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1、第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率习题课一习题课一(上上)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 习题课一分为上、下两部分习题课一分为上、下两部分.在在上部分上部分中中,我们归纳了第一章的概念、理论与方法等我们归纳了第一章的概念、理论与方法等内容，并对关键而又容易出错的地方作了讲评内容，并对关键而又容易出错的地方作了讲评.在在“例题分类解析例题分类解析”部分，讲解了：部分，讲解了：1.按随机按随机事件的运算关系求解；事件的运算关系求解；2.古典概型的概率计算古典概型的概率计算问题问题.在在下部分下部分中中,在在“例题分类解析例题分类解析”部分，部分，讲解了：讲解了：3.条
2、件概率与概率乘法公式的应用；条件概率与概率乘法公式的应用；4.全概率公式与贝叶斯公式；全概率公式与贝叶斯公式；5.随机事件的独随机事件的独立性问题；立性问题；6.证明题证明题.三、学习与研究方法三、学习与研究方法.习题课一（上）内容简介：习题课一（上）内容简介：上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 从客观存在的两类现象从客观存在的两类现象确定性现象和确定性现象和随机现象随机现象出发出发,考察随机试验及其随机试考察随机试验及其随机试验的三个特点验的三个特点.将随机试验出现的每一个可能将随机试验出现的每一个可能结果定义为样本点结果定义为样本点,所有的样本点组成样本空所有的样本点组成样本
3、空间间,样本空间的子集定义为随机事件样本空间的子集定义为随机事件,从而将从而将集合论的基本理论引入概率论中集合论的基本理论引入概率论中.内容简介内容简介:上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 对于随机事件对于随机事件,首先首先,研究了事件研究了事件之间的各种关系之间的各种关系,提出了和事件、积事件、提出了和事件、积事件、差事件、对立事件、互不相容事件、完备事件差事件、对立事件、互不相容事件、完备事件组等概念组等概念.其次其次,定义了在每一次试验中事件发定义了在每一次试验中事件发生的可能性大小的数量指标生的可能性大小的数量指标概率概率.第三第三,分分析了两个事件发生的先后影响关系析了
4、两个事件发生的先后影响关系条件概条件概率问题率问题.第四第四,分析了两个事件或多个事件的横分析了两个事件或多个事件的横向影响关系向影响关系,建立了事件的独立性理论建立了事件的独立性理论.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 本章重点本章重点:1.随机事件的概念及其有关运算随机事件的概念及其有关运算;2.概率的定义及其计算概率的定义及其计算;3.乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式及应用及应用;4.条件概率的问题及有关运算条件概率的问题及有关运算;5.事件的独立性事件的独立性.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 1.用集合表示样本空间和事件用
5、集合表示样本空间和事件;2.乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式及其应用及其应用;本章难点：本章难点：3.随机事件的独立性随机事件的独立性.一、一、主要内容归纳主要内容归纳 1.基本概念基本概念上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 表表1-1 1-1 随机事件的概念随机事件的概念每次试验中一定不发生的事件每次试验中一定不发生的事件,记为记为 不可能事件不可能事件 每次试验中一定发生的事件每次试验中一定发生的事件,记为记为 必然事件必然事件 样本空间中满足某些条件的子集称为随机事样本空间中满足某些条件的子集称为随机事件件,通常用通常用A,B,C,表示表示.
