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1、全等三角形的性质全等三角形的性质:全等三角形的判定全等三角形的判定知识回顾知识回顾一般三角形全等的判定：一般三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS直角三角形全等的判定：直角三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS、HL全等图形全等图形:能完全重合的图形叫全等图形能完全重合的图形叫全等图形全等三角形全等三角形:能完全重合的三角形是全等三角形能完全重合的三角形是全等三角形.一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？（1）全等三角形的对应边、对应角相等全等三角形的对应边、对应角相等.（2）全等三角形的周长相等、面积相等全等三角形的周长相等、
2、面积相等.（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。回顾知识点：回顾知识点：边边边：边边边：三边对应相等的两个三角形全等（三边对应相等的两个三角形全等（可简写成可简写成“SSSSSS”)边角边边角边:两边两边和和它们的夹角它们的夹角对应对应相等两个三角形全等（相等两个三角形全等（可可简写成简写成“SAS”)角边角角边角:两角和它们的夹边两角和它们的夹边对应对应相等的两个三角形全等相等的两个三角形全等（可简写成可简写成“
3、ASA”)角角边角角边:两角和其中一角的对边两角和其中一角的对边对应对应相等的两个三角形全相等的两个三角形全等（等（可简写成可简写成“AAS”)斜边斜边.直角边：直角边：斜边和一条直角边斜边和一条直角边对应对应相等的两个直角三相等的两个直角三角形全等（可简写成角形全等（可简写成“HLHL”)三边对应相等的两个三角形全等（可以简写三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为为“边边边边边边”或或“SSS”）。）。ABCDEF在在ABC和和 DEF中中 ABC DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：三角形全等判定方法三角形
4、全等判定方法1 、全等三角形的判定方法、全等三角形的判定方法 三角形全等判定方法三角形全等判定方法2用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：在在ABC与与DEF中中ABCDEF（SAS）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。等。(可以简写成可以简写成“边角边边角边”或或“SASSAS”)FEDCBAAC=DFC=FBC=EFA=DAB=DEB=E在在ABC和和DEF中中 ABCDEF（ASA）有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全有两角和它们夹边
5、对应相等的两个三角形全等等等等(可以简写成可以简写成可以简写成可以简写成“角边角角边角角边角角边角”或或或或“ASAASA”）。）。）。）。用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：FEDCBA 三角形全等判定方法三角形全等判定方法3 三角形全等判定方法三角形全等判定方法4 有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等角形全等角形全等角形全等(可以简写成可以简写成可以简写成可以简写成“角角边角角边角角边角角边”或或或或“AASAAS”）。）。
6、）。）。在在ABC和和DEF中中A=DB=E BC=EF ABCDEF（AAS）三角形全等判定方法三角形全等判定方法5 有一条有一条有一条有一条斜边斜边斜边斜边和一条和一条和一条和一条直角边直角边直角边直角边对应相等的两个对应相等的两个对应相等的两个对应相等的两个直角直角直角直角三角形三角形三角形三角形全等全等全等全等(HLHL）。）。）。）。在在RtABC和和RtDEF中中AB=DE（已知（已知）AC=DF（已知（已知）ABCDEF（HL）ABCDEF方法指引方法指引证明两个三角形全等的基本思路：证明两个三角形全等的基本思路：（1）：已知两边）：已知两边-找第三边找第三边(SSS)找夹角找夹
7、角（SAS)(2):已知一边一角已知一边一角-已知一边和它的邻角已知一边和它的邻角找是否有直角找是否有直角(HL)已知一边和它的对角已知一边和它的对角找这边的另一个邻角找这边的另一个邻角(ASA)找这个角的另一个边找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角找这边的对角(AAS)找一角找一角(AAS)已知角是直角，找一边已知角是直角，找一边(HL)(3):已知两角已知两角-找两角的夹边找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边找夹边外的任意边(AAS)注意：、注意：、“分别对应相等分别对应相等”是关键；是关键；、已知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。、已知两边及其中一边的对角分别
