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1、3.三个正数的算术-几何平均不等式1.1.三个正数的算术三个正数的算术-几何平均不等式：几何平均不等式：(1)(1)如果如果a,b,cRa,b,cR+,那么那么a a3 3+b+b3 3+c+c3 3_,_,当且仅当当且仅当_时时,等号成立等号成立.(2)(2)定理定理3 3：如果：如果a,b,cRa,b,cR+,那么那么 ,当且仅当当且仅当_时时,等号成立等号成立.3abc3abca=b=ca=b=ca=b=ca=b=c2.2.基本不等式的推广基本不等式的推广.对于对于n n个正数个正数a a1 1,a,a2 2,，a an n,它们的算术平均不小于它们的几何它们的算术平均不小于它们的几何平
2、均平均,即即 _ _ 当且仅当当且仅当_时时,等号成立等号成立.a a1 1=a=a2 2=a=an n1.1.如果如果x0 x0，如何求，如何求 的最小值的最小值?提示：提示：当且仅当当且仅当x=1x=1时，取时，取“=”.故故 最小值为最小值为3.3.2.2.若若ab0,ab0,则则 的最小值为的最小值为_._.【解析解析】因为因为ab0,ab0,所以所以a-b0,a-b0,所以所以当且仅当当且仅当 即即a=2,b=1a=2,b=1时，等号成立时，等号成立.答案：答案：3 33.3.设设x,y,zx,y,z00且且x+3y+4z=6,x+3y+4z=6,则则x x2 2y y3 3z z的
3、最大值是的最大值是_._.【解析解析】因为因为所以所以x x2 2y y3 3z1z1，当且仅当，当且仅当 即即 时，等时，等号成立号成立.所以所以x x2 2y y3 3z z的最大值为的最大值为1.1.答案：答案：1 11.1.对不等式对不等式 成立的成立的a,b,ca,b,c的理解的理解(1)(1)在不等式中在不等式中a,b,ca,b,c的范围是的范围是a0,b0,c0.a0,b0,c0.(2)(2)三个正数的和为定值，积有最大值三个正数的和为定值，积有最大值.积为定值积为定值,和有最小值和有最小值,当且仅当三个正数相等时取等号当且仅当三个正数相等时取等号.2.2.定理定理3 3的两个推
4、论的两个推论(1)(1)当当abcabc为定值时：为定值时：当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时取等号时取等号.(2)(2)当当a+b+ca+b+c为定值时：为定值时：当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时取等号时取等号.类型类型 一一 用平均不等式求最值用平均不等式求最值 【典型例题典型例题】1.1.当当x(0,1)x(0,1)时，函数时，函数y=xy=x2 2(1-x)(1-x)的最大值是的最大值是_._.2.2.为锐角，求为锐角，求y=sin cosy=sin cos2 2的最大值的最大值.【解题探究解题探究】1.1.题题1 1中各项系数有正，有负中各项系数有正，有负,如何构造和为定如
5、何构造和为定值？值？2.2.题题2 2中正余弦的积的形式，如何构造和为定值？中正余弦的积的形式，如何构造和为定值？探究提示：探究提示：1.1.题中的各项系数有正，有负，要凑各项系数和为定值，即题中的各项系数有正，有负，要凑各项系数和为定值，即2.2.当题中没有正负系数时，要用其他定值，如本题用平方关系当题中没有正负系数时，要用其他定值，如本题用平方关系sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1，使其和为定值，使其和为定值.【解析解析】1.1.因为因为0 0 x x1,1,所以所以1-x1-x0,0,所以当所以当 即即 时，时，答案：答案：2.2.由由y=sin cosy=sin cos2