6、随机事件随机事件 随机试验随机试验E的所有样本点组成的集合的所有样本点组成的集合,称为样称为样本空间本空间.通常用通常用表示表示.样本空间样本空间 随机试验随机试验E的每一个可能的结果的每一个可能的结果,称为称为样本点样本点.通常用通常用表示表示.样样 本本 点点 2.随机事件运算及其性质随机事件运算及其性质上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 事件的包含事件的包含 事件事件A的发生必然导致的发生必然导致B的发生的发生,称事件称事件B包含事件包含事件A,或或A是是B的子事件的子事件.记作记作A B或或B A 事件相等事件相等 如果有如果有A B且且B A,称事件称事件A与事件与事件
7、B相等，记作相等，记作A=B.事件的和事件的和(并并)事件事件A与与B中至少有一个事件发生中至少有一个事件发生,称为事件称为事件A与事件与事件B的和事件的和事件,记作记作AB或或A+B.事件的积事件的积(交交)事件事件A与与B同时发生同时发生,称为事件称为事件A与事件与事件B的积事件，记的积事件，记作作AB或或AB.事件的差事件的差 事件事件A发生而事件发生而事件B不发生不发生,记作记作A-B.互斥事件互斥事件 事件事件A与事件与事件B不能同时发生不能同时发生,即即AB=,也称也称A与与B为为互不相容事件互不相容事件.对立事件或逆对立事件或逆事件事件 若若A是一个事件是一个事件,令令 =-A,
8、称称 是是A的对立事件或事的对立事件或事件件A的逆事件的逆事件.表表1-2 随机事件运算随机事件运算上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (1)在一次试验中在一次试验中,基本事件都是两两互基本事件都是两两互斥的斥的.讲评讲评 (2)对立事件一定是互斥事件对立事件一定是互斥事件,但互斥事件但互斥事件不不 一一 定是对立事件定是对立事件.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回交换律交换律 AB=BA,AB=BA.结合律结合律 ABC=A(BC)=(AB)C,ABC=(AB)C=A(BC).分配律分配律 A(BC)=ABAC,或或A(BC)=(AB)(AC),ABC=(AB)(
9、AC),或或A(BC)=(AB)(AC).对偶律对偶律 互反律互反律 表表1-3 随机事件的运算性质随机事件的运算性质上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (1)对偶律通常叫做德对偶律通常叫做德摩根律摩根律,在处理关于和事件、积事件及对立事件的在处理关于和事件、积事件及对立事件的关系时经常会使用到它关系时经常会使用到它.讲评讲评(2)经常利用文氏图分析事件的运算关系经常利用文氏图分析事件的运算关系.3.概率的公理化定义概率的公理化定义 设设E是随机试验是随机试验,是是E的样本空间的样本空间.若对于若对于E的每一随机事件的每一随机事件A,有确定的实数有确定的实数P(A)与之对与之对应
10、应,如果集合函数如果集合函数P()满足下列条件：满足下列条件：上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)+,则实数则实数P(A)称为事件称为事件A的的概率概率.(1)非负性非负性:对于每一事件对于每一事件A,有有P(A)0；(2)规范性规范性:对必然事件对必然事件,P()=1；(3)可列可加性可列可加性:对于两两互不相容的可对于两两互不相容的可列无穷多个事件列无穷多个事件A1,A2,An,有有上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An).对于两两互不相容的对于两两互不相容的n个
11、个事件事件A,A2,An,有有 若若A B,则则P(BA)=P(B)P(A);若若A B,则则P(A)P(B).概率的性质概率的性质性质性质1性质性质2 性质性质3 设设 是是A的对立事件的对立事件,则则P()=1-P(A).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回设设A,B为任意的两个事件为任意的两个事件,则则P(AB)=P(A)+P(B)P(AB).推广推广性质性质4 P(A1 A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)P(A1A2)P(A1A3)P(A2A3)+P(A1A2A3).P(A1 A2 A3An)+(-1)P(A1A2An).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页
12、返回返回 (2)巧妙地运用对立事件的性质巧妙地运用对立事件的性质,即性质即性质3,可收到事半功倍的效果可收到事半功倍的效果.一般地讲一般地讲,求事件求事件“至多出现多少次至多出现多少次”或或“至少出现多少次至少出现多少次”的的事件概率时事件概率时,用它的对立事件求解较为方便用它的对立事件求解较为方便.(3)概率减法公式概率减法公式:即性质即性质2可推广为可推广为:设设A,B 为任为任意的两个事件意的两个事件,则则 (1)性质性质1与性质与性质4的区别的区别:仅当仅当A,A2,An 是两两互斥事件组时才可用性质是两两互斥事件组时才可用性质1.讲评讲评 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回
