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1、第一讲不等式和绝对值不等式一 不等式1.不等式的基本性质1.1.两个两个实实数大小的比数大小的比较较.设设a,bRa,bR,则则(1)ab(1)ab_._.(2)a=b(2)a=b a-b=0a-b=0.(3)_(3)_ a-b0a-b0a-b0ababab_._.(2)(2)传递性传递性aab,bb,bcc_._.(3)(3)可加性可加性_a+ca+c b+cb+c.(4)(4)可乘性可乘性如果如果aab,cb,c0,0,那么那么_;_;如果如果aab,cb,c0,b0,ab0,那那a an n_b_bn n(n(nN,nN,n2).2).(6)(6)开方开方如果如果ab0,ab0,那么那么
2、 _ (n_ (nN,nN,n2).2).babcacababacacbcbcacac1.1.若若aba00时，若时，若abab，则有，则有 ;当当abab00时，若时，若ab,ab,则有则有 ;当当abab=0=0时，若时，若abab2.ab是是acac2 2bcbc2 2的什么条件？的什么条件？提示：提示：必要而不充分条件必要而不充分条件.当当abab时，不能推得时，不能推得acac2 2bcbc2 2，因为，因为当当c=0c=0时，有时，有acac2 2=bc=bc2 2；若；若acac2 2bcbc2 2，则，则 所以所以 即即ab.ab.3.3.如果如果a,bRa,bR,并且并且a
3、ab,b,那么下列不等式一定成立的是那么下列不等式一定成立的是_._.-a-a-b-b；a-1a-1b-2b-2；a-ba-bb-ab-a；a a2 2ab.ab.【解析解析】因为因为a,bRa,bR,并且并且a ab,b,所以所以-a-a-b,-b,故故一定成立一定成立.a ab,-1b,-1-2,-2,根据不等式的性质可得，根据不等式的性质可得，a-1a-1b-2,b-2,故故一定正一定正确确.a-b.a-b0 0，则，则b-ab-a0,0,所以所以a-ba-bb-a,b-a,故故一定正确一定正确.不等式两边乘以不等式两边乘以(或除以或除以)同一个正数，不等号的方向不变，同一个正数，不等号
4、的方向不变，不等式两边乘以不等式两边乘以(或除以或除以)同一个负数，不等号的方向改变，同一个负数，不等号的方向改变，而而a a的符号不确定，故的符号不确定，故不一定正确不一定正确.答案：答案：1.1.实数大小的比较实数大小的比较2.2.不等式性质中的不等式性质中的“”和和“”表示的意思表示的意思在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“”与与“”，即推出关系和等价关系，即推出关系和等价关系,或者说或者说“不可逆关不可逆关系系”与与“可逆关系可逆关系”，这要求必须熟记和区别不同性质的条，这要求必须熟记和区别不同性质的条件，如件，如 而反
5、之则包含几类情况，即若而反之则包含几类情况，即若则可能有则可能有a ab,abb,ab0,0,也可能有也可能有a a0 0b.b.即即a ab,abb,ab0 0与与是不等价关系是不等价关系.3.3.实数的基本性质实数的基本性质在研究不等式的性质，解不等式和证明不等式时，经常要用在研究不等式的性质，解不等式和证明不等式时，经常要用到实数的一些基本性质，这些性质可概括为到实数的一些基本性质，这些性质可概括为8 8条公理：条公理：公理公理1 1：正数大于零，负数小于零，正数大于负数：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.公理公理2 2：正：正(负负)数中，绝对值较大的数其数值较大数中，绝对值较大的
6、数其数值较大(小小).).公理公理3 3：正：正(负负)数的相反数是负数的相反数是负(正正)数数.公理公理4 4：两数之差大于零，则被减数大于减数；两数之差等于：两数之差大于零，则被减数大于减数；两数之差等于零，则两数相等；两数之差小于零，则被减数小于减数零，则两数相等；两数之差小于零，则被减数小于减数.公理公理5 5：两个正：两个正(负负)数的和仍是正数的和仍是正(负负)数数.公理公理6 6：同号：同号(或异号或异号)两数相乘或相除，其积或其商为正数两数相乘或相除，其积或其商为正数(或负数或负数).).公理公理7 7：两正数之商大于：两正数之商大于1 1，则被除数大于除数；两正数之商，则被除
