《四川省成都市石室中学2023-2024学年高三下学期二诊模拟考试文科数学试题（A）含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四川省成都市石室中学2023-2024学年高三下学期二诊模拟考试文科数学试题（A）含答案.pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1学科网（北京）股份有限公司11 8 7 712 5 1 3 13 1 2成都石室中学成都石室中学 2023-2024 年度下期高年度下期高 2024 届二诊模拟考试届二诊模拟考试数学试题（文）（数学试题（文）（A 卷）卷）（总分：（总分：150 分，时间：分，时间：120 分钟分钟）第卷（共第卷（共 60 分）分）一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 道小题，每小题道小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分）1.已知复数i11z（其中i为虚数单位），则z的虚部是A.21 B.i21 C.21 D.i212.若集合 21|,2,1xyyBA，则Aa是Ba的A充分不必要条件B必要不充分
2、条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3.如图是根据某校高三 8 位同学的数学月考成绩（单位：分）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生数学月考成绩的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生数学月考成绩的个位数字，则下列结论正确的是A.这 8 位同学数学月考成绩的极差是 14 B.这 8 位同学数学月考成绩的中位数是 122C.这 8 位同学数学月考成绩的众数是 118D.这 8 位同学数学月考成绩的平均数是 1244.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，则这个几何体的体积是 A.23 B.35 C.37 D.295.已知数列na为等差数列，且
3、23691010aaaaa，则48aa的值为A.2 B.4 C.6 D.8 6.若ba,是正实数，且142131baba，则ba 的最小值为A54 B32 C1 D2 7.当20 x时，关于x的不等式0)(sin32cossin2(xxxxa有解，则a的最小值是A2 B3 C4 D24 8.已知函数()sin(2)3f xx，则下列结论中不正确的是A为函数|()|f x的一个周期 B点2(,0)3是曲线()yf x的一个对称中心点2学科网（北京）股份有限公司C在区间,a a上单调递增，则实数 a 的最大值为512D将函数()f x的图象向右平移12个长度单位后，得到一个偶函数的图象9.已知抛物
4、线xy42，弦AB过其焦点，分别过弦的端点BA,的两条切线交于点C，点C到直线AB距离的最小值是A41 B21 C1 D2 10.如图，四棱柱1111DCBAABCD 中，E为棱11BA的中点，F为四边形11DDCC对角线的交点，下列说法：EF/平面11BBCC；若EF/平面11AADD，则ADBC/；若四边形ABCD矩形，且11CDEF，则四棱柱1111DCBAABCD 为直四棱柱.其中正确说法的个数是A.0 B.1 C.2 D.3 11.已知函数2()22cosxxf xxx，若)2(fa,)(1eefb,)(1fc，则A.cba B.acb C.cab D.bca12.若双曲线)0,0(
5、1:2222babyaxC的左、右焦点分别为21,FF，过右焦点2F的直线l与双曲线C交于BA,两点，已知l的斜率为k，,abk，且BFAF222，0160ABF，则直线AB的斜率是A.32 B.3 C.33 D.2第卷（共第卷（共 90 分）分）二、填空题（本题共填空题（本题共 4 道小题，每小题道小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13.已知向量)2,1(a，),2(xb，若ba，则实数x .14.已知实数yx,满足约束条件04340yxyxy，则yxz23 的最大值是 .15.已知等比数列 na的前n项和为nS，若2731nnxS，则naaa21取最大值时，n的值为 16.若1
6、x，恒有11ln22mxxemxexxx，则m的取值范围是 .3学科网（北京）股份有限公司三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分 12 分）某校从高二年级学生中随机抽取 60 名学生，将他们的期中成绩（均为整数）分成六段，40,50,50,60,，90,100后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：(1)求a，并估计此次期中考试成绩的众数.(2)利用分层抽样的方法从样本中成绩在50,60和80,90两个分数段内的学生中抽 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2人，求这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率.18.（本小