13、返回 设设A,B为随机试验为随机试验E的两个事件的两个事件,且且P(A)0,则称则称P(B|A)=为在事件为在事件A发生的条发生的条件下事件件下事件B发生的条件概率发生的条件概率.5.条件概率的问题条件概率的问题对于任意的事件对于任意的事件A,B,乘法公式乘法公式 (1)若若P(A)0,则则P(AB)=P(A)P(B|A)；(2)若若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 设设A1,A2,An是是n(n2)个事件个事件,且且 P(A1A2An-1)0,则有则有 P(A1A2An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
14、P(An|A1A2An-1).推广推广 特别地特别地,当当n=3时时,对于三个事件对于三个事件A,B,C,若若P(AB)0,则有则有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回讲评讲评 (2)如何用概率乘法公式：问题是积事件如何用概率乘法公式：问题是积事件关系，同时涉及条件概率问题关系，同时涉及条件概率问题.(1)注意注意P(AB)与与P(B|A)的区别的区别:凡涉及到凡涉及到A与与B“同时发生同时发生”,用用P(AB);有有“包包含关系含关系”或或“条件关系条件关系”的用的用P(B|A).从样本从样本空间上讲空间上讲,计算计算P(B|A)
15、时的样本空间可以是时的样本空间可以是A,而计算而计算P(AB)的样本空间为的样本空间为.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回6.全概率公式全概率公式P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(Bn)P(A|Bn)=.特别地特别地,设试验设试验E的样本空间为的样本空间为,B1,B2,Bn为为的一个划分的一个划分,且且P(Bi)0(i=1,2,n),则对则对E的的任一事件任一事件A,有有上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (1)全概率公式是计算概率的一个全概率公式是计算概率的一个很重要的公式很重要的公式,通常把通常把B1,B2,Bn看成导致看成导致A
16、发发生的一组原因生的一组原因(或情形或情形).如若如若A是是次品次品,则必则必是是n个车间生产了次品个车间生产了次品;若若A是是某人患某种疾某人患某种疾病病,则必是几种病因导致了则必是几种病因导致了A发生发生;若若A表示表示飞机被击中飞机被击中,则必有几种方式或几个人击中则必有几种方式或几个人击中飞机飞机.讲评讲评上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (3)如何用全概率公式如何用全概率公式:将将“几种情形几种情形”构构成完备事件组，或将第一次试验的样本空间成完备事件组，或将第一次试验的样本空间分解成两两互斥的完备事件组分解成两两互斥的完备事件组.(2)何时用全概率公式何时用全概率公
17、式:所论结果的发生所论结果的发生是由几种情形导致的，或所论问题一般是由几种情形导致的，或所论问题一般出现先后两次试验出现先后两次试验.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回7.逆概率公式逆概率公式(贝叶斯公式贝叶斯公式)设试验设试验E的样本空间为的样本空间为，A为为E的事件的事件,B1,B2,Bn为样本空间为样本空间的一个划分的一个划分,且且P(A)0,P(Bi)0(i=1,2,n),则则P(Bi|A)=（i=1,2,n).特别地，特别地，上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (1)贝叶斯公式可以这样记忆贝叶斯公式可以这样记忆:分母为分母为全概率公式全概率公式,是是n项之
18、和；分子是分母中的某一项之和；分子是分母中的某一项项(2)如何用贝叶斯公式：参见全概率公式如何用贝叶斯公式：参见全概率公式.讲评讲评8.随机事件的独立性随机事件的独立性 设设A,B是两个事件是两个事件,若满足等式若满足等式 P(AB)=P(A)P(B),则称事件则称事件A与与B是是相互独立的相互独立的,简称简称A,B独立独立.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回则称这则称这n个事件个事件相互独立相互独立.设设A1,A2,An是是n(n2)个事件个事件,如如果对于任意的果对于任意的k(2kn)个事件个事件,都有都有推广推广 设设A1,A2,An是是n(n2)个事件个事件,如果对于任如
19、果对于任意的两个事件意的两个事件,都有都有则称这则称这n个事件个事件两两独立两两独立.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回讲评讲评两两独立两两独立.(2)A1,A2,An相互独立相互独立 A1,A2,An A1,A2,An两两相互独立两两相互独立A1,A2,An 相互独立相互独立.,与与B 四对事件或者都独立四对事件或者都独立,或者都不独立或者都不独立.(1)若四对事件若四对事件A与与B,A与与与与 中有一对独立中有一对独立,则另外三对也独立则另外三对也独立,即这即这上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (3)不要把两个事件的独立性与互不相容不要把两个事件的独立性与互不