7、数大于除数；两正数之商等于等于1 1，则被除数等于除数；两正数之商小于，则被除数等于除数；两正数之商小于1 1，则被除数小，则被除数小于除数于除数.公理公理8 8：任何一个实数的平方都不小于零：任何一个实数的平方都不小于零.类型类型 一一 作差法比较大小作差法比较大小 【典型例题典型例题】1.1.当当p,qp,q为为正数且正数且p+qp+q=1=1时时,比比较较(px+qy)(px+qy)2 2与与pxpx2 2+qy+qy2 2的大小的大小.2.a,bR2.a,bR+,且且abab时时,比比较较a a3 3b b2 2+a+a2 2b b3 3与与a a5 5+b+b5 5的大小的大小.【解
8、题探究解题探究】1.(px+qy)1.(px+qy)2 2的展开式是什么的展开式是什么?2.2.比较多项式的大小常用的方法是什么比较多项式的大小常用的方法是什么?探究提示探究提示:1.(px+qy)1.(px+qy)2 2=p=p2 2x x2 2+2pqxy+q+2pqxy+q2 2y y2 2.2.2.常用作差比较法常用作差比较法.【解析解析】1.(px+qy)1.(px+qy)2 2-(px-(px2 2+qy+qy2 2)=p=p2 2x x2 2+2pqxy+q+2pqxy+q2 2y y2 2-px-px2 2-qy-qy2 2=p(p-1)x=p(p-1)x2 2+q(q-1)y
9、+q(q-1)y2 2+2pqxy.+2pqxy.因为因为p+qp+q=1,=1,所以所以p-1=-q,q-1=-p,p-1=-q,q-1=-p,所以所以(px+qy)(px+qy)2 2-(px-(px2 2+qy+qy2 2)=-pq(x)=-pq(x2 2+y+y2 2-2xy)-2xy)=-pq(x-y)=-pq(x-y)2 2.因为因为p,qp,q为正数为正数,所以所以-pq(x-y)-pq(x-y)2 20,0,所以所以(px+qy)(px+qy)2 2pxpx2 2+qy+qy2 2,当且仅当当且仅当x=yx=y时时,不等式中等号成立不等式中等号成立.2.a2.a5 5+b+b5
10、 5-(a-(a3 3b b2 2+a+a2 2b b3 3)=a)=a5 5+b+b5 5-a-a3 3b b2 2-a-a2 2b b3 3=a=a3 3(a(a2 2-b-b2 2)+b)+b3 3(b(b2 2-a-a2 2)=(a)=(a2 2-b-b2 2)(a)(a3 3-b-b3 3)=(a+b)(a-b)(a-b)(a=(a+b)(a-b)(a-b)(a2 2+ab+b+ab+b2 2)=(a-b)=(a-b)2 2(a+b)(a(a+b)(a2 2+ab+b+ab+b2 2)=(a-b)=(a-b)2 2(a+b)(a+b)因为因为a,bRa,bR+,ab,ab,所以所以(
11、a-b)(a-b)2 20,a+b0,0,a+b0,所以所以a a5 5+b+b5 5-(a-(a3 3b b2 2+a+a2 2b b3 3)0,)0,a a5 5+b+b5 5aa3 3b b2 2+a+a2 2b b3 3.【拓展提升拓展提升】作差比较的两种变形技巧作差比较的两种变形技巧作差比较是判断两个数或式大小关系的最基本的方法，关键作差比较是判断两个数或式大小关系的最基本的方法，关键是作差后对差变形，以判定差的符号，常有两种变形技巧：是作差后对差变形，以判定差的符号，常有两种变形技巧：(1)(1)利用因式分解化为若干个可直接判断符号的式子的积的形利用因式分解化为若干个可直接判断符号
12、的式子的积的形式式.(2)(2)若式子为二次式，常用配方法、判别式法若式子为二次式，常用配方法、判别式法.【变式训练变式训练】已知已知xy0,xy0,比较比较 与与 的大小的大小.【解析解析】因为因为xy0,xy0,所以所以x-yx-y0,x+y0,x0,x+y0,x2 20,0,x x2 2+11,+11,所以所以所以所以 故故类型类型 二二 利用不等式的性质判断命题的真假利用不等式的性质判断命题的真假【典型例题典型例题】1.1.若若 则下列不等式：则下列不等式：a+ba+b|b|b|；abab中，正确的不等式有中，正确的不等式有()()A.1A.1个个 B.2B.2个个 C.3C.3个个
