N时，有651kM，641kM，632kM，623kM，611kM，60kM，所以nM是以6为周期的周期数列，所以20226 33760MMM，所以 A 项错误；由周期性可知623nM，641nM，6522 12nM，故 B 正确；因为2112FFF，可推得2221212221223FFFFFFFFF F，逐项代入，可得2222222123202112232021FFFFFFFFF2221232021FFFFF222332021F FFF20212020202120212022FFFFF，所以 C 正确；因为123202

32、1FFFF 324354202120202022202120232022FFFFFFFFFFFF2023220231FFF，所以 D 错误.故选：BC12AC【分析】对A选项，对()exf xx求导，得到其最值即可判断，对B选项，将 fx看成整体解出()f xm或2()3mf x ，通过图像找到123456,x xx xx x所在位置，依据341xx，假设341012,10 xx通过消元解出3x范围，再通过数形结合求出3x的范围，两者比较即可，对 C,D 通过减少变量，将式子化为12345615333fxfxfx x xfxfxfx，然后转化为m的范围进行分类讨论即可判断.【详解】当0 x 时

33、，()exf xx，此时()(1)exfxx，令()0fx，解得10 x，令()0fx，解得1x ，可得()f x在(,1)上单调递减，在(1,0)上单调递增，且1(1),(0)0eff，当0 x 时，1()0ef x，故 A 正确；作出如图所示图像：答案第 8页，共 19页由22()3()()2g xfxmf xm有 6 个不同的零点，等价于223()()20fxmf xm有 6 个不同的实数根，解得()f xm或2()3mf x ，341xx，若343311012,10 xxxx，可得31110 x，而当0m 时，120e3m，可得302em，而3112e10f；当0m 时，10em，可得

34、22033em 而2113e10f，故3x的范围为1,110的子集，34xx的取值范围不可能为1012,10，故 B 选项错误；该方程有 6 个根，且345f xf xf x，知341xx且126f xf xf x，当0m 时，1261,0ef xf xf xm，3452(0,1)3mf xf xf x，联立解得1,0em，12345615133332,0ef xf xf x x xf xf xf xmmm，故 C 正确；当0m 时，12621,03emf xf xf x ，345(0,1)f xf xf xm，联立解得30,2em，123456153333230,2ef xf xf x x

35、xf xf xf xmmm 故 D 错误.故选：AC.【点睛】关键点睛：本题的关键点是对223()()20fxmf xm的理解，将 fx看成一个t，解出其值，然后通过图像分析，转化为直线12,yt yt与图像的交点情况，对于 C,D 选项式子，我们谨记要减少变量，将其转化为一个或两个变量的相关式子，常见的如lg xm，有两根，则121xx，如一元二次方程200axbxca存在实数解，则12bxxa.137（7、8、9，只需写出一个答案即可）答案第 9页，共 19页【分析】根据题意知数列 na是公比为12，首项为2S的等比数列，求出前 n 项和，列出不等式即可求正整数 n 的取值.【详解】由题意

36、得12Sa 且12nnSSa，当2n时，12nnSSa，所以11(2)(2)nnnnnaSSSaSa，化简得112nnaa，由等比数列定义知数列 na是公比为12，首项为2S的等比数列，所以1112112212nnnSSS，因为99999,100 1000nSSS，所以991999110021000n，即11110002100n，所以10021000n，又Nn，所以n的取值可以为 7、8、9.故答案：7（7、8、9，只需写出一个答案即可）148【解析】求出椭圆的离心率和焦点，从而得双曲线的离心率，双曲线的实半轴长a，可得21PF，由双曲线的定义得 PF1PF22，这样212PFPF就可表示为2

37、PF的函数，于是可利用基本不等式求得最小值【详解】设椭圆的长半轴长为 a1，短半轴长为 b1，半焦距为 c，则 c2211ab16 122，故椭圆的离心率 e11ca12，从而双曲线的离心率22ceaa，可得 a1，根据双曲线的定义有 PF1PF22a，即 PF1PF22，故212PFPF222PF2PF222244PFPFPFPF224PF4，由双曲线的范围可得 PF2ca1，根据基本不等式可得 PF224PF42224PFPF48，当且仅当 PF224PF，即 PF22 时取“”，所以212PFPF的最小值为 8.答案第 10页，共 19页故答案为：8【点睛】本题考查椭圆与双曲线的几何性质