20、相容混为一谈混为一谈.独立与互斥之间没有必然的互推关独立与互斥之间没有必然的互推关系系.但有结论但有结论:若若A与与B互斥互斥,且且P(A)0,P(B)0,则则A与与B不独立不独立.用定义即可得证用定义即可得证.特别地特别地,三个随机事件三个随机事件A1,A2,A3相互相互独立与两两独立是不同的两个概念独立与两两独立是不同的两个概念.(4)若若n(n2)个事件个事件A1,A2,An相互独立相互独立,则将则将 A1,A2,An中任意多个事件换成它们的对中任意多个事件换成它们的对立事件立事件,所得的所得的n个事件仍相互独立个事件仍相互独立.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 本题目涉
21、及两个事件本题目涉及两个事件之积之逆之积之逆的的关系的定义与运算关系的定义与运算.二、例题分类解析 1.按随机事件的运算关系求解按随机事件的运算关系求解 例例1(多选题多选题)设设A,B是两个随机事件是两个随机事件,则则 表示事件表示事件().(A)A,B都不发生都不发生.(B)A,B不同时发生不同时发生.(C)A,B中至多有一中至多有一 (D)A,B中至少有一中至少有一 个发生个发生.个不发生个不发生.分析分析上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解解 因为因为AB表示事件表示事件A与与B同时发生同时发生,所所以它的对立事件以它的对立事件 应表示应表示“A与与B不同时发生不同时发生
22、”,而不是而不是A与与B都不发生都不发生,因此去掉选项因此去掉选项(A)，而选，而选(B).又因又因为为 ,所以所以 表示表示“与与 至少有一至少有一个发生个发生”,即即“A,B中至少有一个不发生中至少有一个不发生”,因此有选项因此有选项(D).而对于两个事件来说而对于两个事件来说,“至少有一个不发生至少有一个不发生”,也就是也就是“至多有一个发生至多有一个发生”,应选应选(C).综上分析综上分析,答案应选答案应选(B),(C),(D).上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 考查事件的数学符号与描写文字表述考查事件的数学符号与描写文字表述的对应关系的对应关系.同一事件可以有不同的表
23、述方式同一事件可以有不同的表述方式.(1)此题目可以进一步对三个或多此题目可以进一步对三个或多个事件进行考查个事件进行考查.(2)日常语言、文字表述与数学日常语言、文字表述与数学符号描写的正确对应关系是我们学好概率论的符号描写的正确对应关系是我们学好概率论的基础问题基础问题,是读者数学素质和数学能力的表现是读者数学素质和数学能力的表现.因因此此,读者读者 应有意识地加强这方面的训练应有意识地加强这方面的训练.参见例参见例2.讲评讲评 扩展扩展上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例2 设设A,B,C是三个事件是三个事件,用用A,B,C的运算关系的运算关系 表示下列事件表示下列事件
24、:(1)A,B都发生都发生,而而C不发生不发生;(2)A,B,C中至少有一个发生中至少有一个发生;(3)A,B,C中恰有一个发生中恰有一个发生;(4)A,B,C中恰有两个发生中恰有两个发生;(5)A,B,C中不多于一个发生中不多于一个发生;(6)A,B,C中不多于两个发生中不多于两个发生;(7)A,B,C都不发生都不发生;(8)A,B,C至少有两个发生至少有两个发生;(9)A,B至少有一个发生至少有一个发生,C 不发生不发生.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 本题目涉及到事件运算的定义本题目涉及到事件运算的定义.要正确表示事件要正确表示事件,首先要准确理解所要首先要准确理解所要
25、表示的事件的意义及事件运算的定义表示的事件的意义及事件运算的定义.分析分析解解(1)(2)(3)(4)(5)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 对事件的文字表述与数学符号描对事件的文字表述与数学符号描写的对应关系的考查是考试的重点之一写的对应关系的考查是考试的重点之一.(6)或或(7)(8)(9)此题目可以进一步考查多个事件此题目可以进一步考查多个事件之间的运算关系之间的运算关系.参见例参见例1.1.讲评讲评扩展扩展上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 2.古典概型的概率计算问题古典概型的概率计算问题 例例 若若10个产品中有个产品中有7个正品个正品,3个次品个次品.
26、(1)不放回地每次从中任取一个不放回地每次从中任取一个,共取共取3次次,求取到求取到3个次品的概率个次品的概率;(2)每次从中任取一个每次从中任取一个,有放回地取有放回地取3次次,求求取到取到3个次品的概率个次品的概率;(3)每次从中任取一个每次从中任取一个,不放回地取不放回地取3次次,求求取到取到2个正品个正品1个次品的概率个次品的概率.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (1)设设A=“取到取到3个次品个次品”,由于此试验由于此试验是不放回抽取是不放回抽取3次次,所以所以3次取产品分别是从次取产品分别是从10个、个、9 个、个、8个中任取一个个中任取一个,共有共有1098种不
