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1、第六章第六章 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布 n学习目标n1.理解均匀分布的概念。n2.领会正态分布的重要性。n3.找出正态分布的问题并学会如何解决这样的问题。n4.确定何时使用指数分布函数以及解决商务中的问题，并知道怎样解决。1n案例讨论：n1.分析本案例每个段落都告诉了我们哪些信息？n2.通过阅读这个案例的第三段你受到哪些启发？n3.通过阅读这个案例你的最大收获是什么？2习 题1.P178-6 3.P188-222.P188-19 4.P194-383第一节第一节 连续型概率分布的基本问题连续型概率分布的基本问题n一、一、概率密度函数概率密度函数 的定义的定义 概率密度函
2、数概率密度函数（pr0bability density function）提供任何一个特定值f（x）的函数值，而不直接给出随机变量取某些特定值的概率。4n二、连续型随机变量概率密度函数的性质二、连续型随机变量概率密度函数的性质 n1.对于所有的 值，2.2.图形下的整个面积等于图形下的整个面积等于1。5n对应于某一给定区间，图形以下的面积给出了连续型随机变量在该区间内取值时的概率。n常见的连续型概率分布有：n均匀分布n正态分布n指数分布 6第二节第二节 均匀概率分布均匀概率分布 n一、均匀概率分布的定义一、均匀概率分布的定义n 均匀概率分布均匀概率分布（Uniform probability
3、distribution），也称为矩形分布矩形分布（rectangular distribution）,是随机变量在等高度的每一区间上取值的概率都相同概率分布。7n二、均匀分布的概率密度函数二、均匀分布的概率密度函数8n三、均匀分布函数的概率三、均匀分布函数的概率9n四、均匀分布期望值和方差四、均匀分布期望值和方差10案例分析案例分析n 背景：东方航空公司统计人员经过长期观察发现，该公司一个航班从北京飞到上海所需的时间大约在120分钟到140分钟左右。n 现将飞行时间作为随机变量，并假定可以从120分钟到140分钟区间内的任意值。n 问题：1.现在该统计人员想了解飞行时间在120-130分钟的
4、概率是多少？n 2.它们的期望值和方差各为多少？11n 分析：由于随机变量可以在120140分钟区间取任意值，所以这是一个连续型随机变量。n 如果我们可以得到足够的实际飞行数据，从而有结论：在120140分钟的区间内在任意1分钟区间内的概率与飞行时间在其他任意1分钟内的概率相同。12n上面关于飞行时间随机变量的概率密度函数：13图6.1 飞行时间的均匀概率密度函数图 14n根据计算均匀分布函数的概率公式有：15图6.2飞行时间在120与130分钟之间的概率的面积 16期望值和方差分别为17n【统计分析】计算结果表明，该航空公司的航班从北京飞往上海所花费的时间在120130分钟之间的概率是0.5
5、。其期望值和标准差分别为130分钟和5.77分钟。n【问题延伸】上述信息会给该航空公司相关工作人员哪些方面的决策提供帮助呢？18第三节第三节 正态概率分布正态概率分布 n一、正态概率分布的概念一、正态概率分布的概念n 正态概率分布正态概率分布（Normal probability distribution）随机变量的概率密度函数由均值和标准差决定，其图形呈钟形的一种概率分布。n 由于正态分布是由数学家及天文学家卡尔.高斯（德国人，17771855）所发现，因此，正态概率分布有时也称为高斯分布高斯分布或误差正态曲线误差正态曲线。正态概率分布是一种最重要的描述连续型随机变量的概率分布。19图图6.
