《江西省南昌市第十中学2022-2023学年高三下学期第一次模拟文科数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江西省南昌市第十中学2022-2023学年高三下学期第一次模拟文科数学试题含答案.pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 南昌十中 20222023 学年下学期高三一模模拟南昌十中 20222023 学年下学期高三一模模拟 数学试题（文科）说明：本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，全卷满分 150 分。考试用时 120分钟，注 意 事 项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。1答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或 IS 号用书写黑色字迹的 05 毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上。2作答非选择题必须用书写黑色字迹的 05 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答
2、案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。3考试结束后，请将答题纸交回。第 I 卷(选择题)一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合=Mx yy(,)1，集合=Nx yx(,)0，则=MN（）A.0,1B.(0,1)C.(1,0)D.(0,1),(1,0)2.若复数=+z2i 1 2ii3)(，则=z（）A.6B.5C.4D.33.总体由编号为 01，02，49，50 的 50 个个体组成，利用下面的随机数表选取
3、 6 个个体，选取方法是从随机数表第 6 行的第 9 列和第 10 列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第 4 个个体的编号为()附：第 6 行至第 9 行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 A.3 B.19 C.38 D.204如右图是下列四个函数中的某个函数在区间3,3上的大致图象，则该函数是
4、()A.+=+xyxx1323B.+=xyxx123C.+=xyx12cos2 D.+=xyx12sin25抛物线=C yx:122的焦点为F，P为抛物线C上一动点，定点A(5,2)，则+PAPF的最小值为（）A.8 B.6 C.5 D.962022 年 6 月 5 日上午 10 时 44 分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号 F 运载火箭，将神舟十四号载人飞船和 3 名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d x)(（单位：dB）与声强x（单位：W/m2）满足=d xx1010lg12)(.若人交谈时
5、的声强级约为50dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为（）A.130dBB.140dBC.150dBD.160dB7.若+=43tan5，则+=+12sin23cos12sin23cos22（）A.3B.34C.2D.48.一个几何体三视图如右图所示，则该几何体体积为（）A.12 B.8 C.6 D.4 9.在区间3,3上随机取一个数，则关于的方程2=3至少有一个正根的概率为()A.18 B.16 C.13 D.12 10.已知是椭圆E：()222210 xyabab+=的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于，Q两点，若3PFQF=，且120PFQ
6、=，则椭圆E的离心率为（）A.74 B.12 C.34 D.32 11.如图，曲线为函数=sin(0 52)的图象，甲粒子沿曲线从点向目的地点运动，乙粒子沿曲线从点向目的地点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为(,)，乙粒子的坐标为(,)，若记 =()，则下列说法中正确的是()A.()在区间(2,)上是增函数 B.()恰有2个零点 C.()的最小值为2 D.()的图象关于点(56,0)中心对称 12.已知函数()f x，()g x，()gx的定义域均为R，()gx为()g x的导函数.若()g x
7、为偶函数，且()()1f xgx+=，()()41f xgx=.则以下四个命题：()20220g=；()g x关于直线2x=对称；()202212022=kf k；()202312023=kf k中一定成立的是（）A.B.C.D.第卷(非选择题)二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知直线12:lyx=，则过圆222410 xyxy+=的圆心且与直线1l垂直的直线2l的方程为_.14.若,x y满足约束条件34xy，则2zxy=的取值范围为_ 15.将函数()4cos2f xx=和直线()1g xx=的所有交点从左到右依次记为1
