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1、成都石室中学成都石室中学 2022-2023 学年度下期高学年度下期高 2023 届入学考试文科数学届入学考试文科数学第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设2log(1)Ax yx，24Bx x，则AB（）A 2,)B1,2C1,2D(1,)2已知 i 为虚数单位，复数 z 满足(1i)iz，则复数 z 在复平面上的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3用系统抽样的方法从 400 名学生中抽取容量为 16 的样本，将 400 名学生编号为 1 至 400，按编号顺序分组，若在
2、第 1 组抽出的号码为 12，则在第 2 组抽出的号码为（）A26B28C33D374已知 f x为奇函数，当0 x 时，2()e1xf xx，则当0 x 时，f x（）A2e1xxB2e1xxC2e1xxD2e1xx5将函数()2sin 23f xx的图象先向左平移4，再将横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为（）A()2sin 46g xxB()2sin12g xxC()2sin 43g xxD()2sin6g xx6给出下列命题：（1）设 a，b，c 为实数，若22acbc，则 ab；（2）设0，则的取值范围是(,)；（3）当 x2 时，12yxx的最小值是 4
3、其中真命题的个数是（）A3B2C1D07“大衍数列”来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中华传统文化中的太极衍生原理 如图是求“大衍数列”前 n 项和的程序框图 执行该程序框图，输入 m=4，则输出的 S=（）A6B14C26D448已知函数()sincosf xxax的图象关于6x对称，则3f的值是（）A3 32B2C2D39在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图 1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得 DA，DB，DC 三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为 HJK，如图 2 所示若在图 2 中23DHDA，则
4、在图 1 中EFEG（）A49B481C427D82710已知函数21()2 ln(2)2f xxaxax的极值点均不大于 2，且在区间（1，3）上有最小值，则实数 a 的取值范围是（）A1,4ln22B1(,1,24ln22C(,2)D(,111已知1F，2F分别为双曲线 C 的左、右焦点，点 P 是右支上一点，且123FPF，设12PFF，当的范围为,12 6时，双曲线 C 离心率的范围为（）A6,32B61,2C(1,3)D6,2212在ABC中，BAC为锐角，|2|ACAB，且对于tR，|ABtAC 的最小值为3|5BA，则cosABC（）A34B35C45D55第卷（非选择题，共 9
5、0 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13抛物线22xy的焦点到准线的距离是_14 已知圆22:6280C xyxy，过原点的直线 l 与圆 C 有公共点，则直线 l 斜率的范围为_15小明和小强计划去博物馆参观，约定上午 9：009：30 之间的任何一个时间在博物馆会合两人商量好提前到达博物馆的人最多等待对方 10 分钟，如果对方 10 分钟内没到，那么等待的人先进去参观，则两人能够在博物馆门口会合的概率是_16将闭区间0,1均分为三段，去掉中间的区间段1 2,3 3，余下的区间段长度为1a；再将余下的两个区间10,3，2,13分别均分为三段，并各自去掉中间的区
6、间段，余下的区间段长度为2a以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段重复这一过程，记数列 na表示第 n 次操作后余下的区间段长度（1）3a=_；（2）若n N，都有23nn aa恒成立，则实数的取值范围是_三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17（本小题满分 12 分）已知数列 na的各项均为正数，其前 n 项和为nS，且212nnaS（*nN），数列 nb的前 n 项积为nT，满足2nSnT（*nN）（）求数列 na和 n