7、题满分 12 分）已知sin,()cos33xmmRxml，设l)(xf.（）求函数)(xf的对称中心；（）若ABC中，角CBA,所对的边分别为cba,，332)(Af，且ABC外接圆的半径为33，D是BC边的中点，求线段AD长度的最大值.19（本小题满分 12 分）如图，棱长为3的正方体1111DCBAABCD 中,12ECCE.（）若F是线段AB的中点，求证：FC1/平面BDE；（）求三棱锥EBBD1的体积.4学科网（北京）股份有限公司20.（本小题满分 12 分）已知点F是椭圆)0(1:2222babyaxE的右焦点，过原点的直线交椭圆E于BA,两点,ABF面积的最大值为3，1OF.（）
8、求椭圆E的标准方程；（）已知过点),4(0yP的直线l与椭圆 E 交于NM,两点，是否存在定点P，使得直线FNFM,的斜率之和为定值？若存在，求出定点P的坐标及该定值.若不存在，请说明理由.21.（本小题满分 12 分）已知函数axxxf2)(.0,x（）是否存在实数a使得()0f x 在区间 12,aa上恒成立，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由；（）求函数xaxfxhln)()(2在区间),1(ae上的零点个数(e为自然对数的底数).选考题：共选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。题中任选一题作答。如果多做
9、，则按所做的第一题计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分）22.（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l过定点0,1，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos4sin2，直线l与曲线C相交于不同的两点,A B.（）若3，求线段AB中点M的直角坐标；（）若(1,0)P，求PA PB的最小值.选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分）23.（本小题满分 10 分）已知函数1)(xxf.（）求不等式7)12()(xxfxf的解集；5学科网（北京）股份有限公司（）若对于正实数a，b，c，满足111
10、1cba,证明:9)()(cbxfaxf.1学科网（北京）股份有限公司11 8 7 712 5 1 3 13 1 2成都石室中学成都石室中学 2024-2025 年度下期高年度下期高 2024 届二诊模拟考试届二诊模拟考试数学试题（文）（数学试题（文）（A 卷）参考答案卷）参考答案一、选择题：1.已知复数i11z（其中i为虚数单位），则z的虚部是A.21 B.i21 C.21 D.i211.A 2i1i11z,所以z的虚部是21.2.若集合 21|,2,1xyyBA，则Aa是Ba的A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件2.A,0B，则 A 是 B 的真子集，则Aa
11、是Ba的充分不必要条件.3.如图是根据某校高三 8 位同学的数学月考成绩（单位：分）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生数学月考成绩的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生数学月考成绩的个位数字，则下列结论正确的是A.这 8 位同学数学月考成绩的极差是 14B.这 8 位同学数学月考成绩的中位数是 122C.这 8 位同学数学月考成绩的众数是 118D.这 8 位同学数学月考成绩的平均数是 1243.B 对于选项 A,极差是132 11715，故 A 错误;对于选项 B，中位数是 1222123121，故 B 正确;对于选项 C，众数是 117，故 C 错误;对于选项 D，平均数是
12、123，故 D 错误，故选 B.4.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，则这个几何体的体积是 A.23 B.35 C.37 D.294.A 还原成直观图后，几何体由一个圆柱和八分之三个球组成，故这个几何体的体积234331 11382V.5.已知数列na为等差数列，且23691010aaaaa，则48aa的值为A.2 B.4 C.6 D.8 2学科网（北京）股份有限公司5.B 因为10109632aaaaa，由等差数列的性质，得1056a，26a，所以484 aa.6.若ba,是正实数，且142131baba，则ba 的最小值为A54 B32 C1 D2