8、A，2A，nA，若()0,3P，则12.nPAPAPA+=_.16.在棱长为4的正方体 1111中，分别为11，11的中点，为正方体棱上一动点下列说法中所有正确的序号是 在上运动时，存在某个位置，使得与1所成角为60；在上运动时，与1所成角的最大正弦值为53；在1上运动且=131时，过，三点的平面截正方体所得多边形的周长为85+22；在1上运动时(不与1重合)，若点，1在同一球面上，则该球表面积最大值为24 三、解答题：共三、解答题：共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试
9、题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分.17.已知数列的前项和为，=32212(1)求数列的通项公式；(2)数列=lg，表示不超过的最大整数，求的前1000项和1000 18.在多面体 ABCDE中，平面 ACDE平面 ABC，四边形 ACDE 为直角梯形，/CDAE，ACAE，ABBC，CD=1，AE=AC=2，F 为 DE的中点，且点G满足4EBEG=（1）证明：GF/平面 ABC；（2）当多面体 ABCDE 的体积最大值 19.某加工工厂加工产品 A，现根据市场调研收集到需加工量 X（单位
10、：千件）与加工单价 Y（单位：元/件）的四组数据如下表所示：X 6 8 10 12 Y 12 m 6 4 根据表中数据，得到 Y 关于 X 的线性回归方程为20.6YbX=+，其中11.4mb=（1）若某公司产品 A 需加工量为 1.1 万件，估计该公司需要给该加工工厂多少加工费；（2）通过计算线性相关系数，判断 Y 与 X 是否高度线性相关 参考公式：()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy=，0.9r 时，两个相关变量之间高度线性相关 20.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，
11、按如下步骤折纸（如图）步骤 1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为；步骤 2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；步骤 3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤 4：不停重复步骤 2和 3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为 6 的圆形纸片，设定点到圆心E的距离为 4，按上述方法折纸.（1）以点、E所在的直线为轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q且不与y轴垂直的直线l与椭圆交于M，N两点，在轴的正半轴上是否存在定点(),0T t，使得直线TM，TN斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.21.设函数
12、()()22f xalnxxax=+，其中.aR()若曲线()yf x=在点()()22f，处切线的倾斜角为4，求a的值;()已知导函数()fx在区间()1 e，上存在零点，证明:当()1xe，时，()2f xe.（二）选考题：共 （二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程）22.在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为22cos2sinxy=+=（为参数，0），2C的参数方程为212252xtyt=+（t为参数）.（1）求1
13、C的普通方程并指出它的轨迹；（2）以 O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线OM：4=与曲线1C的交点为 O，P，与2C的交点为 Q，求线段PQ的长.选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23.已知函数()121f xxx=+的最大值为k.（1）求k的值；（2）若,Ra b c，2222acbk+=，求()b ac+的最大值.南昌十中20222023学年下学期高三一模模拟数学试题（文科）南昌十中20222023学年下学期高三一模模拟数学试题（文科）考场/座位号：考场/座位号：姓名：姓名：班级：班级：正确填涂缺考标记正确填涂缺考标记准考证号0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
