第7章-连续概率分布总结.ppt

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1、统统 计计 学学statistics李欣先李欣先 Email:3/10/20231商学院商学院 第第7章章 连续连续概率分布（continuous Probability Distributions）第1节 均匀分布（uniform distribution）第2节 正态分布（the normal probability distribution）第3节 指数分布（exponential distribution）3/10/20232商学院商学院随机变量的分布函数随机变量的分布函数3/10/20233商学院商学院例：设随机变量例：设随机变量X的分布律为的分布律为X-123pk1/41/21/4

2、求X的分布函数，并求p(x1/2),p(3/2x5/2),p(2 x3)。3/10/20234商学院商学院例：一个靶子是半径为例：一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以以X表示弹着点与圆心的距离，试求随表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量机变量X的分布函数。的分布函数。3/10/20235商学院商学院 连续型随机变量及其连续型随机变量及其概率密度概率密度（probability density function）定义：定义：对于随机变量对于随机变

3、量X X的分布函数的分布函数 若存在若存在 非负的函数非负的函数 使对于任意实数使对于任意实数 有：有：其中 称为X的概率密度函数，简称概率密度概率密度。则称X为连续型随机变量，3/10/20236商学院商学院 与物理学中的质量线密度的定义相类似与物理学中的质量线密度的定义相类似3/10/20237商学院商学院 例：设例：设X X的概率密度为的概率密度为 (1)求常数求常数c的值；的值；(2)写出写出X的概率分布函数；的概率分布函数；(3)要使要使 求求k的值。的值。解：解：3/10/20238商学院商学院连续型随机变量的期望和方差连续型随机变量的期望和方差连续型随机变量的数学期望连续型随机变

4、量的数学期望方差方差3/10/20239商学院商学院 例例:设随机变量X的概率密度函数为试求X的数学期望解解3/10/202310商学院商学院 例例:设随机变量X概率密度为p(x),求D(X)。解解于是,D(X)=E(X2)-E(X)2=1/63/10/202311商学院商学院均匀分布均匀分布(uniform distribution)若随机变量若随机变量X的概率密度函的概率密度函数为数为 称称X在在 a,b上上服从均服从均匀分布，记为匀分布，记为XUa,b数学数学期望和方差期望和方差3/10/202312商学院商学院均匀分布均匀分布(概率计算概率计算)随机随机变量变量X在某取值范围在某取值范

5、围a,b的任一子区间的任一子区间c,d上上取取值的概率为值的概率为 同样有：同样有：3/10/202313商学院商学院均匀分布均匀分布(例题分析例题分析)【例例例例】某某公公共共汽汽车车站站从从早早上上6 6时时起起每每隔隔1515分分钟钟开开出出一一趟趟班班车车，假假定定某某乘乘客客在在6 6点点以以后后到到达达车车站站的的时时刻刻是是随随机机的的，所所以以有有理理由由认认为为他他等等候候乘乘车车的的时时间间长长度度X X服服从从参参数数为为a a=0=0，b b=15=15的的均均匀匀分分布布。试试求求该该乘乘客客等等候候乘乘车车的的时时间间长长度度少少于于5 5分钟的概率分钟的概率 解：

6、解：解：解：概率密度函数为概率密度函数为落入区间落入区间00，1515的任一子区间的任一子区间00，d d 的概率是的概率是 ，等候乘车的时间长度少于等候乘车的时间长度少于5 5分钟即有分钟即有d d=5=5，因此该事件发生，因此该事件发生的概率等于的概率等于5/15=1/35/15=1/33/10/202314商学院商学院例：在区间例：在区间(-1,2)(-1,2)上随机取一数上随机取一数X X，试写出试写出X X的概率的概率密度。并求密度。并求 的值；的值；若在该区间上随机取若在该区间上随机取1010个数，求个数，求1010个数中恰有个数中恰有两个数大于两个数大于0 0的概率。的概率。解：