13、 6.A 因为 bababababababa421314235114235154423342251babababa，当且仅当51,53ba时取等号，所以ba 的最小值为54.7.当20 x时，关于x的不等式0)(sin32cossin2(xxxxa有解，则a的最小值是A2 B3 C4 D24 7.A 当20 x时，xx sin，所以032cossin2xxa在20 x上有解，所以xxxa2sin222cos3sin2，所以minsinsin1xxa.由2sinsin1xx，当且仅当2x时取等号，所以a的最小值是 2.7.当20 x时，关于x的不等式(2sincos23)(sin)0axxxx有
14、解，则a的最小值是A1516 B158 C32 D1 7.A 当20 x时，xx sin，所以2sincos230axx在20 x上有解，所以22sin3cos222sinaxxx，所以211515sin41616ax，当且仅当1sin4x 时取等号，所以a的最小值是1516.8.在 2023 年成都“世界大学生运动会”期间，组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者分配到CBA,三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到A场馆，则不同分配方案的种数是A48 B36 C24 D128.C 分两种情况：第一种情况，甲单独一人执勤一个场馆，共有12222312ACC种；第二种情况，甲和另一个人一
15、起执勤一个场馆，共有12221213ACC种，则共有 24 种.8.（文科）已知函数()sin(2)3f xx，则下列结论中不正确的是A为函数|()|f x的一个周期3学科网（北京）股份有限公司B点2(,0)3是曲线()yf x的一个对称中心点C在区间,a a上单调递增，则实数 a 的最大值为512D将函数()f x的图象向右平移12个长度单位后，得到一个偶函数的图象8C【解析】对于 A，函数()sin(2)3f xx的最小正周期为，所以为函数|()|f x的一个周期，正确；对于 B：令2()3xkkZ，解得()26kxkZ，当1k 时，23x，所以点2(,0)3是()f x的一个对称中心点，
16、故 B 正确；对于 C：222,232kxkkZ，得5,1212kxkk Z，令50,1212kx，因为在区间,a a上单调递增，所以实数 a 的最大值为12，故 C 不正确；对于 D：sin2()sin(2)cos1232yxxx，故 D 正确.综上，故选 C9.已知抛物线xy42，弦AB过其焦点，分别过弦的端点BA,的两条切线交于点C，点C到直线AB距离的最小值是A41 B21 C1 D2 9.D 设),(),(2211yxByxA，设过A处的直线是11xxkyy，联立11xxkyy，xy42得0444112xykyky，0，即12121122,024,041616ykykyykk，则在A
17、处的切线方程为xxyy2211，同理，B处的切线方程为xxyy2222，设交点C的坐标为),(00yx，点),(00yxC在两条切线上，所以010122xxyy，020222xxyy，则直线AB的方程是0022xxyy.又AB过其焦点)0,1(，易知交点C的轨迹是1x，所以 C0(1,)y，AB：022yyx，所以交点C到直线AB的距4学科网（北京）股份有限公司离是220020|22|44ydyy，所以当00y 时 d 的最小值为 2.10.如图，四棱柱1111DCBAABCD 中，E为棱11BA的中点，F为四边形11DDCC对角线的交点，下列说法：EF/平面11BBCC；若EF/平面11AA
18、DD，则ADBC/；若四边形ABCD矩形，且11CDEF，则四棱柱1111DCBAABCD 为直四棱柱.其中正确说法的个数是A.0 B.1 C.2 D.3 10.C 对于，若EF/平面11BBCC，过F作1CC的平行线交11DC于其中点H，为连接EH，由于/FH平面11BBCC，且EF/平面11BBCC，所以平面EFH/平面11BBCC，所以EH/平面11BBCC，所以EH/11BC.当11DA与11BC不平行时，EH/11BC不成立.是假命题.对于，同，EH/11BC，则ADBC/.是真命题.对于，四边形ABCD矩形，所以/ADBC.又11/DDCC，所以平面11AAD D/平面11BBCC
19、，所以四棱柱1111DCBAABCD 可看作11AAD D为上底面，11BBCC为下底面的四棱柱，过F作1CC的平行线交11DC于点H，则H为11DC的中点，连接EH，由条件有11CDEH，又11CDEF，则11DC 平面EFH，则11CDFH，1/DDFH，所以111CDDD，又1111CDAD，所以11DC 平面11ADD A，则四棱柱1111DCBAABCD 为直四棱柱.是真命题.10.(B 卷)如图，在长方体1111ABCDABC D中，2ABAD，13AA，P，Q分别是棱BC和11C D上的两个动点，且2PQ，则PQ的中点E到1CC的距离为（）5学科网（北京）股份有限公司A32B22
20、C12D 3310.C 取1CC的中点F，连接EF，以D为坐标原点，DA，DC，1DD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,2,0P x，0,3Qy，30,2,2F，因为E是PQ的中点，所以23,222x yE，所以2,022x yFEuuu r，而110,0,3CCDDuuuu ruuuu r，所以10FE CCuuu r uuuu r，即1EFCC，所以点E到1CC的距离就是EF，因为2PQ，所以2222(2)(3)4PQxy，即22(2)1xy，所以222222(2)122244xyxyEF，即12EF，所以PQ的中点E到1CC的距离为12.故选：C.11.已知函