14、 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 90 1 2 3 4 5 6 7 8 9单选题单选题1A B C D2A B C D3A B C D4A B C D5A B C D6A B C D7A B C D8A B C D9A B C D10A B C D11A B C D12A B C D填空题填空题13.14.15.16.解答题解答题17.18.19.20.21.22.23.选考题选考题请考生从以下两题中任选一
15、题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分。我选做的题号是2223南昌十中南昌十中 2023 届高三一模模拟数学答案（文科）届高三一模模拟数学答案（文科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合(,)1Mx yy，集合(,)0Nx yx，则MN（）A.0,1B.(0,1)C.(1,0)D.(0,1),(1,0)【答案】B【详解】根据集合M
16、表示纵坐标为 1 的点集，集合N表示横坐标为 0 的点集，所以两者交集为(0,1)，故选：B.2.若复数32i 12iiz，则z（）A.6B.5C.4D.3【答案】B【详解】因为复数32i 12ii43iz ，所以1695z 故选：B3.总体由编号为 01，02，49，50 的 50 个个体组成，利用下面的随机数表选取 6 个个体，选取方法是从随机数表第 6 行的第 9 列和第 10 列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第 4 个个体的编号为()附：第 6 行至第 9 行的随机数表27486198716441487086288885191620747701111630240429797
17、991968351253211491973064916767787339974673226357900337091601620388277574950A.3B.19C.38D.20【答案】B【详解】解：从随机数表第 6 行的第 9 列和第 10 列数字开始从左到右依次选取两个数字，位于 01 至 50 中间，含端点，则这四个数为：41、48、28，19，故选：B4.如图是下列四个函数中的某个函数在区间?t?上的大致图象，则该函数是()A.?tB.?tC.?cos?tD.?sin?t【答案】A 解：对于?，?t，当?t 时，?h，与图象不符合，故 B 错误；对于?，?cos?t，当?h 时，?，
18、与图象不符合，故 C 错误；对于?，?sin?t，当?时，?sin?t?sin?th?h，与图象不符合，故 D 错误故选 A5.抛物线2:12C yx 的焦点为F，P为抛物线C上一动点，定点(5,2)A，则PAPF的最小值为（）A.8B.6C.5D.9【答案】A【详解】如图，设抛物线C的准线为l，过P作PCl于C，过A作ABl于B，因为|PFPC，所以当A，P，C三点共线时，|PAPF取得最小值，故|PAPF的最小值为|5|82p故选:A.6.2022 年 6 月 5 日上午 10 时 44 分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号 F 运载火箭，将神舟十四号载人飞船和3 名中国航天员送入太空这
19、标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级 d x（单位：dB）与声强x（单位：2W/m）满足 1210lg10 xd x.若人交谈时的声强级约为50dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为910，则火箭发射时的声强级约为（）A.130dBB.140dBC.150dBD.160dB【答案】B【详解】设人交谈时的声强为1x，则火箭发射时的声强为9110 x，则1125010lg10 x，解得：7110 x，则火箭发射时的声强为972101010，将其代入 1210lg10 xd x中，得：2212101010lg1401
20、0ddB，故火箭发射时的声强级约为140dB.故选：B7.若5tan43，则2212sin23cos12sin23cos（）A.3B.43C.2D.4【答案】A【详解】解：因为5tantan1443tantan45441tantan1443，所以22222212sin23cossin4sincos4cossin2costan2312sin23cossin4sincos4cossin2costan2故选：A.8.一个几何体三视图如下图所示，则该几何体体积为（）A.12B.8C.6D.4【答案】D【详解】由三视图可知该几何体为三棱锥，如图，故其体积112 3 4432V ，故选：D9.在区间?t?
21、上随机取一个数?，则关于?的方程?至少有一个正根的概率为()A.t8B.t6C.t?D.t?【答案】D【解析】解：若方程?h 至少有一个正根，因为?t?h，所以?h 且判别式 4?4?h，得?h，?，对应概率?t?10.已知F是椭圆E：222210 xyabab的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若3PFQF，且120PFQ，则椭圆E的离心率为（）A.74B.12C.34D.32【答案】A【详解】解：设椭圆的右焦点F，连接PF，QF，根据椭圆对称性可知四边形PFF Q为平行四边形，则QFPF，且由120PFQ，可得60FPF，所以42PFPFPFa，则12PFa，32PFa由余