7、X在区间(-1,2)上均匀分布 设10个数中有Y个数大于0，则：3/10/202315商学院商学院Two major differences stand out between the treatment of continuous random variables and the treatment of their discrete counterparts.1.We no longer talk about the probability of the random variable assuming a particular value.Instead,we talk about th

8、e probability of the random variable assuming a value within some given interval.3/10/202316商学院商学院2.The probability of a continuous random variable assuming a value within some given interval from x1 to x2 is defined to be the area under the graph of the probability density function between x1 and x

9、2.Because a single point is an interval of zero width,this implies that the probability of a continuous random variable assuming any particular value exactly is zero.It also means that the probability of a continuous random variable assuming a value in any interval is the same whether or not the end

10、points are included.3/10/202317商学院商学院正态分布正态分布设A到B的真实距离为U，X为测量值，则服从什么分布3/10/202318商学院商学院正态分布正态分布(normal distribution)由由C.F.高斯高斯(Carl Friedrich Gauss，17771855)作作为描述误差相对频数分布的模型而提出为描述误差相对频数分布的模型而提出描述连续型随机变量的最重要的分布描述连续型随机变量的最重要的分布许多现象都可以由正态分布来描述许多现象都可以由正态分布来描述 可用于近似离散型随机变量的分布可用于近似离散型随机变量的分布例如：例如：二项分布二项分布

11、经典统计推断的基础经典统计推断的基础x xf f(x x)3/10/202319商学院商学院概率密度函数概率密度函数f(x)=随机变量随机变量 X 的频数的频数 =正态随机变量正态随机变量X的均值的均值 =正态随机变量正态随机变量X的方差的方差 =3.1415926;e=2.71828x=随机变量的取值随机变量的取值(-x )3/10/202320商学院商学院正态分布函数的性质正态分布函数的性质图形是关于图形是关于x=对称钟形曲线，且峰值在对称钟形曲线，且峰值在x=处处均均值值 和和标标准准差差 一一旦旦确确定定，分分布布的的具具体体形形式式也也惟惟一一确确定定，不同参数正态分布构成一个完整的

12、不同参数正态分布构成一个完整的“正态分布族正态分布族”均均值值 可可取取实实数数轴轴上上的的任任意意数数值值，决决定定正正态态曲曲线线的的具具体体位位置置；标标准准差差决决定定曲曲线线的的“陡陡峭峭”或或“扁扁平平”程程度度。越大，正态曲线扁平；越大，正态曲线扁平；越小，正态曲线越高陡峭越小，正态曲线越高陡峭当当X X的的取取值值向向横横轴轴左左右右两两个个方方向向无无限限延延伸伸时时，曲曲线线的的两两个个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交正正态态随随机机变变量量在在特特定定区区间间上上的的取取值值概概率率由由正正态态曲曲线线下下的的面面积给出

13、，而且其曲线下的总面积等于积给出，而且其曲线下的总面积等于1 3/10/202321商学院商学院 和和 对对正态曲线的影响正态曲线的影响 称称为位置参数为位置参数(决定对称轴位置决定对称轴位置)为尺度参数为尺度参数(决定曲线分散性决定曲线分散性)xf(x)CAB =1/2=1/2 1 1 1 1 =1 =1 3/10/202322商学院商学院标准正态分布标准正态分布(standardize the normal distribution)3.标准正态分布标准正态分布的概率密度函数的概率密度函数随机变量具有均值为随机变量具有均值为0，标准差为，标准差为1的正态分布的正态分布任任何何一一个个一一般

14、般的的正正态态分分布布，可可通通过过下下面面的的线线性性变变换换转化为标准正态分布转化为标准正态分布4.标准正态分布标准正态分布的分布函数的分布函数3/10/202323商学院商学院3/10/202324商学院商学院 例：例：查书后附表3/10/202325商学院商学院正态分布正态分布(例题分析例题分析)【例例例例】定定某某公公司司职职员员每每周周的的加加班班津津贴贴服服从从均均值值为为5050元元、标标准准差差为为1010元元的的正正态态分分布布，那那么么全全公公司司中中有有多多少少比比例例的的职职员员每每周周的的加加班班津津贴贴会会超超过过7070元元，又又有有多多少少比比例例的的职职员员