8、对应相等的两个三角形不一定全等。3、经过平移、翻折、旋转等变换得到的三角形和原三角形全等。、经过平移、翻折、旋转等变换得到的三角形和原三角形全等。4、三角形全等是证明线段相等，角相等的重要途径。、三角形全等是证明线段相等，角相等的重要途径。全等三角形，是证明两条全等三角形，是证明两条线段线段或两个或两个角角相等的重相等的重要方法之一，证明时要方法之一，证明时 要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。角形中。分析分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。什么条件。有有公共边公共边的，的，公共边公共
9、边一般是对应边，一般是对应边，有有公共角公共角的，的，公共角公共角一般是对应角，有一般是对应角，有对顶角对顶角，对顶角对顶角一般是对应一般是对应角角注意：有些题可能要证明多次全等或者进行一些必要的注意：有些题可能要证明多次全等或者进行一些必要的 等价转化等价转化 归纳：归纳：全等三角形的进一步应用全等三角形的进一步应用总结提高总结提高学习全等三角形应注意以下几个问题：学习全等三角形应注意以下几个问题：（1):1):要正确区分要正确区分“对应边对应边”与与“对边对边”，“对应对应角角”与与 “对角对角”的不同含义；的不同含义；（2 2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字）：表示两个三角形全
10、等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；母要写在对应的位置上；（3 3）：要记住）：要记住“有三个角对应相等有三个角对应相等”或或“有两边及有两边及其中一边的对角对应相等其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；的两个三角形不一定全等；（4 4）：时刻注意图形中的隐含条件，如）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角公共角”、“公共边公共边”、“对顶角对顶角”找全等三角形对应边和对应角的方法：找全等三角形对应边和对应角的方法：1、从长短大小、从长短大小两个全等三角形的一对最长边（最大角）是两个全等三角形的一对最长边（最大角）是对应边（角）；一对最短边（最小角）是对对应边（角）；一对最
11、短边（最小角）是对应边（角）应边（角）2、从对应边与对应角的关系、从对应边与对应角的关系对应角所对的边为对应边；对应边所对的角对应角所对的边为对应边；对应边所对的角为对应角；两个对应角所夹的边为对应边；为对应角；两个对应角所夹的边为对应边；两条对应边所夹的角为对应角。两条对应边所夹的角为对应角。3、从位置、从位置公共边为对应边；公共角为对应角；对顶角公共边为对应边；公共角为对应角；对顶角为对应角为对应角全等三角形全等三角形识别思路识别思路 如图，已知如图，已知ABC和和DCB中，中，AB=DC，请补充一，请补充一个条件个条件_，使，使ABC DCB。思路思路1：找夹角找夹角找第三边找第三边找直
12、角找直角 已知两边：已知两边：AB=DC，BC=CB ABC=DCB（SAS）AC=DB（SSS）A=D=90（HL）ABCD如图，已知如图，已知C=D，添加一个条件，添加一个条件_，可得可得ABC ABD，思路思路2：再找一角再找一角 已知一边一角（边角相对）已知一边一角（边角相对）C=D，AB=AB（AAS）CAB=DAB 或或CBA=DBAACBD如图，已知如图，已知1=2，添加一个条件，添加一个条件_，可得可得ABC CDA，思路思路3：已知一边一角（边与角相邻）：已知一边一角（边与角相邻）：1=2，AC=CAABCD21找夹此角的另一边找夹此角的另一边找夹此边的另一角找夹此边的另一角
13、找此边的对角找此边的对角AD=CB ACD=CAB D=B（SAS）（ASA）（AAS）如图，已知如图，已知B=E，要识别，要识别ABC AED，需要，需要添加的一个条件是添加的一个条件是_思路思路4：已知两角：已知两角：B=E，A=A找夹边找夹边找一角的对边找一角的对边ABCDEAB=AEAC=AD或或 DE=BC(ASA)(AAS)三个角对应相等的两个三角形全等吗？三个角对应相等的两个三角形全等吗？三个角对应相等的两个三角形三个角对应相等的两个三角形不一定不一定全等全等三个角对应相等的两个三角形全等吗？三个角对应相等的两个三角形全等吗？两边和其中一边的对角对应相等的两边和其中一边的对角对应
14、相等的两个三角形全等吗？两个三角形全等吗？两边和其中一边的对角对应相等的两两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形个三角形不一定不一定全等全等两边和其中一边的对角对应相等的两两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？个三角形全等吗？=一、挖掘一、挖掘“隐含条件隐含条件”判全等判全等1.1.如图（如图（1 1），），AB=CDAB=CD，AC=BDAC=BD，则，则ABCDCBABCDCB吗吗?说说理由说说理由ADBC图（图（1）2.2.如图（如图（2 2），点），点D D在在ABAB上，点上，点E E在在ACAC上，上，CDCD与与BEBE相交于点相交于点O O，且，且AD=AE,AB=