22、弦定理可得222222cos603cPFPFPF PFPFPFPF PF，即2222974444caaa，椭圆的离心率2277164cea，故选：A11.如图，曲线?为函数?sin?h?的图象，甲粒子沿曲线?从?点向目的地?点运动，乙粒子沿曲线?从?点向目的地?点运动?两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的?倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动?在运动过程中，设甲粒子的坐标为?t?，乙粒子的坐标为?t?，若记?动?，则下列说法中正确的是()A.动?在区间?t?上是增函数B.动?恰有?个零点C.动?的最小值为?D.动?的图象关于点?6th?中心对称【答案】B【解答】解：由题意
23、得：sint sin sin?cos?，所以 动?sin?cos?sin?sin?t，由h?h?得 h?4，令?sin，则?t，因为?sin 在?t?上递减，?t 在 htt 上递增，所以 动?在区间?t?上是减函数，故 A 错误；令 动?sin?sin?t h，得 sin t?或 sin?t，解得?6或?6，故 B 正确；因为?t?t4?8t?tt?，所以 动?的最小值为?8，故 C 错误；因为?t?t4?8t?tt?，关于?t4对称，是轴对称图形，所以 动?不可能关于点?6th?中心对称，故 D 错误；故选：?12.已知函数 f x，g x，gx的定义域均为R，gx为 g x的导函数.若
24、g x为偶函数，且 1f xgx，41f xgx.则以下四个命题：20220g；g x关于直线2x 对称；202212022kf k；202312023kf k中一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】对：由 141f xgxf xgx，可得 4gxgx，则 124g xCgxC（1C与2C为常数），令2x，则 1222gCgC，所以12CC，则 4g xgx，故 g x关于直线2x 对称，正确；对：g x为偶函数，则 g xgx，gxgx，则 gx为奇函数，故 44gxgxgx，即 4gxgx，则 gx是以 4 为周期的周期函数，由 4gxgx，令2x，则 22gg ，可得
25、 20g，故 202220gg，正确；由 4gxgx，令1x，则 13gg ，即 130gg，令0 x，则 040gg，即 40g，故 24103gggg，则414243440gkgkgkgkkN，对：由 1f xgx，即 1f xgx ，则 2022202220221111202220221220221kkkf kgkgkggg，由于无法得出 1 g的值，错误；对：2023202320231111202320231232023kkkf kgkgkggg，正确；故选：D.二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知直线12:lyx
26、，则过圆222410 xyxy 的圆心且与直线1l垂直的直线2l的方程为_.【答案】230 xy【详解】圆222410 xyxy,化为标准方程可得22124xy则圆心坐标为()1,2-因为12:lyx,直线1l与直线2l垂直由两条直线垂直的斜率关系可得直线2l的斜率为12k 由点斜式方程可得1122yx,化简即230 xy故答案为:230 xy14.杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦“三吏”是指新安吏 石壕吏 潼关吏，“三别”是指新婚别 无家别 垂老别 语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语
27、文老师选的三篇中含新安吏和无家别的概率是_【答案】29【详解】将新安吏 石壕吏 潼关吏分别记为 a、b、c，新婚别 无家别 垂老别分别记为 d、e、f，从“三吏”中选两篇，从“三别”中选一篇的样本空间为,abd abe abf acd ace acf bcd bce bcf，共 9个样本点，记事件 A 为“语文老师选的三篇中含新安吏和无家别”，则,Aabe ace，共 2 个样本点，故2()9P A，故答案为：2915.将函数 4cos2f xx和直线 1g xx的所有交点从左到右依次记为1A，2A，nA，若0,3P，则12.nPAPAPAuuu ruuu ruuu r_.【答案】10【详解】
28、如图可知：函数 4cos2f xx和直线 1g xx共有 5 个交点，依次为12345,A A A A A，其中31,0A，函数 4cos2f xx和直线 1g xx均关于点31,0A对称，则12345,A A A A A关于点31,0A对称，632,1,2,3iiPAiPAPAuuu ruuuuruuu r，且31,3PA uuu r，故22533125.2255 1310PAPAPAPAPA uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r.故答案为：10.16.在棱长为 4 的正方体?t?t?t?t中，?，?分别为?t?t，?t?t的中点，?为正方体棱上一动点下列说法中所有正确的序号是