15、每每周周的的加加班班津津贴在贴在4040元到元到6060元之间呢？元之间呢？解：解：解：解：设设=5=50 0，=10=10，X XN N(50,10(50,102 2)3/10/202326商学院商学院 例：设某地区男子身高例：设某地区男子身高(1)从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于175cm175cm的概率；的概率；(2)若从中随机找若从中随机找5个男子测身高个男子测身高,问至问至少有一人身高大于少有一人身高大于175cm175cm的概率是多少？恰有一人身的概率是多少？恰有一人身高高大于大于175cm175cm的概率为多少？的概率为多少？3

16、/10/202327商学院商学院某市准备通过考试招聘某市准备通过考试招聘300名公务员，其中名公务员，其中280名正式工，名正式工，20名实习工。实际报考名实习工。实际报考人数为人数为1657名，考试满分名，考试满分400分，考后分，考后不久，通过当地新闻媒体得到如下信息：不久，通过当地新闻媒体得到如下信息：考试平均成绩是考试平均成绩是166分，分，360分以上的高分以上的高分考生分考生31名。某考生名。某考生A的成绩为的成绩为256分。分。他能被录取吗？若被录取，能否是正式他能被录取吗？若被录取，能否是正式工？工？3/10/202328商学院商学院二项分布的正态近似二项分布的正态近似连续性修

17、正因子（连续性修正因子（continuity correction factor）3/10/202329商学院商学院430.0008460.000637440.0016610.00134450.00310.002656460.0055030.004963470.0092890.008736480.0149020.014489490.0227070.022642500.032850.033338510.0450880.046251520.0586720.060457530.0723250.074461540.084380.086408550.0930730.094478560.0969510.0

18、97332570.095250.094478580.0881340.086408590.0766820.074461600.0626230.060457610.0479090.046251620.0342570.033338630.0228380.022642640.0141550.014489650.008130.008736660.0043110.004963670.0021020.002656680.0009380.001343/10/202330商学院商学院3/10/202331商学院商学院指数分布指数分布(exponential distribution)若随机若随机变量变量X的概率

19、密度函数为的概率密度函数为 称称X服从参数为服从参数为 的指的指 数数分布，记为分布，记为XE()数学数学期望和方差期望和方差3/10/202332商学院商学院指数分布指数分布(概率计算概率计算)随机变量随机变量X取小于或等于某一特定值取小于或等于某一特定值x的概率为的概率为 随机变量随机变量X落入任一区间落入任一区间(a，b)的的概率为概率为 3/10/202333商学院商学院小华每天早上小华每天早上8点左右都会搭乘公交车上班。点左右都会搭乘公交车上班。依据过去的经验，平均而言，每依据过去的经验，平均而言，每5分钟分钟会有一班公交车。今天早上小华等了会有一班公交车。今天早上小华等了10分钟分

20、钟，还没有公交车到来，今天小华是，还没有公交车到来，今天小华是否特别倒霉？否特别倒霉？3/10/202334商学院商学院指数分布指数分布(例题分析例题分析)【例例例例】假假定定某某加加油油站站在在一一辆辆汽汽车车到到达达之之后后等等待待下下一一辆辆汽汽车车到到达达所所需需要要的的时时间间(单单位位：分分钟钟)服服从从参参数数为为1/51/5的的指指数数分分布布，如如果果现现在在正正好好有有一一辆辆汽汽车车刚刚刚刚到到站站加加油油，试试分分别别求求以以下下几几个个事事件发生的概率：件发生的概率：(1)(1)一辆汽车到站前需要等待一辆汽车到站前需要等待5 5分钟以上分钟以上 (2)(2)一辆汽车到站前需要等待一辆汽车到站前需要等待5 5 1010分钟分钟 解：解：解：解：3/10/202335商学院商学院 X具有如下的无记忆性：3/10/202336商学院商学院 3/10/202337商学院商学院预习预习中心极限定理中心极限定理3/10/202338商学院商学院3/10/202339商学院商学院