7、b的通项公式；（）设111 1nncbanan，求数列 nc的前 n 项和nC18（本小题满分 12 分）第二十二届世界杯足球赛已于 2022 年 12 月 18 日在卡塔尔落下帷幕，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西、C 罗的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽入温柔的怀抱，即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起为了了解某校学生对足球运动的兴趣，在该校随机抽取了男生和女生各 100 名进行调查，得到如图所示的等高堆积条形图（）完成 22 列联表，并回答能否有 99%的把握认为“该校学生是否喜欢足球运动与性别有关”
8、；喜欢足球运动不喜欢足球运动合计男生女生合计（）从样本中对不喜欢足球运动的学生按性别分层抽样的方法抽取出 6 名学生，若从这 6 人中随机抽取 4人，求抽取到 1 男 3 女的概率附表：P20Kk0.100.050.0250.0100k2.7063.8415.0246.635其中，22()()()()()n adbcKab cd ac bd，n=a+b+c+d19（本小题满分 12 分）多面体 ABCDEF 如图所示，正方形 ABCD 和直角梯形 ACEF 所在的平面互相垂直，FAAC，2AB，EF=FA=1（）求证：平面BEF 平面 DEF；（）求该多面体的体积20（本小题满分 12 分）已
9、知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，且过点2,1P（）求椭圆 C 的方程；（）若直线1l为椭圆 C 在点 P 处的切线，21ll，且直线2l与椭圆 C 交于 A，B 两点（）求直线1l的方程；学科网（北京）股份有限公司（）当PAB的面积取最大值时，求直线2l的方程21（本小题满分 12 分）已知函数1()eln1xf xaxxx，0a（）求证：f（x）存在唯一零点；（）设1()e1xg xax，若 存 在1x，2(1,)x，使 得 211g xg xf x，求 证：12111ln121xxx（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，那么按所做
10、的第一题计分22选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在极坐标系 Ox 中，若点 A 为曲线:cos233l上一动点，点 B 在射线 AO 上，且满足|16OAOB，记动点 B 的轨迹为曲线 C（）求曲线 C 的极坐标方程；（）若过极点的直线1l交曲线 C 和曲线 l 分别于 P，Q 两点，且直线 PQ 的中点为 M，求OM的最大值23选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分）已知函数 124f xaxx（a0）（）若 a=1，解不等式()9f x；（）当 x0 时，()4f x 恒成立，求实线 a 的取值范围答案及解析答案及解析1A【解析因为10|()1,Ax x，2,
11、2B ，所以2,AB 2C【解析】由i 1ii11i1i1i 1i22z，所以 z 在复平面上的点位于第三象限3D【解析】组距：4002516，则第 2 组抽出来的号码应该为 12+25=374B【解析】当 x2 时，1122422yxxxx，当且仅当 x=3 时取等，所以（3）正确7C【解析】（1）n=1，S=0，m=4，n 是奇数，21102a，S=0+0=0，nm 否，n=2；（2）n=2，n 不是学科网（北京）股份有限公司奇数，2222a，S=0+2=2，nm 否，n=3；（3）n=3，n 是奇数，23142a，246S，nm否，n=4；（4）n=4，n 不是奇数，2482a，S=6+
12、8=14，nm 否，n=5；（5）n=5，n 是奇数，251122a，S=14+12=26，nm 是，则输出 S=268D【解析】因为()sincosf xxax的图象关于6x对称，则()sincosf xxax在6x取得极值又()cossinfxxax，则30622af，得3a，所以()sin3cos2sin3f xxxx，则22sin333f9B【解析】DA，DB，DC 三条棱与水平面所成角均相等时，三棱锥 D-HJK 为正三棱锥设正方体的棱长为 3，则 DH=DK=DJ=2，所以11142223323D HJKDHJDKVS，则题图 1 中2433VEF，则427EF，所以481EFEG