27、同种不同的取法的取法,而而3次取到次取到3个次品共有个次品共有321种不同种不同取法取法,所以所以 本题目涉及到有放回抽取与无本题目涉及到有放回抽取与无放回抽取放回抽取.关键是搞清楚两者的区别关键是搞清楚两者的区别.分析分析解解上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回P(A)=次取到次取到3个次品共有个次品共有333=27种不同取法种不同取法.于是于是 (2)设设A=“取到取到3个次品个次品”,由于此试验由于此试验是有放回取是有放回取3次次,所以所以3次取产品分别都是次取产品分别都是从从10个中任取一个中任取一种不同取法，而种不同取法，而3个个,共有共有上页上页下页下页返回返回上页上页
28、下页下页返回返回 于是于是 (3)设设A=“取到取到2个正品个正品,1个次品个次品”,将试验理解为从将试验理解为从10个产品中一次任取个产品中一次任取3个产品个产品,于于是样本空间中样本点的个数为是样本空间中样本点的个数为 事件事件A包含包含的样本点个数为的样本点个数为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (1)该题目意在加深对古典概型该题目意在加深对古典概型中随机摸球模型的理解中随机摸球模型的理解;(2)在计算样本在计算样本空间所含的样本点个数及事件所含的样本点个空间所含的样本点个数及事件所含的样本点个数时常用到排列、组合、乘法原理和加法原理数时常用到排列、组合、乘法原理和加法原
29、理等重要知识等重要知识;(3)有顺序用排列知识，无顺序用有顺序用排列知识，无顺序用组合知识组合知识.(1)在理论应用方面在理论应用方面,此题目可以确此题目可以确定为摸球问题或产品抽样问题等模型定为摸球问题或产品抽样问题等模型.讲评讲评扩展扩展 (2)“任取任取k件件”与与“有放回地逐件抽取有放回地逐件抽取k件件”,所得概率是不同的所得概率是不同的.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 例例4 罐中有罐中有12颗围棋子颗围棋子,其中其中8颗颗白子白子,4颗黑子颗黑子.从中任取从中任取3颗颗.求求:(1)取到的都是白子的概率取到的都是白子的概率;(2)取到两颗白子取到两颗白子,一颗黑子
30、的概率一颗黑子的概率;(3)取到的三颗棋子中至少有一颗黑子的取到的三颗棋子中至少有一颗黑子的概率概率;(4)取到的三颗棋子颜色都相同的概率取到的三颗棋子颜色都相同的概率.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 本题目的模型是摸球问题本题目的模型是摸球问题.注意搞清楚注意搞清楚“至少至少”或或“至多至多”的内涵的内涵.设设A1=“取到的都是白子取到的都是白子”,A2=“取取到两颗白子到两颗白子,一颗黑子一颗黑子”,A3=“取到的三颗棋子取到的三颗棋子中至少有一棵是黑子中至少有一棵是黑子”,A4=“取到的都是黑子取到的都是黑子”,B=“取到的三颗棋子颜色相同取到的三颗棋子颜色相同”.依据
31、题依据题意，得到意，得到分析分析解解(1)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回(2)(3)(4)显然显然 ,因为因为A1与与A4互不相容互不相容,且且 所以所以,由概率加法公式得到由概率加法公式得到上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 求解求解“至少至少”或或“至多至多”的问题时的问题时,通常用它的通常用它的“对立事件对立事件”解答较为简便解答较为简便.(1)在基本理论方面在基本理论方面,对概率的一般加法公对概率的一般加法公式、加法公式和对立事件的概率公式要学会式、加法公式和对立事件的概率公式要学会合应用合应用.讲评讲评 (2)在基本方法方面在基本方法方面,在处理有关在
32、处理有关“至少至少”或或“至多至多”问题时常用它的对立事件概率去解决问题时常用它的对立事件概率去解决.扩展扩展上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 (3)在古典概型的概率计算中在古典概型的概率计算中,对摸球对摸球问题问题(也叫随机取样问题也叫随机取样问题)，必须熟练掌握，必须熟练掌握,特别是超几何分布公式更是常用特别是超几何分布公式更是常用.七、习题布置七、习题布置 第一章内容小结第一章内容小结 总习题一总习题一 A A组组 2 2、4 4、1313、1414、19.19.B B组组 2 2、4 4、10.10.参考文献与联系方式参考文献与联系方式1 郑一郑一,王玉敏王玉敏,冯宝成
33、冯宝成.概率论与数理统计概率论与数理统计.大连大连理理 工大学出版社，工大学出版社，2015年年8月月.2 郑一郑一,戚云松戚云松,王玉敏王玉敏.概率论与数理统计学习指概率论与数理统计学习指 导书导书.大连理工大学出版社，大连理工大学出版社，2015年年8月月.3 郑一郑一,戚云松戚云松,陈倩华陈倩华,陈健陈健.光盘：概率论与数光盘：概率论与数理理 统计教案统计教案 作业与试卷及答案作业与试卷及答案 数学实验视频数学实验视频.大大 连理工大学出版社，连理工大学出版社，2015年年8月月.4 王玉敏王玉敏,郑一郑一,林强林强.概率论与数理统计教学实验概率论与数理统计教学实验 教材教材.中国科学技术出版社，中国科学技术出版社，2007年年7月月.联系方式联系方式：