21、数2()22cosxxf xxx，若)2(fa,)(1eefb,)(1fc，则A.cba B.acb C.cab D.bca11.B 2()22cosxxf xxx是偶函数，()(22)ln2(2sin)0 xxfxxx，则)(xf在0,上是增函数.构造函数xxxgln)(，则21ln()xg xx，令()0g x，得0ex，令()0g x，得6学科网（北京）股份有限公司ex，所以)(xg在区间e,0上单调递增，在区间,e上单调递减.又ln2ln424，所以(4)()(e)ggg，所以ln2ln4lnlne24e，所以11122ee，所以111ee(2)()(e)(e)ffff，所以acb.1
22、1.（B 卷）设12log 11a，13log 12b，0.12log0.11c，则（）A c a bBabcCbacD ，即1c，2222lg11 lg13lg143lg144lg11lg13()()()lg 12222，所以2lg11lg13lg12lg11lg120lg12lg13lg12lg13ab，即ab，综上abc，故选：B12.若双曲线)0,0(1:2222babyaxC的左、右焦点分别为21,FF，过右焦点2F的直线l与双曲线C交于BA,两点，已知l的斜率为k，,abk，且BFAF222，0160ABF，则直线AB的斜率是A.32 B.3 C.33 D.212.A 设xBF2，
23、则xAF22，由双曲线定义，得xaBFxaAF2,2211.在BAF1中，由余弦定理，得012212160cos2ABAFABAFBF，解得3ax.在21FAF中，由余弦定理，得0212221260cos24AFAFAFAFc,解得313e.法一：令03tta，则tbtc2,13，149:2222tytxC，设l：32013mtmyx，联立1492222tytx，13xmyt，得01613894222tmtyym，9416,941382221221mtyymmtyy.由BFAF222，得212yy，则321m，所以32ABk.法二：设直线倾斜角l为，由双曲线第二定义得：cos122eabAF，
24、cos122eabBF，又BFAF222，则211212ABke，又,abk，则32ABk.二、填空题：7学科网（北京）股份有限公司13.已知向量)2,1(a，),2(xb，若ba，则实数x .13.1 因为ba，所以1 2(2)0 x，解得1x.14.已知实数yx,满足约束条件04340yxyxy，则yxz23 的最大值是 .14.3 作出yx,满足的可行域如图中阴影部分所示，作出直线32yx 并平移，当直线过点(1,0)A时，max3 1203z ，所以yxz23 的最大值是 3.15.已知等比数列 na的前n项和为nS，若2731nnxS，则naaa21取最大值时，n的值为 15.3 等
25、比数列 na的公比为q，由等比数列前n项和公式nnqqaqaS1111，得31,27qx.又181a，则13118nna，32,2,6432aaa，所以naaa21取最大值时，n的值是 3.16.若1x，恒有11ln22mxxemxexxx，则m的取值范围是 .16.(,2e 由11ln22mxxemxexxx，得0 mxex在1x上恒成立，即em.且 22ln1ln1xxxemxemxx，即 22ln11lnxxxxemxemx.因为xxy ln在1,)上是增函数，所以21xxemx，所以21xexmx.令21()xexf xx，则2(1)(1)()0 xxexf xx，所以()f x 在1
26、,)上单调递增，min()(1)e 2f xf，所以2me.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（12 分）8学科网（北京）股份有限公司为了去库存，某商场举行如下促销活动：有两个摸奖箱，A箱内有 1 个红球、1 个黑球、8 个白球，B箱内有 4 个红球、4 个黑球、2 个白球，每次摸奖后放回消费额满 300 元有一次A箱内摸奖机会，消费额满 600 元有一次B箱内摸奖机会.每次机会均为从箱子中摸出 1 个球，中奖规则如下：红球奖 50 元代金券、黑球奖 30 元代金券、白球奖 10 元代金券（）某三位顾客各有一次B箱内摸奖机会，求中奖 10 元代金券人数的分
27、布列；（）某顾客消费额为 600 元,请问：这位顾客如何抽奖所得的代金券期望值较大？解：（）三位顾客每人一次B箱内摸奖中 10 元代金券的概率都为51，中奖 10 元代金券的人数服从二项分布)51,3(B，3,2,1,0,5451)(33kCkPkkk，4 分故的分布列为0123P1256412548125121251 6 分（）可以在A箱摸奖 2 次，或者在B箱内摸奖 1 次A箱摸奖 1 次所得奖金的期望值为16108101013010150，8 分B箱摸奖 1 次所得奖金的期望值为34102101043010450，10 分A箱摸奖 2 次所得奖金的期望值为32162，B箱摸奖 1 次所得
