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1、LOGO自动控制原理自动控制原理教学课件教学课件自动控制原理课程教学组自动控制原理课程教学组6.1 非线性系统概述非线性系统概述 6.2 描述函数法描述函数法 6.3 非非线性系统分析与应用线性系统分析与应用 6.4 MATLAB应用实例应用实例 第6章 非线性系统分析6.1 非线性系统概述自动控制系统中所包含的非线性特性可以分为两类。v 非本质非线性 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。v 本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性。6.1.1 典型非线性特性常见的典型非线性特征有以下几种：1.饱和非线性 2.死区特性 3.具有不灵敏区的饱和特性具有不灵敏区的饱和特性 4.继电
2、特性继电特性 5.间隙特性间隙特性 v 饱和非线性 实际的放大器只能在一定的输入范围内保持输出量和输 入量之间的线性关系。当输入量超出该范围时，其输出 量则保持为一个常值。饱和非线性特性如图a所示。死区特性 一般的测量元件、执行机构都具有不灵敏区特性。只有在输入信号大到一定程度以后才会有输出。一般的机械系统、电机等,都不同程度地存在死区。这种只有当输入量超过一定值后才有输出的特性称为死区特 性，如图b所示。具有不灵敏区的饱和特性 在很多情况下，系统的元件同时存在死区特性和饱和限 幅特性。譬如，测量元件的最大测量范围与最小测量范 围都是有限的。具有不灵敏区的饱和特性如图c所示。（磁敏传感器）磁敏
3、传感器）磁敏传感器）磁敏传感器）霍尔元件霍尔元件霍尔元件霍尔元件霍尔元件霍尔元件+U UHH继电特性 由于继电器吸合电压与释放电压不等,使其特性中包含了死区、回环及饱和特性，如图所示。0i ma时，触头吸合；时，触头吸合；i 1x01，t lnx0/(x0 1)时时，随随t增增大大，x(t)递递增增；t=lnx0/(x0 1)时，时，x(t)为无穷大。为无穷大。当当x01x01ln x0 x0 13.自持振荡问题 产生某一固定振幅和频率的振荡（一种稳定的周期运动）。非线性系统出现的这种周期运动称为自持振荡或简称为自振。4.对正弦输入信号的响应 非线性系统对正弦输入信号的响应比较复杂，其稳态输出
4、除了包含与输入频率相同的信号外，还可能有与输入频率成整数倍的高次谐波分量。非线性系统与线性系统的比较线性系统 非线性系统 数学模型 线性微分方程（迭加原理）非线性微分方程（不能用迭加原理）稳定性 与系统结构参数有关 与系统结构参数、初始条件 外部输入有关运动状态 稳定或不稳定 稳定、不稳定、自持振荡 研究重点 稳定性、动态及静态性能稳定性、自持振荡研究方法 传函、频率法等相平面法、描述函数法、波波夫法，李亚普诺夫法等 典型环节比例 惯性 积分 微分 振荡等 饱和、死区、间隙、继电器等 6.1.3 非线性系统的分析方法目前，工程上广泛应用的分析和设计非线性控制系统的方法是描述函数法和相平面分析法
5、。描述函数法 是一种近似方法，相当于线性理论中频率法的推广。方法不受阶次的限制，且所得结果也比较符合实际，故得到了广泛应用。相平面分析法 适用于一、二阶非线性系统的分析，方法的重点是将二 阶非线性微分方程变写为以输出量及输出量导数为变量 的两个一阶微分方程。然后依据这一对方程，设法求出 其在上述两变量构成的相平面中的轨线，并由此对系统 的时间响应进行判别。6.2描述函数法 基本思想：当系统满足一定的假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。6.2.1 描述函数法的基本概念描述函数法的基本概念v 描述函数法主要用来
6、分析在无外作用的情况下，非线性系统的稳定性和自振荡问题。v 这种方法不受系统阶次的限制，对系统的初步分析和设计十分方便，获得了广泛应用。v 描述函数法是一种近似的分析方法，它的应用有一定的限制条件。应用描述函数法分析非线性系统时，要求元件和系统 必须满足以下条件：(1)非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性环 节和一个线性部分相串联的典型形式；(2)非线性环节的输入输出特性是中心对称的，即y(x)-y(-x)；(3)系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。描述函数的定义 针对一任意非线性系统，设输入x=Asint,输出波形为y(t)，则可以将y(t)表示为富氏级数形式 设非线性元件的输出为奇