6、 2得，得，y y2 2=sin=sin2 2coscos4 4当且仅当当且仅当2sin2sin2 2=cos=cos2 2，即，即 时取等号，此时时取等号，此时【拓展提升拓展提升】1.1.用平均不等式求最值的方法用平均不等式求最值的方法(1)(1)利用三个正数的算术利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值，可简记为几何平均不等式求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大积定和最小，和定积最大”.(2)(2)应用平均不等式，要注意三个条件，即应用平均不等式，要注意三个条件，即“一正、二定、三一正、二定、三相等相等”同时具备时，方可取得最值同时具备时，方可取得最值.其中定值条件决定着平均其中定值条
7、件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如配系数、不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如配系数、拆项、分离常数、平方变形等拆项、分离常数、平方变形等.(3)(3)当不具备使用平均不等式的条件时，求函数的最值可考虑当不具备使用平均不等式的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性利用函数的单调性.2.2.拼凑定值方法在基本不等式中的应用拼凑定值方法在基本不等式中的应用利用平均不等式求解最值问题的前提是要求代数式的和或者利用平均不等式求解最值问题的前提是要求代数式的和或者积为定值，而题目条件往往无法满足，此时可以将平均不等积为定值，而题目条件往往无法满足，此时可以将平均不等
8、式的取等条件作为出发点，拼凑定和式的取等条件作为出发点，拼凑定和(或积或积)，求积，求积(或和或和)的的最大最大(或小或小)值值.【变式训练变式训练】已知已知a,b,cRa,b,cR+,求求 的最小值的最小值.【解析解析】当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时取等号时取等号.故最小值为故最小值为9.9.类型类型 二二 用平均不等式证明不等式用平均不等式证明不等式 【典型例题典型例题】1.1.已知已知a,b,cRa,b,cR+,求证：求证：2.2.设设a,b,cRa,b,cR+，求证：，求证：【解题探究解题探究】1.1.题题1 1中如果将不等式的左边展开，可以证明不中如果将不等式的左边展开，可以
9、证明不等式成立吗？等式成立吗？2.2.题题2 2中利用一次平均不等式能否证明不等式成立中利用一次平均不等式能否证明不等式成立?探究提示：探究提示：1.1.如果将不等式的左边展开，则不等式变为：如果将不等式的左边展开，则不等式变为：无法利用平均不等式来证明无法利用平均不等式来证明.2.2.不能不能.因为左边有分式，也有整式的形式，要用一次平均不因为左边有分式，也有整式的形式，要用一次平均不等式，还要利用一次基本不等式等式，还要利用一次基本不等式.【证明证明】1.1.因为因为a,b,cRa,b,cR+,所以所以(a+b)+(b+c)+(a+ca+b)+(b+c)+(a+c)所以所以又又 所以所以当
10、且仅当当且仅当a+ba+b=b+cb+c=c+ac+a，即，即a=b=ca=b=c时，等号成立时，等号成立.2.2.因为因为a,b,cRa,b,cR+,所以所以所以所以而而所以所以当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时等号成立时等号成立.【拓展提升拓展提升】证明不等式的方法与技巧证明不等式的方法与技巧(1)(1)观察式子的结构特点观察式子的结构特点,分析题目中的条件分析题目中的条件.若具备若具备“一正，一正，二定，三相等二定，三相等”的条件，可直接应用该定理的条件，可直接应用该定理.若题目中不具备该条件若题目中不具备该条件,要注意经过适当的恒等变形后再使用要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证