15、AC.AD=AE,AB=AC.若若B=20B=20,CD=5cm,CD=5cm，则，则C=C=,BE=BE=.说说理由说说理由.BCODEA图（图（2）3.3.如图（如图（3 3），若），若OB=ODOB=OD，A=CA=C，若，若AB=3cmAB=3cm，则，则CD=CD=.说说理由说说理由.ADBCO图图（3）205cm3cm公共边，公共角，对顶角公共边，公共角，对顶角二、转化二、转化“间接条件间接条件”判全等判全等4.如图，如图，AE=CF，AFD=CEB，DF=BE，AFD与与 CEB全等吗？为什么？全等吗？为什么？ADBCFE6.如图（如图（6）是某同学自己做的风筝，他根据）是某同学
16、自己做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道，不用度量，就知道ABC=ADC。请用所学的知识给予说明。请用所学的知识给予说明。5.如图（如图（5）CAE=BAD，B=D，AC=AE，ABC与与ADE全等吗？全等吗？为什么？为什么？ACEBD4.如图（如图（4）AE=CF，AFD=CEB，DF=BE，AFD与与 CEB全等吗？为什么？全等吗？为什么？解：解：AE=CFADBCFEAEFE=CFEF即即AF=CE又又 AFD=CEB，DF=BE 根据根据“SAS”，可以得到，可以得到AFDCEB5.如图（如图（5）CAE=BAD，B=D，AC=AE，ABC与与ADE全等吗？为什么？
17、全等吗？为什么？ACEBD解：解：CAE=BADCAE+BAE=BAD+BAE即即BAC=DAE又又B=D AC=AE ABC ADE根据根据“AAS”,就可以得到就可以得到6.如图（如图（6）是某同学自己做的风筝，他根）是某同学自己做的风筝，他根据据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道，不用度量，就知道ABC=ADC。请用所学的知识给予说。请用所学的知识给予说明。明。解解:连接连接AC AB=AD,BC=DC又又AC=ACADCABC在根据全等三角形的在根据全等三角形的对应角相等对应角相等,得到得到:ABC=ADC根据根据“SSS”就可以得到就可以得到三角形中常见辅助线的作法三角形中常见
18、辅助线的作法1.延长中线构造全等三角形延长中线构造全等三角形例例1 如图如图1，已知，已知ABC中，中，AD是是ABC的中线，的中线，AB=8，AC=6，求，求AD的取值范围的取值范围提示：延长提示：延长AD至至A，使，使ADAD，连接，连接BA根根据据“SAS”易证易证ABDACD，得，得ACAB这样将这样将AC转移到转移到ABA中，根据三角形三边中，根据三角形三边关系定理可解关系定理可解2、引平行线构造全等三角形、引平行线构造全等三角形例例2 如图如图2，已知，已知ABC中，中，ABAC，D在在AB上，上，E是是AC延长线上一点，延长线上一点，且且BDCE，DE与与BC交于点交于点F.求证
19、：求证：DF=EF提示：此题辅助线作法提示：此题辅助线作法较多，如：较多，如：作作DG AE交交BC于点于点G；作作EH BA交交BC的延长线的延长线于点于点H；再通过证三角；再通过证三角形全等得形全等得DFEF3、作连线构造等腰三角形、作连线构造等腰三角形例例3 如图如图3，已知，已知Rt ACB中，中，ACB=90，AC=BC，AD=AC，DE AB，垂足为，垂足为D，交，交BC于点于点E求证：求证：BD=DE=CE提示：连接提示：连接DC，证证ECD是等腰三是等腰三角形角形4、利用翻折，构造全等三角形、利用翻折，构造全等三角形例例4 如图如图4，已知，已知ABC中，中，B2 C，AD平分
20、平分BAC交交BC于点于点D求证：求证：ACABBD提示：将提示：将ADB沿沿AD翻折，使翻折，使B点落在点落在AC上点上点B处，再证处，再证BD=BDBC，易得易得ADBADB，BDC是等腰三角是等腰三角形，于是结论可证形，于是结论可证例例5.如图如图,已知已知AC BD，EA、EB分别平分分别平分 CAB和和 DBA，CD过点过点E，则，则AB与与AC+BD相等吗？请说明理由。相等吗？请说明理由。ACEBD要证明要证明两条线段的和与一条线段两条线段的和与一条线段相等相等时常用的两种方法：时常用的两种方法：1、可在、可在长线段上截取长线段上截取与与两条线段两条线段中一条相等的一段中一条相等的一段，然后证明剩，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。余的线段与另一条线段相等。（截）（截）2、把一个三角形、把一个三角形移到移到另一位置，另一位置，使使两线段补成一条线段两线段补成一条线段，再证明，再证明它与它与长线段相等长线段相等。（补）。（补）5、截长补短法、截长补短法拓展：如图，在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个关系式：ADBC，DE=EC1=2，3=4，AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。请用序号写出两个正确的命题：（书写形式：如果那么）（1）；（2）；