7、对称函数谐波线性化的处理方法是：以输出y(t)的基波分量近 似地代替整个输出。亦即略去输出的高次谐波，将 输出表示为 这意味着一个非线性元件在正弦输入下，其输出也是 一个同频率的正弦量，只是振幅和相位发生了变化。这与线性元件在正弦信号作用下的输出具有形式上的 相似性，故称上述近似处理为谐波线性化。描述函数法的定义：输入为正弦函数时，输出的基波分量 与输入正弦量的复数比。其数学表达式为 6.2.2 典型非线性特性的描述函数理想继电器特性的描述函数将y(t)傅氏展开得斜对称、奇函数A0=An=0 理想继电器特性死区继电器特性y(t)ty(t)ty(t)tty(t)滞环继电器特性饱和特性死区特性死区
8、饱和特性间隙、滞环特性一般非线性一般非线性 描描述述函函数数不不仅仅适适合合于于分分段段线线性性系系统统，也也适适合合于于一一般般非非线线性性系系统统，只只要要能能求求出出非非线线性性环环节节的的描描述述函函数数。我我们们举一个例子举一个例子:因为它是单值、奇对称的，因为它是单值、奇对称的，先求出，先求出 ：所以所以 和和非非线线性性特特性性 求求出出输输出出 ，然然后后由由积积分式求出分式求出 ，最后由求出，最后由求出 。概括起来，求描述函数的过程是：先根据已知概括起来，求描述函数的过程是：先根据已知的输入的输入 以上介绍了描述函数的基本求法，对于复杂的非线以上介绍了描述函数的基本求法，对于
9、复杂的非线性特性，完全可以利用这种力法求出其描述函数，但计性特性，完全可以利用这种力法求出其描述函数，但计算也复杂得多。此时也可以将复杂的非线件特性分解为算也复杂得多。此时也可以将复杂的非线件特性分解为若干个简单非线性特性的组合，即串并联，再由已知的若干个简单非线性特性的组合，即串并联，再由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线件特件的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线件特件的描述函数。描述函数。6.2.3 组合非线性特性的描述1非线性特性的并联计算非线性特性的并联计算 设有两个非线性环节并联，且其非线性特性都是设有两个非线性环节并联，且其非线性特性都是单值函数，即它们的描述函数
10、都是实数。单值函数，即它们的描述函数都是实数。x(t)y1(t)y11(t)N1y12(t)N2 y1(t)=y11(t)+y12(t)=N1Asin t+N2Asin t =(N1+N2)Asin t N=(N1+N2)总的描述函数总的描述函数 若干个非线性环节并联后的总的若干个非线性环节并联后的总的 描述函数，等于描述函数，等于各非线性环节描述函数之和。当各非线性环节描述函数之和。当N1和和N2是复数时，该是复数时，该结论仍成立。结论仍成立。0M0kxy+xk0My 例例例例6-16-1 一个具有死区的一个具有死区的非线性环节，求描述函数非线性环节，求描述函数N(A)。解：该死区非线性特性
11、可分解为解：该死区非线性特性可分解为一个死区继电一个死区继电器特性器特性和和一个典型死区特性一个典型死区特性的并联，描述函数为的并联，描述函数为2非线性特性的串联计算非线性特性的串联计算必须首先求出这两个非线性环节串联后等效的非线性必须首先求出这两个非线性环节串联后等效的非线性特性，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。特性，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。x(t)N1y(t)N2z(t)1 20 x y 例例6-2 求图所示两个非线性特性串联后总的描述函求图所示两个非线性特性串联后总的描述函数数N(A)。k1=11 20 xz1 20 z yk2=2k=2等效为一个死区加饱和的
12、非线性特性，分解为两个具等效为一个死区加饱和的非线性特性，分解为两个具有完全相同的线性区斜率有完全相同的线性区斜率k=2和不同死区宽度和不同死区宽度 1=1及及 2=2的死区特性的并联相减。的死区特性的并联相减。两个非线环节并联使非线性特性发生改变示例6.2.3 非线性系统的描述函数分析法基本假设 可归化为下图所示的典型结构。v v 当讨论自振及稳定性时，只研究由系统内部造成的周期运动，不考虑外力作用，因此，认为外作用为0。非线性部分输出中的高次谐波振幅小于基波振幅。线性部分的低通滤波效应较好，高次谐波可忽略。非线性系统的稳定性(乃奎斯特判据)若开环稳定，则闭环稳定的充要条件是G(j)轨迹不包