6、3 正态概率分布的钟形曲线正态概率分布的钟形曲线 20二、正态概率密度函数二、正态概率密度函数 提醒修改教科书P179公式21三、正态概率分布的性质三、正态概率分布的性质2223242526272829 图图6.4 任何正态概率分布曲线下的面积任何正态概率分布曲线下的面积 30四、标准正态概率分布四、标准正态概率分布n（一）标准正态概率分布的定义（一）标准正态概率分布的定义 31n（二）利用标准正态概率分布表计算概率（二）利用标准正态概率分布表计算概率n 标准正态概率分布曲线下面的面积已经被求出，并且被编制成表n见附录B中的表1见P452（机械版）32n例6.1 计算(1)在表6-1的最左边一
7、栏找到1.0；(2)在表6-1的最上面一行找到0.00；（3）在表的行和列交叉部分（主体部分）找到1.0和0.00的交点数值是0.3413。33例6.2 计算 分析：分析：（1）的值在 和 之间的概率是0.3413。（2）正态概率分布是对称的。因此，的值在0.00和-1.00之间的概率与在0.00和1.00之间的概率相等。34n所以，的值在-1.00和1.00之间的概率是35（三）任何正态概率分布的计算（三）任何正态概率分布的计算当我们知道具有任何均值 的正态分布而要回答概率问题时，要经过以下两步：（1）将所求问题的分布转化为标准正态分）将所求问题的分布转化为标准正态分布；布；标准化公式：36
8、n（2）查标准正态分布表，求出概率。n例6.7 已知某一样本的均值是10，标准差为2。求随机变量 在10和14之间取值的概率是多少？分析：分析：根据上述公式有：根据上述公式有：当 时，当 时，37n 上述转化结果说明，随机变量x在10和14之间取值的概率等于标准正态分布z在0和2之间取值的概率。n 其含义为：我们所要求的概率是随机变量x在其均值和大于均值2个标准差之间取值的概率。38n 查表，当z=2时的概率为0.4772。所以，x在10和14之间取值的概率是0.4772。39第三节第三节 二项概率的正态逼近二项概率的正态逼近n 当二项分布的子试验次数不断增大时，用手工或计算器计算概率函数就很
9、困难。这时，我们可以用正态分布函数去近似求解二项分布的概率值。40n一、正态曲线的确定一、正态曲线的确定n令：我们用以上公式确定正态曲线41n二、用正态分布函数近似求解二项分布的二、用正态分布函数近似求解二项分布的概率值的准则概率值的准则（一）（二）检验正态曲线是否是二项分布的很好近似42n三、连续性的修正三、连续性的修正n 由一个离散型分布到连续型分布分布的转换并不是完全一致的。由于对于连续型概率分布，随机变量取任何单个数值的概率都是0，所以，在转换过程中，必须根据问题进行 的修正。这一修正称为连续性修正连续性修正（correction for continuity）。43案案 例例n背景：
10、背景：n 连城公司历史数据表明，该公司发票的差错率为10%。研究人员随机抽取100张发票作为样本，想知道其中有12张发票含有错误的概率。44n分析：分析：n根据用正态分布曲线近似计算二项分布概率的准则有：说明正态分布是二项分布的一个很好近似。45n 经过连续性修正后，将用 转换成标准正态分布来近似计算二项分布的概率。46n查表1（P452)有：n曲线以下在1012.5之间的面积0.2967；n曲线以下在1011.5之间的面积0.1915。n因此，在11.512.5之间的面积是0.29670.1915 0.105247n【统计分析】计算结果表明，在该公司随机抽取的100张发票中，有12张含有错误
11、的概率为0.1052。n【问题延伸】研究人员针对发票差错问题，将对该公司给出一种怎样的判断呢？48第四节第四节 指数概率分布指数概率分布 n一、指数分布的定义一、指数分布的定义n 指指 数数 概概 率率 分分 布布（Exponential probability distribution）是一种描述随机事件之间发生的时间间隔或空间间隔的连续型概率分布。49n二、指数分布的特点二、指数分布的特点n1.它是一个连续型分布。n2.它有一个家庭族。n3.它是右拖尾的。n4.x的值由0到无穷。n5.它的顶点总在x0处。n6.随着x的增大，曲线稳步递减。50三、指数概率密度函数三、指数概率密度函数 指数分
12、布可以由一个参数 来定。每一个特定的 值就会确定一个不同的指数分布。这样就存在一个指数家庭。51四、指数分布的概率四、指数分布的概率52五、指数分布的期望值和标准差五、指数分布的期望值和标准差53n案案 例例n背景：n 在大连码头，给一辆卡车装货所需要的时间服从指数概率分布。根据以往记录,该码头给一辆卡车装货所需要的平均时间为15分钟。54n问题：问题：n1.工作人员想知道给一辆卡车装货所需要的时间为6分钟或更短的概率。n2.工作人员想知道给一辆卡车装货所需要的时间为18分钟或更短的概率。n3.工作人员想知道给一辆卡车装货所需要的时间在618分钟之间的概率。55n分析：分析：根据公式指数分布的概率公式有：（1）（2）（3）装货时间在6分钟到18分钟之间的概率为 56 图6.10 大连码头装货需要6分钟时间的概率57