13、10A【解析】易知最小值只能在极小值处取得，2(2)()()(2)(13)axxafxxaxxx，所以2a （1）当 a=2 时，f x在1,3上单调递增，无最值；（2）当 1a2 时，f（x）在（1，a）上单调递增，,2a上单调递减，2,3上单调递增，f x在 x=2 取得极小值 2f，又极小值必须为最小值，则(1)(2)ff，即1222ln2242aaa，即114ln22a；（3）当1a 时，f x在1,2上单调递减，2,3上单调递增，满足条件综上所述，14ln22a 11A【解析】在12FPF中，由121212211232sin3122sinsin2sinsincos36FFccFPFe
14、aaPFPFPF FPFF因为,12 6，所以,64 3，所以12cos,622，所以6,32e12 D【解 析】因 为222222 2|22cosABtACABt ACtAB ACcb ttbcA ，当22coscos2bcAcAtbb时，2|ABtAC 取最小值，则22229cos25ccAc，所以216cos25A，故4cos5A 因为|2|ACAB，所以 b=2c，所以22222254cos245bcacaAbcc，得35ac，所以2225cos25acbBac 131【解析】因为抛物线方程为22xy，所以焦准距 p=1141,17【解析】由题意可知，圆 C 的圆心为3,1C，半径2r
15、 设直线 l 的方程为 y=kx，则2|31|21kk，即27610kk，解得117k1559【解析】设小明到达的时刻为 9 时 x 分，小强到达的时刻为 9 时 y 分，其中030 x，030y，则当|10 xy时，两人能够在图书馆门口会合如图，两人到达时刻,x y构成正方形区域，记其面积为 S；而 事 件 A：两 人 能 够 在 图 书 馆 门 口 会 合 构 成 阴 影 区 域，记 其 面 积 为1S，所 以22121302(3010)52()309SP AS16（1）827（2）100,9（第 1 空 2 分，第 2 空 3 分）【解析】由题意可知，123a，2212233aa，332
16、2233aa，所以3827a，所以数列 na为首项123a，公比23q 的等比数列，所以1123nnnaaq因为*n N，都有3223nn a恒成立，所以3223nn恒成立，只需32max23nn记322()3ng nn，*nN，显然 0g n，所以1 3223222(1)(1)2(1)3()323nnng nng nnn 令(1)1()g ng n，即222(1)13nn，即2420nn，解得26n 因为*nN，所以 n 可以取包含 5 以后的所有正整数，即当5n 且*nN时，322()3ng nn单 调 递 减 又4 32232(4)433g，5 322100(5)539g，所 以 123
17、45ggggg综上所述，当 n=5 时，100(5)9g最大，所以1009，所以实数的取值范围是100,917解：（）在212nnaS中，令 n=1，得21111112aaSa当2n 时，由22111122nnnnSaaS，于是有221111112022nnnnnnnnnaaaSSaaaa因为数列 na的各项均为正数，所以111120202nnnnnnnnaaaaaaaa，则数列 na是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，所以有1(1)221nann，显然11a 适合，因此*21nannN由222nSnnT，令 n=1，得112bT；当2n 时，由21(1)122nSnnT，得21122na
18、nnnnTbT，所以21*2nnbnN（）记1111nnndaa，数列 nd的前 n 项和为nD，所以1111 11112(22)41nnndaannnn，则11111114223144nnDnnn由212nnb可知，数列 nb是以12b 为首项，4 为公比的等比数列，则数列 nb的前 n 项和为2 142 41143nn，故数列 nc的前 n 项和2 41344nnnCn18解：（）完成22列联表：喜欢足球运动不喜欢足球运动合计男生6040100女生2080100合计801202002K的观测值2200(60 802040)33.336.63580 120 100 100k，所以有 99%的
19、把握认为“该校学生是否喜欢足球运动与性别有关”（）按照分层抽样的方法可得，抽取男生 2 人，设为 a，b；女生 4 人，设为 A，B，C，D，从这 6 人中随机抽取 4 人，末被抽取的 2 人有a，b，a，A，a，B，a，C，a，D，b，A，b，B，b，C，b，D，A，B，A，C，A，D，B，C，B，D，C，D，共有 15 种不同的基本结果，其中抽取到 1 男 3 女的情况，即未抽取的 2 人是 1 男 1 女，则有a，A，a，B，a，C，a，D，b，A，b，B，b，C，b，D，共有 8 种不同的基本结果，所以抽取到 1 男 3 女的概率为81519（）证明：如图，连接 BD，设 AC 与 B