13、围复平面的(-1,j0)。负倒描述函数（描述函数负倒特性负倒描述函数（描述函数负倒特性)线性系统(-1,j0)?设：系统开环的线性部分G(j)稳定 G(j)与负倒描述函数相交 闭环系统出现自持振荡(极 限环振荡)稳定？不稳定？振幅（A）？频率()？微小扰动分析法当微小扰动使振幅A增大到c点时，c点“(-1,j0)”被G(j)轨迹包围，系统不稳定；振幅A继续增大；不能返回到a。当微小扰动使振幅A减小到 d点，d点“(-1,j0)”未被G(j)轨迹包围，系统稳定；振幅A继续减小；不能返回到a。a点为不稳定自振交点。当微小扰动使振幅A增大到e点 时，e点“(-1,j0)”未被G(j)轨迹 包围，系统
14、稳定；振幅A减小；返回到b。当微小扰动使振幅A减小到f点，f点“(-1,j0)”被G(j)轨迹包围，系统不稳定；振幅A增大；返回到b。b点为稳定自振交点。基准负倒数描述函数基准负倒数描述函数理想继电器特性非线性特性的尺度系数非线性特性的尺度系数死区继电器特性具有饱和特性的非线性系统Aa时A 时负倒描述函数轨迹=实轴上（-1/k,-)具有死区特性的非线性系统Aa时A 时负倒描述函数轨迹=实轴上（-,-1/k)。具有间隙特性的非线性系统负倒描述函数为 G平面上一条曲线。A 时具有理想继电器特性的非线性系统负倒描述函数轨迹为整个负实轴具有滞环继电器特性的非线性系统负倒描述函数为第三象限内平行于横轴的
15、一组直线。例6-3：判断系统是否有自持振荡，若有，则求其振幅和频率。解：非线性环节：例6-4：判断系统是否有自持振荡，若有，则求其振幅和频率。线性环节：自振频率：自振振幅：补充补充:一、结构图的等效变换一、结构图的等效变换1 1 由于在讨论自振及稳定性时，只研究由系统内部由于在讨论自振及稳定性时，只研究由系统内部产生的周期运动，并不考虑外作用，因此在将结构产生的周期运动，并不考虑外作用，因此在将结构简化时，可以认为所有外作用均为零，只考虑系统简化时，可以认为所有外作用均为零，只考虑系统的封闭回路。的封闭回路。2 2 与线性系统等效变换一样，简化的原则是信号的与线性系统等效变换一样，简化的原则是
16、信号的等效变换。等效变换。二、非线性特性的应用非线性阻尼控制非线性阻尼控制非线性因素对线性系统的性能会带来不利的影响，如有目的的引入非线非线性因素对线性系统的性能会带来不利的影响，如有目的的引入非线非线性因素对线性系统的性能会带来不利的影响，如有目的的引入非线非线性因素对线性系统的性能会带来不利的影响，如有目的的引入非线性环节，可使系统性能大幅度提高，甚至达纯到线性系统无法实现的效果性环节，可使系统性能大幅度提高，甚至达纯到线性系统无法实现的效果性环节，可使系统性能大幅度提高，甚至达纯到线性系统无法实现的效果性环节，可使系统性能大幅度提高，甚至达纯到线性系统无法实现的效果.非线性阻尼下的阶跃响
17、应未引入微分反馈未引入微分反馈未引入微分反馈未引入微分反馈引入微分反馈引入微分反馈引入微分反馈引入微分反馈非线性阻尼非线性阻尼非线性阻尼非线性阻尼K试分析系统稳定性；试分析系统稳定性；如果系统出现自持振荡，如何消除之？如果系统出现自持振荡，如何消除之？K K2020，死区继电器特性，死区继电器特性M M3 3，a al l。三、改善非线性系统性能举例三、改善非线性系统性能举例三、改善非线性系统性能举例三、改善非线性系统性能举例Aa=1A G(jG(j)轨迹与负实轴交点频率值轨迹与负实轴交点频率值G(jG(j)轨迹与负倒描述函数有两个交点：轨迹与负倒描述函数有两个交点：a a不稳定自振交点不稳定
18、自振交点b b稳定自振交点稳定自振交点a a不稳定自振交点不稳定自振交点b b稳定自振交点稳定自振交点A11.11A22.3如要求稳定如要求稳定1 1）改变）改变G(j G(j )调整调整K KK2 2）改变）改变N(A):N(A):调整死区继电器特性的死区调整死区继电器特性的死区a a或输出幅值或输出幅值M M取取a=1a=1、M=2M=2自振分析(定量)自振必要条件：例1 分析系统的稳定性(M=1)，求自振参数。解 作图分析，系统一定自振。由自振条件：得：比较实/虚部：分析：可以调节K,t 实现要求的自振运动。解代入比较模和相角得例6-5 系统如右，欲产生 的周期信号,试确定K、t 的值。
19、例6-6 非线性系统结构图如右图所示，已知：(1)自振时,调整K使 。求此时的K值和自振参数(A,)以及输出振幅Ac。(2)定性分析K增大后自振参数(A,)的变化规律。解(1)(2)依图分析：例6-7 非线性系统结构图如右图所示，已知：(1)时，系统是否自振？确定使系统自振的K值范围；求K=2时的自振参数。(2)G3(s)=s 时，分析系统的稳定性。解 先将系统结构图化为典型结构解法II 特征方程法 解法I 等效变换法例6-8 非线性系统结构图如右图所示，用描述函数法说明系统是否自振，并确定使系统稳定的初值(A)范围。解 将系统结构图等效变换，求等效G*(s)G*(j)从稳定区穿到不稳定区的点