29、?在?上运动时，存在某个位置，使得?与?t?所成角为 6h?；?在?上运动时，?与?t所成角的最大正弦值为?；?在?t上运动且?t?t时，过?，?，?三点的平面截正方体所得多边形的周长为 8?；?在?t上运动时?不与?t重合?，若点?，?，?，?t在同一球面上，则该球表面积最大值为?4?【答案】?解：对于?，连接?t，?t，?平面?t?t，?t?平面?t?t，?t?；四边形?t?t为正方形，?t?t；又?t?，?t，?平面?t?t，?t?平面?t?t，又?平面?t?t，?t?，即?与?t?所成角恒为?h?，?错误；对于?，取?中点?，连接?，?，?，?分别为?t?t，?中点，?t，又?t?平面
30、?，?平面?，?与?t所成角即为?，sin?，当 sin?最大时，cos?最小，又 cos?4?，?当?最大时，cos?最小，当?与?或?重合时，?取得最大值 4?4?6，?sin?的最大值为4?6?，?正确；对于?，延长?，?t?t交于点?，连接?交?t于?；延长?，?t?t交于点?，连接?交?t于?；则过?，?，?三点的平面截正方体所得多边形即为五边形?；取?t?t中点?，连接?，?t?，?t?t?t?，?t?tt?，即?t?t?t?，同理可得：?t?t?t?，?t?t?t；?4?，?t?，?，?五边形?的周长为 6?，?错误；对于?，若点?，?，?，?t在同一球面上，则该球即为三棱锥?t
31、?的外接球，?t?的外接圆半径?t?，?三棱锥?t?外接球半径?t?t?，又?t?的最大值为?t 4，?4 6，?该球表面积最大值为 4?t 6?4?，?正确故答案为：?三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要题为选考题，考生根据要求作答求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分.17.已知数列?的前 项和为?，?t?t?求数列?的通项公式；?数列?lg?，?表示不超过?的最大整数
32、，求?的前 thhh 项和?thhh【答案】解：?t?当 t 时，?t?t t，当?时，?t?t?t?t?t?，将 t 代入上式得?t t，满足?，所以?；?因为?4 th，?4 thh，?4 thhh，?4 thhhh，所以?htt?tt4?t?4?t?4 thhht所以?thhh h t?t t?h?t?hh?t 66?6?t18.在多面体 ABCDE 中，平面 ACDE平面 ABC，四边形 ACDE 为直角梯形，/CDAE，ACAE，ABBC，CD=1，AE=AC=2，F 为 DE 的中点，且点G满足4EBEG （1）证明：GF/平面 ABC；（2）求多面体 ABCDE 的体积最大值【答
33、案】（1）证明见解析（2）1【小问 1 详解】取 AB，EB 中点 M，N，连接 CM，MN，ND，在梯形 ACDE 中，/CDAE且 DC=12EA，而 M，N 分别为 BA，BE 中点，MN/EA，MN=12EA，MN/CD，MN=CD，即四边形 CDNM 是平行四边形，CM/DN，又14EGEB，N 为 EB 中点，G 为 EN 中点，又 F 为 ED 中点，GF/DN，故 GF/CM，又 CM平面 ABC，GF平面 ABC，/GF平面 ABC.5 分【小问 2 详解】略12 分19.某加工工厂加工产品 A，现根据市场调研收集到需加工量 X（单位：千件）与加工单价 Y（单位：元/件）的四
34、组数据如下表所示：X681012Y12m64根据表中数据，得到 Y 关于 X 的线性回归方程为20.6YbX，其中11.4mb（1）若某公司产品 A 需加工量为 1.1 万件，估计该公司需要给该加工工厂多少加工费；（2）通过计算线性相关系数，判断 Y 与 X 是否高度线性相关参考公式：12211niiinniiiixxyyrxxyy，0.9r 时，两个相关变量之间高度线性相关【答案】（1）该公司需要给该加工工厂 57200 元加工费.（2）Y 与 X 高度线性相关.【小问 1 详解】1(68 10 12)94X ，122(1264)44mYm，则22920.64mb，又11.4mb1.4b ，
35、10m，1.420.6YX，1.1 万=11 千，当11X 时，1.4 11 20.65.2Y （元），5.2 1100057200（元），答：估计该公司需要给该加工工厂 57200 元加工费.5 分【小问 2 详解】由（1）知，9X，10m，2222 10844mY，41()()(69)(128)(89)(108)(109)(68)(129)(48)iiiXX YY3 4(1)2 1(2)3(4)28 44222222222211()()(3)(1)13 42(2)(4)20 40800iiiiXXYY 442211()()80020 2iiiiXXYY41442211()()287 20.