13、D.0D.0个个2.2.若若ab0ab0，分别判断下列式子是否成立，并简述理由，分别判断下列式子是否成立，并简述理由.(1)(2)(1)(2)【解题探究解题探究】1.1.由由 能否比较能否比较a,b,0a,b,0的大小关系？的大小关系？2.2.比较大小的依据是什么？比较大小的依据是什么？探究提示：探究提示：1.1.由由 可知可知ba0.ba0.2.2.不等式的基本性质不等式的基本性质.【解析解析】1.1.选选A A 所以所以a+ba+b00abab，|a|b|a|b|，即，即正确，正确，错误错误2 2(1)(1)成立成立.由由ab0ab0得得aa-b0aa-b0，所以，所以则则(2)(2)成立
14、成立.因为因为ab0,ab0,所以所以a+ba+bb0,bbab acac2 2bcbc2 2;当没有当没有“c0c0”这个条这个条件时，件时，abab acac2 2bcbc2 2就不正确就不正确.再如再如 时，还必须时，还必须添加条件添加条件abab0.0.【变式训练变式训练】已知三个不等式：已知三个不等式：abab0,bc-ad0,0,bc-ad0,(其中其中a,b,c,da,b,c,d均为实数均为实数).).用其中两个作为条件，余下一个作用其中两个作为条件，余下一个作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是()()A.0A.0个个 B.1
15、B.1个个 C.2C.2个个 D.3D.3个个【解析解析】选选D.D.因为因为所以所以；均成立均成立.类型类型 三三 利用不等式的性质证明简单不等式利用不等式的性质证明简单不等式 【典型例题典型例题】1.1.已知已知ab0,cdb0,cd0,求证：求证：2.2.已知已知a a，bRbR，求证：，求证：a a2 2b b2 2ababa ab b1.1.【解题探究解题探究】1.1.对于正数，有同向不等式可乘，但能不能可对于正数，有同向不等式可乘，但能不能可除？除？2.2.证明不等式的实质是什么？证明不等式的实质是什么？探究提示：探究提示：1.1.对于正数，同向不等式可乘，但不可除对于正数，同向不
16、等式可乘，但不可除.不等式的不等式的 “除法除法”可以通过可以通过“乘倒数乘倒数”转化为转化为“乘法乘法”.2.2.实质是比较两个代数式的大小实质是比较两个代数式的大小.【证明证明】1.1.因为因为cd0,cd-d0.-c-d0.所以所以 所以所以 所以所以 即即两边同乘以两边同乘以-1-1，得，得2.2.因为因为(a(a2 2b b2 2)(ababa ab b1)1)所以所以a a2 2b b2 2ababa ab b1.1.【拓展提升拓展提升】利用不等式性质证明简单不等式利用不等式性质证明简单不等式利用不等式性质证明简单不等式的实质就是根据性质把不等利用不等式性质证明简单不等式的实质就是
17、根据性质把不等式进行变形，要注意不等式性质成立的条件式进行变形，要注意不等式性质成立的条件.若不能直接由不若不能直接由不等式性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构等式性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构.利用不等利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件.【变式训练变式训练】1.1.已知已知a ab b0,cd0.0,cd0.求证：求证：2.2.已知已知cab0,cab0,求证：求证：【解题指南解题指南】先分析各不等式的特点，分析待证式与已知条先分析各不等式的特点，分析待证式与已知条件的关系，然后结合不等式的性质证明件的关系，然后结合不等式的
18、性质证明.【证明证明】1.1.因为因为a ab b0,0,所以所以因为因为c cd d0,0,所以所以所以所以所以所以 所以所以即即 又又a,c,b,da,c,b,d均大于均大于0 0，所以所以 所以所以2.2.因为因为ab,ab,所以所以-a-b,-aab0,cab0,所以所以0c-a0c-ab0,ab0,所以所以【易错误区易错误区】对不等式的性质理解不透而致错对不等式的性质理解不透而致错【典例典例】已知已知则则2-2-的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】设设2-=2-=A(+)+B(-A(+)+B(-),),则则2-=(2-=(A+B)+(A-B)A+B)+(A-B),比较两边系数