38、，考查双曲线的定义，解题关键是由双曲线定义得 PF1PF22，把212PFPF表示为2PF的函数1563Cn【分析】将等式看作是从编号为1,2,3,.,3n个球中，取出6个球，其中第3个球的编号依次为3,4,.,n的情况，利用分类加法计数原理得到的结果；再由从编号为1,2,3,.,3n个球中，取出6个球，有63Cn种取法，即可得到结果.【详解】从编号为1,2,3,.,3n个球中，取出6个球，记所选取的六个小球的编号分别为126,.,a aa，且126aaa，当33a 时，分三步完成本次选取：第一步，从编号为1,2的球中选取 2 个；第二步，选取编号为3的球；第三步，从剩下的n个球中任选3个，故

39、选取的方法数为233211CCCCnn；当3=4a时，分三步完成本次选取：第一步，从编号为1,2,3的球中选取 2 个；第二步，选取编号为4的球；第三步，从剩下的1n 个球中任选3个，故选取的方法数为2132331131CCCCCnn；当3an时，分三步完成本次选取：第一步，从编号为1,2,3,.,1n的球中选取 2 个；第二步，选取编号为n的球；第三步，从剩下的3个球中选3个，故选取的方法数为21311321CCCCnn；至此，完成了从编号为1,2,3,.,3n个球中，选取6个球，第3个球的编号确定时的全部情况，另外，从编号为1,2,3,.,3n个球中，取出6个球，有63Cn种取法，所以32

40、323232314226413CCCCCCCCCnnnnnn.故答案为：63Cn.161e【分析】先将不等式转化为ln1xaxbx，进而转化为ln1()xf xx的图像恒在()g xaxb图像的下方，求出两个函数的零点，比较两个函数的零点得到1eba，且当()g xaxb恰为()f x在1ex 处的切线时取得最小值，即可求解.【详解】由题意知：0 x，由2ln1xaxbx可得ln1xaxbx，即不等式ln1xaxbx恒成立，令ln1(),()xf xg xaxbx，易得()g x为斜率大于 0 的一条直线，()0bga；221(ln1)ln()xxxxfxxx，当0,1x时，()0,()fxf

41、 x单增，答案第 11页，共 19页当1,x时，()0,()fxf x单减，又10ef，要使不等式ln1xaxbx恒成立，必有()g x的零点与()f x的零点重合或者在()f x的零点左侧，如图所示：故有1eba，解得1eba，当且仅当()g xaxb恰为()f x在1ex 处的切线时取等，此时ln1()xf xx的图像恒在()g xaxb图像的下方，即满足ln1xaxbx恒成立，即2ln1xaxbx恒成立.又21()eef，故()f x在1ex 处的切线方程为221e()eeeyxx，即2e,eab 时，ba取得最小值1e.故答案为：1e.17(1)1nan n(2)证明见解析【分析】(1

42、)选择，由条件证明nan为等差数列，结合等差数列通项公式求 na的通项公式；选择，由条件，结合,nnSa关系，证明111nnanan，利用累乘法求数列 na的通项公式；选择，先证明1=121nnaannn n，由此得1nan n 为常数，再求数列 na的通项公式；(2)求nS，利用裂项相消法求nM，由此完成证明.【详解】（1）若选择条件：因为111nnaann，所以111nnaann，又1=21a，答案第 12页，共 19页所以数列nan是首项为 2，公差为 1 的等差数列所以2+111nannn，所以1nan n若选择条件：因为23nnnSa，所以3=2nnSna当2n时，113=3321n

43、nnnnaSSnana，整理得，111nnanan，所以312412321345112321nnnnaaaaannaaaanan，累乘得，111 2nn naa，当=1n时，12a，符合上式，所以*1nan nnN若选择条件：因为12nnnnTa Tn，所以112=nnnnTnaaTn，即1=2nnaann，所以1=121nnaannn n，所以数列1nan n为常数列，又1111 1a，所以=11nan n，即1nan n（2）证明：由（1）知：21nan nnn，结合参考公式可得2222111=1+2+3+1231 2112623nn nSnnn nnn nn，所以1111 11=3122