28、奖金的期望值为 34，所以这位顾客选B箱摸奖 1 次所得奖金的期望值较大12 分17.（文）某校从高二年级学生中随机抽取 60 名学生，将他们的期中成绩（均为整数）分成六段，40,50,50,60,，90,100后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：9学科网（北京）股份有限公司(1)求a，并估计此次期中考试成绩的众数.(2)利用分层抽样的方法从样本中成绩在50,60和80,90两个分数段内的学生中抽 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人，求这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率.【详解】（1）由直方图知：10(0.0150.0250.0350.005)1
29、aa，则0.010a，由图知：区间70,80)的频率最大，故众数为 75.4 分（2）成绩在50,60)分数段的人数有60 0.159，成绩在80,90)分数段的人数有60 0.16，采用分层抽样的方式，在50,60)抽取3人，记为 A，B，C，80,90)抽取2人，记为 1，2，从这 5 人中随机抽取两人，所有的基本事件有(,),(,),(,1),(,2),(,),A BA CAAB C(,1),(,2),(,1),(,2),(1,2)BBCC共 10 种，8 分2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 等价于这 2 个同学在同一个分数段.记“这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于
30、10”为事件 N，则事件 N 包含的基本事件有(,),(,),(,),(1,2)A BA CB C共 4 种，10 分所以所求概率为42()105P N.12 分18.（12 分）已知sin,()cos33xmmRxml，设l)(xf.（）求函数)(xf的对称中心；（）若ABC中，角CBA,所对的边分别为cba,，332)(Af，且ABC外接圆的半径为33，D是BC边的中点，求线段AD长度的最大值.解：（）由xmmxcos33sinl，得)6sin(332cos33sin)(xxxxf.10学科网（北京）股份有限公司令Zkkx,6,解得Zkkx,6,所以函数)(xf的对称中心为.)0,6(Zk
31、k，6 分（）332)6sin(332)(AAf，,0A3A，又且ABC外接圆的半径为33，则1sin332Aa，法一：由余弦定理bcacbA2cos222，得122bccb.ACABAD2，AACABACABADcos24222,12422222bcbcbcAD.由122bccb，bccb222，得222bc，即（当且仅当1 cb时等号成立），342AD，即23maxAD，此时，1 cb.12 分法二：直接画出三角形的外接圆，由图可知，当ADBC时，AD 最大，此时ABC为等边三角形，所以 AD=32，所以max32AD.19.（12 分）如图，棱长为3的正方体1111DCBAABCD 中,
32、E是棱1CC上靠近1C的三等分点.（）求证：CA1与平面BDE不垂直；（）在线段BE上是否存在一点F使得平面FDB11平面BDE？若存在，请计算BEBF的值；若不存在，请说明理由.解：以D为坐标原点建立如图的空间直角坐标系，0,3,0,3,0,3),3,0,0(),3,3,3(),2,3,0(),0,0,0(),0,3,3(111CADBEDB.（）1(0,3,2),(3,3,3)DEA C uuuruuuu r,因为1(3,3,3)(0,3,2)30A C DE uuuu r uuur，11学科网（北京）股份有限公司所以CA1与平面BDE不垂直.5 分（）存在点F，且1712BEBF.设BE
33、BFl，则1,0)2,3,33(lll，F.)2,3,0(),0,3,3(DEDB，设平面BDE的法向量为),(1111zyxn r，则023033112111zyDEnyxDBnrr，令21y，得)3,2,2(1nr.同理，平面FDB11的一个法向量为)3,32,32(2llln.若平面FDB11平面BDE，则021nn，即1712,096464llll，1,0l.所以在线段BE上存在一点F使得平面FDB11与平面BDE垂直，且BEBF1712.12 分19（文科）如图，棱长为3的正方体1111DCBAABCD 中,12ECCE.（）若F是线段AB的中点，求证：FC1/平面BDE；（）求三棱
34、锥EBBD1的体积.解：（）如图，分别作出线段1BB的三等分点GH,，连接GC1，GF，AH.12ECCE DEAHGCBE/,/1GF,分别是BHBA,的中点AHFG/DEFG/又GGCFG1平面/1GFC平面EBDFC1平面1GFCFC1/平面BDE6 分（）2933321313111DCSVBEBBEBD12分 20.（12 分）12学科网（北京）股份有限公司已知点F是椭圆)0(1:2222babyaxE的右焦点，过原点的直线交椭圆E于BA,两点,ABF面积的最大值为3，1OF.（）求椭圆E的标准方程；（）已知过点),4(0yP的直线l与椭圆 E 交于NM,两点，是否存在定点P，使得直线