11、明定理证明.(2)(2)三个正数的算术三个正数的算术-几何平均不等式是根据不等式的意义、几何平均不等式是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此凡是利用该不等式证明的不等式，性质和比较法证出的，因此凡是利用该不等式证明的不等式，一般可用比较法证明一般可用比较法证明.【变式训练变式训练】已知已知a,b,cRa,b,cR+,证明证明【解题指南解题指南】分析待证式子的特征分析待证式子的特征,通过变形转化为用算术通过变形转化为用算术几何平均不等式证明几何平均不等式证明.【证明证明】因为因为a a，b b，cRcR+,所以所以所以所以又又所以所以当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时，等号成立时，等号
12、成立.所以所以 用平均不等式解应用题用平均不等式解应用题【典型例题典型例题】1.1.设三角形三边长为设三角形三边长为3,4,5,P3,4,5,P是三角形内的一点，则是三角形内的一点，则P P到这个到这个三角形三边距离乘积的最大值是三角形三边距离乘积的最大值是_._.2.2.制造容积为制造容积为 立方米的无盖圆柱形桶立方米的无盖圆柱形桶,用来做底面的金属板用来做底面的金属板的价格为每平方米的价格为每平方米3030元元,用来做侧面的金属板的价格为每平方用来做侧面的金属板的价格为每平方米米2020元元,要使用料成本最低要使用料成本最低,则此圆柱形桶的底面半径和高分则此圆柱形桶的底面半径和高分别为多少
13、别为多少?【解析解析】1.1.设设P P到长度为到长度为3 3，4 4，5 5的三角形三边的距离分别是的三角形三边的距离分别是x,y,zx,y,z，三角形的面积为，三角形的面积为S.S.则则 又因为又因为3 32 2+4+42 2=5=52 2，所以这个三角形为直角三角形，其面积所以这个三角形为直角三角形，其面积所以所以3x+4y+5z=23x+4y+5z=26=12,6=12,所以所以所以所以当且仅当当且仅当3x=4y=5z,3x=4y=5z,即即 时等号成立时等号成立.答案：答案：2.2.设此圆柱形桶的底面半径为设此圆柱形桶的底面半径为r r米米,高为高为h h米米,则底面积为则底面积为r
14、r2 2,侧面积为侧面积为2rh.2rh.设原料成本为设原料成本为y y元元,则则y=30ry=30r2 2+40rh,+40rh,因为桶的容积为因为桶的容积为 ,所以所以 所以所以所以所以当且仅当当且仅当 即即 时，等号成立，此时时，等号成立，此时答：要答：要使用料成本最低使用料成本最低,圆柱形桶的底面半径为圆柱形桶的底面半径为 米，高米，高为为 米米.【拓展提升拓展提升】1.1.用不等式解决实际问题的方法与技巧用不等式解决实际问题的方法与技巧应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学
15、模型是量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解.2.2.利用平均不等式解决应用题的一般步骤利用平均不等式解决应用题的一般步骤(1)(1)理解题意，设变量，设变量时一般要把所求最大值或最小理解题意，设变量，设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数值的变量定为函数.(2)(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题值或最小值问题.(3)(3)在定义域内，求出函数的最值在定义域内，求出函数的最值.(4)(4)验证相等条件，得出
16、结论验证相等条件，得出结论.【规范解答规范解答】平均不等式在实际问题中的应用平均不等式在实际问题中的应用【典例典例】【条件分析条件分析】【规范解答规范解答】因为因为 2 2分分所以所以 ,4 4分分所以所以 ,6 6分分 8 8分分当且仅当当且仅当2sin2sin2 2=cos=cos2 2,即即 时取等号时取等号所以所以 即即 米时，米时，E E最大，此时桌子边缘处最大，此时桌子边缘处最亮最亮.1010分分故当灯的高度为故当灯的高度为 米时，才能使桌子边缘处最亮米时，才能使桌子边缘处最亮.1212分分 【失分警示失分警示】【防范措施防范措施】平均不等式在实际问题中的应用平均不等式在实际问题中