44、22nnnSn nnn nnn，所以11111111111111112324351122212nMnnnnnn，即1 3233232 2124212nMnnnnnn因为Nn，所以230212nnn，即34nM.18(1)7 33R 答案第 13页，共 19页(2)7 30,6r【分析】(1)利用余弦定理求出7AC，再利用正弦定理和余弦定理求得3B，进而得到 A，B，C，D 四点共圆，利用正弦理即可求解.（2）结合（1）的结论和正弦定理可得：1(7)2 3rac，然后再利用正弦定理和辅助角公式以及正弦函数的图像和性质即可求解.【详解】（1）在ACD中，2222cos12049ACADDCAD D

45、C，所以7AC，由正弦定理，sinsinsinsinabACaccABab，可得222bacac，再由余弦定理，1cos2B，又(0,)B，所以3B.因为120ADC，所以180ABCADC，所以 A，B，C，D 四点共圆，则四边形 ABCD 的外接圆半径就等于ABC外接圆的半径.又714 32sin332bRB，所以7 33R.（2）由（1）可知：2249acac，则2()493acac.11sin()22ABCSacBabcr，则231()491(7)2 772 32 3acacracacac.在ABC中，由正弦定理，14 3sinsinsin3acbACB，所以14 3sin3aA，14

46、 3sin3cC，则14 314 3(sinsin)sinsin 12033acACAA14 331sincossin322AAA14 33331sincos14 sincos14sin322226AAAAA，又20,3A，所以 5,666A，所以1sin,162A，14sin(7,146A，所以7 30,6r.19(1)证明见解析(2)69(3)存在，13PMPD或1PMPD答案第 14页，共 19页【分析】（1）利用面面平行证明线面平行；（2）利用坐标法求二面角余弦值与正弦值；（3）设PMPD ，可表示点M与MN，再根据线面夹角求得的值.【详解】（1）如图所示，在线段AD上取一点Q，使13

47、AQAD，连接MQ，NQ，2DMMP，/QM AP，又3AD，2ABBC，/AQ BN，四边形ABNQ为平行四边形，/NQ AB，又NQMQQ，ABAPAI，所以平面/MNQ平面PAB，MN 平面MNQ，/MN平面PAB；（2）如图所示，以点A为坐标原点，以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，则2,0,0B，2,2,0C，0,3,0D，0,0,3P，又N是BC中点，则2,1,0N，所以0,3,3PD ，2,1,0CD ，2,2,0DN，设平面PCD的法向量1111,nx y z，答案第 15页，共 19页则11111133020PD nyzCD nxy ，令11x，则11,2

48、,2n，设平面PND的法向量2222=,nxyz，则222222330220PD nyzDN nxy，令21x，则21,1,1n，所以122222221225 3cos,9122111n n，则二面角CPDN的正弦值为25 36199；（3）存在，13PMPD或1PMPD假设存在点M，设PMPD，即PMPD ，0,1，由（2）得0,3,0D，0,0,3P，2,1,0N，且平面PCD的法向量11,2,2n，则0,3,3PD ，0,3,3PM，则0,3,33M，2,1 3,33MN，122222222 1 32 332sincos,612221 333MN n 解得13或1，故存在点M，此时13P

49、MPD或1PMPD.20(1)48yt(2)2000；580 分；详见解析.【分析】（1）根据表中数据，分别求得,t y，b，a，写出线性回归方程.（2）由（1）中的线性回归方程求得6t 时的 y，进而得到该大学 2022 年的数学专业录取平均分，然后利用3原则求解，再由 584 分以上的有 3 人可计算出本专业 2022 年录取学生共多少人；再由前 46 名占比计算出一等奖学金分数线应该设定为多少分；若从该专业获得一等奖学金的学生中随机抽取 3 人，用表示其中高考成绩在 584 分以上的人数，其中该专业获得一等奖学金的学生为 46 人，其中高考成绩在 584 分以上的有 3 人，则的可能取值

50、为 0，1，2，3，再由超几何分布的概率求解计算出概率并列出分布列进而求得数学期望.【详解】（1）由题意知1(12345)35t，1(12 16202428)205y，答案第 16页，共 19页1164041640niiittyy，214 1 0 1 410niitt ，所以40410b，204 38aybt，故所求线性回归方程为48yt（2）由（1）知，当6t 时，4 6832y，故该大学 2022 年的数学专业录取平均分约为54032572即572因为5845723 43，又1(584)(5723 4)(3)1332P XP XP XPX 110.9970.00152，若该大学 2022

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