36、98981020 2()()iiiiiiiXX YYrXXYY 0.98980.9r，两个相关变量之间高度线性相关.12 分20.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤 1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；步骤 2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；步骤 3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤 4：不停重复步骤 2 和 3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为 6 的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为 4，按上述方法折纸.（1）以点F、E
37、所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点1,0Q且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在定点,0T t，使得直线TM，TN斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22195xy（2）存在点3,0T，使得直线TM与TN斜率之积为定值109.【解析】【小问 1 详解】如图，以FE所在的直线为x轴，FE的中点O为原点建立平面直角坐标系设,M x y为椭圆上一点，由题意可知，64MFMEAEEF，所以M点轨迹是以F，E为焦点，长轴长26a 的椭圆，因为24c，26a，所以2c，3a，则2225bac
38、=-=，所以椭圆的标准方程为22195xy；5 分【小问 2 详解】由已知：直线l过1,0Q，设l的方程为1xmy，由题意 m 必定是存在的，联立两个方程得221951xyxmy，消去x得225910400mymy，22100160 590mm得mR，设11,M x y，22,N xy，则1221059myym，1224059y ym（*），1212121211TMTNyyy ykkxt xtmytmyt 1222121211y ym y ymtyyt，将（*）代入上式，可得上式22240599 1tmt，要使TMTNkk为定值，则有290t，29t，又0t，3t，此时109TMTNkk，存在
39、点3,0T，使得直线TM与TN斜率之积为定值109；综上，椭圆的标准方程为22195xy，存在点3,0T，使得直线TM与TN斜率之积为定值109.12 分21.设函数 22f xalnxxax，其中.aR()若曲线 yf x在点 22f，处切线的倾斜角为4，求a的值;()已知导函数 fx在区间1 e，上存在零点，证明:当1xe，时，2f xe.【答案】()2a；()证明见解析【详解】()2ln2f xaxxax，故 22afxxax，42tan1242afa，故2a.5 分()12220 xxaafxxaxx，即22,axe，存在唯一零点，设零点为0 x，故000220afxxax，即02ax
40、，f x在01,x上单调递减，在0,x e上单调递增，故 0220000i0000m nln22ln22axxaxxxf xf xxxx200002ln2xxxx，设 22 ln2g xxxxx，则 2ln2gxxx，设 2ln2h xgxxx，则 220hxx，h x单调递减，1 12hg，故 2ln20gxxx恒成立，故 g x单调递减.2ming xg ee，故当1xe，时，2f xe.12 分（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐
41、标系与参数方程：坐标系与参数方程）22.在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为22cos2sinxy（为参数，0），2C的参数方程为212252xtyt（t 为参数）.（1）求1C的普通方程并指出它的轨迹；（2）以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线OM：4与曲线1C的交点为 O，P，与2C的交点为 Q，求线段PQ的长.【答案】（1）答案见详解；（2）2.【小问 1 详解】由已知22cos2sinxy可得，22cos2sinxy，则222222cos2sin4xy，又0，所以0sin1，则02y.所以1C的普通方程为2224xy()02y，轨迹为以2,0为圆心，2 为半径
42、的圆的上半圆以及其与x轴的两个交点0,0，4,0.5 分【小问 2 详解】由曲线221:24Cxy()02y化为极坐标方程：14cos，0,2.把4代入可得14cos2 24，所以2 2OP.2C的参数方程为212252xtyt（t 为参数），消去参数t可得6xy，可得极坐标方程为22cossin6，把4代入方程可得222cossin2644，所以23 2，所以3 2OQ.又,O P Q三点共线，且有3 22 22PQOQOP.10 分选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲23.已知函数 121f xxx的最大值为k.（1）求k的值；（2）若,Ra b c，2222acbk，求b ac的最大值.【答案】（1）2k（2）2【小问 1 详解】由于3,1()31,113,1xxf xxxxx ，当1x时，max()(1)1 34f xf ，当11x 时，()(1)3 12f xf，当1x 时，max()(1)1 32,f xf 所以max()(1)2,kf xf5 分【小问 2 详解】22222acb，即 2222422abcbabbc，1abc 时等号成立，故2b ac，b ac有最大值为2.10 分