17、的应用(1)(1)处理求最值的实际问题，应找到各变量之间的关系，建立处理求最值的实际问题，应找到各变量之间的关系，建立适当的函数关系式，且根据题意注明自变量的取值范围适当的函数关系式，且根据题意注明自变量的取值范围.如本如本例得到例得到处的关系式及范围处的关系式及范围.(2)(2)把问题转化为求函数的最值问题把问题转化为求函数的最值问题.根据函数关系式的特点配凑成可以用平均不等式的形式根据函数关系式的特点配凑成可以用平均不等式的形式.如本如本例通过平方凑成和为定值例通过平方凑成和为定值.(3)(3)若符合条件若符合条件“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”即可直接求解即可直接求解.如本如本例
18、三个条件均满足，故可求出灯的高度例三个条件均满足，故可求出灯的高度.【类题试解类题试解】无论是工业设备还是家庭生活用具，圆柱形的容无论是工业设备还是家庭生活用具，圆柱形的容器都不少见器都不少见.你是否留心了多数圆柱形容器不是细细长长的，你是否留心了多数圆柱形容器不是细细长长的，也不是扁扁的，而是高和底面直径大致相等，你是否想过这是也不是扁扁的，而是高和底面直径大致相等，你是否想过这是为什么？当然，高和底面直径大致相等的圆柱形看上去比较匀为什么？当然，高和底面直径大致相等的圆柱形看上去比较匀称，这是一条理由称，这是一条理由.但更主要的原因似乎不在这里但更主要的原因似乎不在这里.我们知道，我们知道
19、，容器的容积往往是一定的，但表面积却随着形状而改变，这就容器的容积往往是一定的，但表面积却随着形状而改变，这就意味着同样容积的圆柱形容器有的用料较省而有的则费料，意味着同样容积的圆柱形容器有的用料较省而有的则费料，如如果仅从成本角度考虑，自然应制造用料最省的，那么究竟怎样果仅从成本角度考虑，自然应制造用料最省的，那么究竟怎样的圆柱形容器用料最省呢的圆柱形容器用料最省呢(假设容器是密闭的假设容器是密闭的)？【解析解析】如图所示，设容器的高为如图所示，设容器的高为h,h,底面半径为底面半径为r,r,表面积为表面积为S S，容积为，容积为V V，V V为定值为定值.于是有于是有V=rV=r2 2h
20、h 及及S=2rS=2r2 2+2rh+2rh，根据三个正数的算术根据三个正数的算术-几何平均不等式，由几何平均不等式，由得得 将将代入代入得得 当且仅当当且仅当2r2r2 2=rhrh,即即h=2r,h=2r,也就是高和底面直径相等时也就是高和底面直径相等时,中等号成立，此时，圆柱的中等号成立，此时，圆柱的表面积表面积 最小，最小，制造容器用料最省，同时可算得制造容器用料最省，同时可算得1.1.若若x0,x0,则则 的最小值为的最小值为()()A.9 B.C.13 D.A.9 B.C.13 D.不存在不存在【解析解析】选选B.B.因为因为x0,x0,所以所以当且仅当当且仅当 即即 时等号成立
21、时等号成立.2.2.若若loglogx xy y=-2,=-2,则则x+yx+y的最小值是的最小值是 ()()A.B.C.D.A.B.C.D.【解析解析】选选A.A.因为因为loglogx xy y=-2,=-2,所以所以x x0 0且且x1,yx1,y0,0,且且y=xy=x-2-2,所以所以当且仅当当且仅当 即即 时等号成立时等号成立.3.3.函数函数 则则 ()()A.A.有最小值有最小值3 B.3 B.有最小值有最小值C.C.有最大值有最大值3 D.3 D.有最大值有最大值【解析解析】选选B.B.当且仅当当且仅当 时取等号时取等号.4.4.已知已知x,y,zx,y,z均为正数，均为正数
22、，则则 的最小值是的最小值是_._.【解析解析】因为因为x,y,zx,y,z均为正数，均为正数，所以所以 所以所以xyz=xyz=xy+xz+yz(x,y,zxy+xz+yz(x,y,z均为正数均为正数).).又又 (当且仅当当且仅当x=y=z=3x=y=z=3时取等号时取等号).).答案：答案：1 15.5.已知已知a,b,ca,b,c为正数，求证：为正数，求证：(a+b+c)(a(a+b+c)(a2 2+b+b2 2+c+c2 2)9abc.)9abc.【证明证明】因为因为a,b,ca,b,c为正数，为正数，所以所以所以所以所以所以(a+b+c)(a(a+b+c)(a2 2+b+b2 2+c+c2 2)9abc.)9abc.