20、D 交于点 O，连接 FO，EO因为平面ABCD 平面 ACEF，平面ABCD平面 ACEF=AC，AFAC，AF 平面 ACEF，所以AF 平面 ABCD因为四边形 ABCD 是边长为2的正方形，所以22BDACAB在直角梯形 ACEF 中，EFAC，O 为 AC 的中点，则 AO=EF=1，且AOEF又因为 AF=EF，AFAC，所以四边形 AFEO 是边长为 1 的正方形，所以AFEO，且 EO=AF=1，所以EO 平面 ABCD因为BD 平面 ABCD，所以EOBD，则222DEBEEOBO，所以222BEDEBD，所以BEDE因为AF 平面 ABCD，AD 平面 ABCD，所以AFA
21、D，所以223DFADAF，所以222EFDEDF，所以DEEF又因为BEEFE，BE，EF 平面 BEF，所以DE 平面 BEF又因为DE 平面 CDE，所以平面BEF 平面 CDE（）解：由（）可知，BDOE，BDAC，OEACO，则BD 平面 ACEF多面体 ABCDEF 可以视为四棱雉 B-ACEF 和四棱雉 D-ACEF 的组合体，故其体积为11(12)121332ACEFSBD梯形20解：（）由题意，得222231,2411,cbaaab则228,2,ab故椭圆22:182xyC（）（）由题意可得，直线1l的切线斜率一定存在令直线1:1(2)lyk x，联立22182xy，整理得2
22、22418(12)4(12)80kxkk xk，所以222264(12)4 41 161640kkkkk，即22441(21)0kkk，所以12k ，故直线11:1(2)2lyx ，即直线1:240lxy（）由（），设11,A x y，22,B x y，直线:20AB xym，联立22182xy，整理得222280 xmxm，且2224886440mmm，即-4m4，所以212128,2mxxm x x，则222121 25|14164ABkxxx xm又点 P 到直线:20AB xym的距离|4|5md，且-4m4，所以1|2PABSAB d215|4|16245mm2116(4)4mm22
23、116(4)4mm令22()16(4)f mmm，则2222()2(4)2(4)164(4)284(4)(2)fmm mmmmmmmm ，所以 f m在4,2上单调递增，在2,4上单调递减，即当 m=2 时，PAB面积取最大值，此时直线2l的方程为 x+2y+2=021证明：（）由题意，得11()e11xfxax记11()()e11xF xfxax，则121()exF xax因为0a 时，()0F x恒成立，所以()()F xfx在(0,)上单调递增因为(1)0f，所以()fx在0,1上恒小于 0，在(1,)上恒大于 0，所以 f x在0,1上单调递减，在(1,)上单调递增因为 10f，所以
24、f x有唯一零点 x=1（）由 211g xg xf x，得21112lne1xxaxax记()exm xax，故21ln1mmxx 因为()exm xax在(0,)上单调递增，所以211lnxx，则12111111111111ln11ln1ln11 ln1ln212112xxxxxxxxxxx ，设1()(1)ln1 ln2xh xxxx 则111()ln121xxh xxx，22121()1(1)hxxxx因为()0hx在(0,)上恒成立，所以()h x在(0,)上单调递增，注意到(1)0h，所以()0h x的解集为0,1，()0h x的解集为(1,)，所以 h x在0,1上单调递减，在(
25、1,)上单调递增，所以()(1)0h xh又因为11x，所以12111ln121xxx 22解：（）当点 B 在线段 AO 上时，由|16OAOB，得4,3B或4,3B当点 B 不在线段 AO 上时，设(,)B，则16,A，所以16cos()2，所以8cos 又33，所以4233 综上所述，曲线 C 的极坐标方程为428cos33 或43（）若曲线 C 为43，此时点 P，Q 重合，不合题意若曲线 C 为428cos33 ，设直线1:33l，由,cos2,得2cosQ；由,8,cos 得8cosP 因为 M 是线段 PQ 的中点，所以14cos2cosPQM 因为,3 3 ，所以1cos,12记cost，则1,12t又14ytt 在1,12上单调递减，3,0y，故当0时，OM取最大值为 323解：（）若1a，则 124f xxx当1x 时，339f xx，则2x ，所以21x ；当12x 时，59f xx ，则4x ，所以12x；当2x 时，339f xx，则4x，所以24x综上所述，9f x 的解集为2|4xx（）因为0a，0 x，所以当02x时，142254f xaxxax 恒成立，即 04,24,ff得32a；当2x 时，124234f xaxxax 恒成立，即 24f，得32a 综上所述，实数 a 的取值范围为3,2