35、FNFM,的斜率之和为定值？若存在，求出定点P的坐标及该定值.若不存在，请说明理由.解：解：（）因为bcyyOFSBAABF21，当且仅当BA,是y轴与椭圆的交点时取等号，所以3bc.又1cOF,所以4,322ab，所以椭圆 E 的标准方程为22143xy.4 分（）设直线l的方程为,ykxm1122(,),(,),M x yN xy由0(4,)Py在直线l上，得04.myk联立22,143ykxmxy化简得222(43)84120kxkmxm.由0，得2243km.由根与系数的关系，得1222122843,41243kmxxkmx xk7 分故直线,FM FN的斜率之和为1212121212
36、1212122211111kx xmkxxmyykxmkxmxxxxx xxx9 分02222006246,4489364249ykmkmkmkyy k.11 分要使上式为定值，则00,y 故(4,0)P，且0.FMFNkk.12 分13学科网（北京）股份有限公司21.（12 分）已知函数axxxf2)(.0,x（）是否存在实数a使得()0f x 在区间 12,aa上恒成立，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由；（）求函数xaxfxhln)()(2在区间),1(ae上的零点个数(e为自然对数的底数).解：（）axxxf2)(.0,x，因为()0f x 在区间 12,aa上恒成立，所以
37、0)12(0)(012afafaa，所以a0，故对任意的a0 都能满足()0f x 在区间 12,aa上恒成立.4 分（）由区间),1(ae得1ae，所以0a.)0()(2(22)(222xxaxaxxaaxxxaaxxh所以)(xh在),0(a上单调递减，在)(，a上单调递增，aaahxhln)()(2min.6 分下面先证明：aea 0设)0()(aaeaga，则)0(1)(aeaga，由()0g a得0a，所以()g a在),0 上是增函数，故()(0)10g ag 所以aea7 分aaahxhln)()(2min，当0ln2aa，即10 a时，函数)(xh在),1(ae上无零点；当0l
38、n2aa，即1a时，函数)(xh在),1(ae上无零点；当0ln2aa，即1a时，aea 1,由于01)1(ah，0)(ah，32)(aaeeehaaa,下面证明)1(0)(32aaaeeehaaa.令)1()(32xxxeexmxx，则)1(32)(22xxxeeexmxxx，14学科网（北京）股份有限公司令)1(32)(22xxxeeexxxx，则)1(624)(2xxxeeexxxx，令)1(624)(2xxxeeexFxxx，则0)63()2()33(638)(2222xxxxxxxxexeeeexeeexF，所以)(xF在),1(上单调递增，0634)1()(2eeFxF，所以)(x
39、在),1(上单调递增，2()(1)2230 xee，所以)(xm在),1(上单调递增，01)1()(2eemxm，所以)1(0)(32aaaeeehaaa，所以函数)(xh在),1(ae上有一个零点.11 分综上所述，当01a 时，函数)(xh无零点；当1a 时，函数)(xh有一个零点.12 分22.（10 分）在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l过定点0,1，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos4sin2，直线l与曲线C相交于不同的两点,A B.（）若3，求线段AB中点M的直角坐标；（）若(1,0)P，求PA PB的最小值.解析解析：（）曲线C的普通
40、方程为24yx 1 分当3时，直线l的参数方程为11232xtyt（t为参数），代入24yx，得238160tt 2 分设A，B对应的参数为1t，2t，则1283tt，3 分所以M对应的参数为12423tt，4 分代入参数方程，得点M的直角坐标5 2 3(,)33.5 分15学科网（北京）股份有限公司（）将直线l的参数方程1cossinxtyt（t为参数）代入24yx，得22sin4 cos40tt，1224|4sinPAPBt t，当且仅当2时取等号，PA PB的最小值为4.10 分23.（10 分）已知函数1)(xxf.（）求不等式7)12()(xxfxf的解集；（）若对于正实数a，b，c
41、，满足1111cba,证明:9)()(cbxfaxf.解：（）xxxfxf21)12()(.当1x 时，12317xxxx ，则12x；当10 x 时，1217xxxx ，则01x；当0 x 时，12317xxxx，则30 x，综上，不等式7)12()(xxfxf的解集是32xx.5 分（）由绝对值不等式的性质，可得 cbacbxaxcbxaxcbxfaxf1111)()(,当且仅当110 xaxbc 取等号.由于正实数a，b，c，满足1111cba，所以cbacbacba11193cbbccaacbaab，当且仅当3abc时取等号，此时11270 xaxbcxx ，即72x，所以9)()(cbxfaxf，当且仅当3abc且72x 取等号.10 分