19、得比较两边系数得 所以所以因为因为所以所以故故答案：答案：【误区警示误区警示】【防范措施防范措施】1.1.待定系数法的应用待定系数法的应用已知两个代数式的范围，求另一个代数式的取值范围时，应已知两个代数式的范围，求另一个代数式的取值范围时，应用待定系数法，体现整体思想的应用，再利用同向不等式的用待定系数法，体现整体思想的应用，再利用同向不等式的同向可加性求解，如本例中将同向可加性求解，如本例中将2-2-表示为表示为+和和-的的形式求解形式求解.2.2.注意同向不等式相加时的应用注意同向不等式相加时的应用同一问题中，应用同向不等式相加性质时，不能多次使用，同一问题中，应用同向不等式相加性质时，不
20、能多次使用，否则易导致范围扩大，如本例可用待定系数法避免多次使用否则易导致范围扩大，如本例可用待定系数法避免多次使用.【类题试解类题试解】已知已知a-ba-b1,21,2,a+ba+b2,42,4,则则4a-2b4a-2b的取的取值范围是值范围是_._.【解析解析】因为因为a-ba-b1,21,2,a+ba+b2,42,4,所以所以4a-4a-2b=(a+b)+3(a-b)2b=(a+b)+3(a-b)5,105,10.答案：答案：5 5，1010 1.1.若若 则则()()A.aA.abc bc B.bB.bacacC.cC.cab ab D.bD.bcaca【解析解析】选选A.A.由于由于
21、a1a1，0b10b1，c0,cbc.abc.2.2.已知已知a,b,ca,b,c均为实数，下面四个命题中正确的个数是均为实数，下面四个命题中正确的个数是()()ab0ab0a a2 2bbcbc2 2abab；A.0 B.1 C.2 D.3A.0 B.1 C.2 D.3【解析解析】选选C.C.不正确不正确.因为因为ab0ab-b0,-a-b0,所以所以(-a)(-a)2 2(-b)(-b)2 2,即即a a2 2bb2 2.不正确不正确.因为因为若若b0babcbc.正确正确.因为因为acac2 2bcbc2 2，所以所以c0,ab.c0,ab.正确正确.因为因为ab0,ab-b0-a-b0
22、，所以，所以3.3.已知已知a a，b b，c c，d d为实数，且为实数，且c cd d，则，则“a ab b”是是“a ac cb bd d”的的()()A A充分而不必要条件充分而不必要条件 B B必要而不充分条件必要而不充分条件C C充要条件充要条件 D D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析解析】选选B.B.由由而当而当a ac c2 2，b bd d1 1时，满足时，满足 但但a ac cb b d d不成不成立，所以立，所以“a ab b”是是“a ac cb bd d”的必要而不充分条件的必要而不充分条件.4.4.已知已知0ab1,0abyz yz B.xB.xyzy
23、xz xz D.zD.zxyxy【解析解析】选选C.C.因为因为0ab1,0ab0,0,不妨令不妨令则则 所以所以yxz.yxz.5.5.有以下四个条件：有以下四个条件：b0ab0a；0ab0ab；a0ba0b；ab0.ab0.其中能使其中能使 成立的有成立的有_(_(填序号填序号).).【解析解析】因为因为b0,b0,所以所以 因为因为a0,a0,所以所以所以所以 因为因为ba0,ba0b,a0b,所以所以 所以所以 因为因为ab0,ab0,所以所以综上知，综上知，均能使均能使答案：答案：6.6.已知已知-6a8,2b3,-6a8,2b3,分别求分别求 的取值范围的取值范围.【解析解析】因为因为-6a8,-6a8,所以所以-122a16.-122a16.又又2b3,2b3,所以所以-102a+b19.-102a+b19.因为因为2b3,2b3,所以所以-3-b-2.-3-b-2.又又-6a8,-6a8,所以所以-9a-b6.-9a-b6.因为因为2b3,2b3,所以所以当当0a80a8时，时，当当-6a0-6a0时，时，综合综合得得所以所以 的取值范围分别为的取值范围分别为(-10,19),(-9,6),(-3,4)(-10,19),(-9,6),(-3,4)