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1、丢番图的墓志铭丢番图(Diophantus，246330)是公元3世纪的古希腊的一位著名的数学家.他的著作有算术和多角数两本.他的两本书是世界上最早的系统的数学著作，可惜没有被完整的保存下来.他最突出的贡献在代数方面，尤其是对不定方程的解法作了系统的研究.他的墓志全文如下：过路人，这里埋着丢番图的骨灰.下面的数目告诉您，他的寿命究竟有多长.他生命的1/6是幸福的童年.再活了一生的1/12，颊上长起了细细的胡须.丢番图结了婚，可是还不曾有孩子，这样又度过了一生的1/7.再过5年，他得了头胎儿子，感到很幸福，可是命运给这个孩子在世界上的光辉灿烂的生命只有他父亲的一半.打从儿子死了以后，这老头儿在深
2、深的悲痛中再活了4年，就结束了尘世的生涯.请算一下，丢番图究竟活了多大岁数，才和死神相见？根据碑文，我们容易列出简单方程：丢番图的简单生平是这样的：他活到84岁，21岁结的婚，38岁做了父亲，80岁死了儿子，84岁去世，儿子仅活到42岁.列方程解应用题列简易方程解应用题引入参数列方程解应用题列不定方程解应用题(本节不讲)对于较复杂的应用题，使用算术方法常常比较困难.而用列方程的方法，未知数未知数与已知数同样都是运算的对象与已知数同样都是运算的对象.通过找出“未知”与“已知”之间的相互关系，即列出方程（或方程组），使问题得以解决.所以对于应用题，列方程的方法往往比算术解法易于思考，易于求解.列方
3、程解应用题的一般步骤是：审审题题、设设未未知知数数、找找出出相相等等关关系系、列列方方程程、解解方方程程、检验作答检验作答.列列方方程程是关键的一步.其实质是将将同同一一个个量量或或等等量量用用两两种种方方式式表表达达出出来来.而要建立这种相等关系必须对题目作细致分析.有些相等关系比较隐蔽，必要时要应用图表或图形进行直观分析.列简易方程解应用题例1：（和差问题）甲、乙二数的和是a，差是b，求甲、乙二数.（要求用代数方法）（要求用代数方法）结论：和加上差，再除以2，得大数；和减去差，再除以2，得小数.注：用代数方法求解，优点是得出的结果是一个 公式，带有普遍性.例2：有一块菜地和一块麦地，菜地的
4、一半和麦地的三分之一放在一起是13亩；麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是12亩.问：菜地多少亩？（第一届华杯赛初赛试题）解：设菜地是x亩，麦地是y亩.根据题意，有练习：从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米.车从甲地开往乙地需9小时，从乙地开往甲地需7.5小时.问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？（第五届华杯赛复赛试题）例3：有奇数块石头，沿直线每隔1米放一块.要把石头集中在最中间的位置上，从最右边的石头开始，按顺序每次只能搬一块石头.如果一个人用这样的办法搬石头，除了中间的石头外，把其余
5、的石头向中间集中，共走了300米.问：石头有多少块？（第一届汉城国际数学竞赛试题）引入参数列方程解应用题对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时，除了应设的未知数外，还需要增设一些增设一些“设而不求设而不求”的的参数参数，便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言，以便沟通数量关系，为列方程创造条件.一个难解的结一个难解的结一位旅行者从下午三点步行到晚上八点.他走的先是平路，然后爬山，到了山顶以后就循原路下坡，再走平路，回到出发点.已知他在平路上每小时走4英里，爬山时每小时走3英里，下坡每小时走6英里，回到平地还是每小时走4英里.请问旅行者一共走了多少路程？注：此题出自英国剑桥大
6、学数学教师，著名儿童文学作家刘易士.卡洛尔的一本有趣的数学通俗读物乱纷纷的结.不少人认为本题少条件，请您试一试，看看能不能解决此问题.例4：某人从甲地去乙地.如果他从甲地先骑摩托车行12小时，再换骑自行车行9小时，恰好达到乙地.如果他从甲地先骑自行车行21小时，再换骑摩托车行8小时，也恰好达到乙地.问：全程骑摩托车需要几小时达到乙地？（第四届华杯赛初赛试题）练习：甲、乙两个同学从A地到B地，甲步行的速度为每小时3千米，乙步行的速度为每小时5千米.两人骑自行车的速度都是每小时15千米.现在甲先步行，乙先骑自行车，两人同时出发.走了一段路程后，乙放下车步行，甲走到乙放车处改骑自行车.以后不断交替行
7、进，两人恰好同时到达B地.甲走全程的平均速度是多少千米/小时？（第六届迎春杯初赛试题）例5：往返公共汽车每隔x分钟发车一次，小宏在大街上行走，发现从背后每隔6分钟开过来一辆公共汽车，而每隔30/7分钟迎面开来一辆公共汽车.如果公共汽车与小宏行进的速度都是均匀的，则x=_分钟.（第六届迎春杯初赛试题）分析：这道题中包括了追追及及与相相遇遇两种情况.如果设汽车速度为每分钟a米，小宏的速度为每分钟b米.那那么么当当一一辆辆汽汽车车追追上上小小宏宏时时，另另一一辆辆车车在在小小宏宏后后面面ax米米处处，它它用用了了6分分钟钟追追上上小小宏宏.另一方面，当当一一辆辆汽汽车车与与小小宏宏相相遇遇时时，另另
8、一一辆辆车车在在小小宏宏前前面面ax米米处处，它它经经过过30/7分分钟钟与与小小宏宏相相遇遇.根据这两个条件可以得到两个方程.注:本题引入两个未知量作参数，计算时这两个参数被消去，即问题的答案与参数的选择无关.本题的解法很多.牛顿牧场问题例6：有三片牧场，场上的草是一样密的，而且长的一样快，它们的面积分别是10/3公顷、10公顷、24公顷.第一片牧场饲养12头牛，可以维持4个星期；第二片牧场饲养21头牛，可以维持9个星期.问在第三片牧场上饲养多少头牛，可以维持18个星期？注：本题出自牛顿的普遍算术，但不是牛顿个人想出来的.解：设每公顷原有草a公斤，每星期每公顷长出草b公斤，则注：上述解法中，
9、引入了两个辅助未知数两个辅助未知数a,b，是为了便于把自然语言描述的数量关系翻译成代数语言，这是解应用题常用的方法.链接牛吃草问题牧场上长满牧草，每天牧草都匀速匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，供25头牛吃几天？解决“牛吃草”问题的两个基本步骤：第一，求出每天（或每周）新长出的草可供几头牛吃1天（或1周）；第二，求出牧场上原有的草可供几头牛吃1天（或1周）.注1：关键是求出“每天新长出的草”与“原有的草”这两个不变的量.注2：本题也可类似前面列方程解.练习：牧场上长满牧草，每天牧草都均匀生长，这片牧草可供15头牛吃20天，可供20头牛吃10天，那么新长出的草可供多少
10、头牛吃1天？一水库存水量一定，每天河水均匀入库.如果4台抽水机连续15天可将水抽干，6台同样的抽水机连续9天可将水抽干.问水库原有的水需用多少台抽水机1天将水抽干？10；45变式变式现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘.若用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干.问：若要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉.甲仓库用一台皮带输送机和12个工人5小时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人3小时可将乙仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，如果每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，皮带输送机和工人一起往外搬运面粉，那么要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？作业牧场上一片牧草，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。如果牧草每周匀速生长，问可供21头牛吃几周？有4位小朋友的体重都是整数千克，他们两两合称体重，共称了5次，称得的千克数分别为99，113，125，130，144.其中有两人没有一起称过.那么这两人中体重较重的人的体重是多少千克？