20、 不是自振点分析可知：使系统稳定的初始扰动范围为令解 将两非线性环节等效合并，结构图化为例6-9 非线性系统如图所示，分析系统是否存 在自振；若存在自振，确定输出端信号c(t)的振幅和频率。依自振条件比较虚实部分析可知：系统存在自振利用线性部分改造非线性例2 用局部反馈消弱非线性特性的影响例1 改变线性部分的参数利用非线性特性改造非线性例4 间隙特性的改造例3 饱和+死区 非线性特性的利用例5 为特定目的引入非线性环节例6 在测速反馈中引入死区 演示 演示 演示小小 结结、非线性系统的基本概念、非线性系统的基本概念、典型非线性、典型非线性、描述函数的概念和典型非线性的描述函数、描述函数的概念和
21、典型非线性的描述函数、描述函数分析方法、描述函数分析方法描述函数法的核心是计算非线性特性的描述函数和它的负倒特性分析系统的描述函数法的核心是计算非线性特性的描述函数和它的负倒特性分析系统的稳定性和自持振荡。稳定性和自持振荡。、非线性的应用和非线性校正。、非线性的应用和非线性校正。相平面法 适用于一、二阶非线性系统的分析，是时域分析法在非线性系统 中的推广。方法的重点 将二阶非线性微分方程变写为以输出量及输出量导数为变量的两 个一阶微分方程。然后依据这一对方程，设法求出其在上述两变 量构成的相平面中的轨线，并由此对系统的时间响应进行判别。6.3 相平面法相平面法相平面法所得结果比较精确和全面。但
22、是对于高 于二阶的系统，需要讨论变量空间中的曲面结 构，从而大大增加了工程使用的困难。相平面法的实质：将系统的运动过程形象化为相平面上一个点的移动，通过研究点移动的轨迹获得系统的运动规律的全部信息。即对一瞬间，系统处于一定状态时，可用几个变量来表示，如二阶系统，可用两个变量 来描述相应的状态，在平面上可定出一个点，随时间变化，就形成一轨线，称相轨迹，这个平面称为相平面。相轨迹的绘制：二阶系统：1.解析法2.等倾线法等倾线法：等倾线即为相轨迹上切线的斜率切线方向场切线方向场解解例例3 3 系统方程系统方程 ，用等倾斜线法绘制系统相轨迹图。，用等倾斜线法绘制系统相轨迹图。等倾斜线方程等倾斜线方程根
23、与相轨迹根与相轨迹j0j0j0节点稳定焦点中心不稳定节点不稳定焦点鞍点j0j0j0相轨迹的特征：2.通过x轴时，相轨迹与x轴垂直 v 时，相轨迹：从左 右（随x增加）时，相轨迹：从右 左（随x减小）1.4.奇点只可能出现在x轴上，对线性系统而言，奇点就是原点（平衡点）3.奇点和奇线 实奇点：奇点位于对应的线性工作区域内。虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外。奇点：相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇点。极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹，所有极限环附近的相轨迹都将卷向极限环，或从极限环卷出。极限环内部（或外部）的相轨迹，总是不可能穿过极限环而进入它的外部（或内部）。（1
24、）稳定极限环（2）不稳定极限环 在极限环附近的相轨迹是从极限环发散出去。在这种情况下，如果相轨迹起始于极限环内，则该相轨迹收敛于极限环内的奇点，如果相轨迹起始于极限环外，则该相轨迹发散至无穷远。（3）半稳定极限环 如果起始于极限环外部的相轨迹，从极限环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹，收敛于极限环;或者相反，起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环，而起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于圆点。非线性系统相平面分析随动系统分段线性化8.4 用MATLAB进行非线性控制系统分析通过具体例子，介绍MATLAB在描述函数法分析中的应用。在计算机辅助分析中用到了相对描述函数的概念。非线性系统自振时
25、 死区继电特性的非线性控制系统例：已知死区继电特性的非线性控制系统如图所示，其中继电特性参数为M1.7，死区特性参数为0.7，应用描述函数法作系统分析系统是否存在自振？若有自振须求出自振的振幅x与角频率。解：1.方法一（1）带死区的继电型非线性环节的描述函数为 其负倒数函数为 当X为变量，由开始增加时，曲线从负无穷处出发沿负实轴增加，相角始终为，所以 曲线位于平面 的负实轴上，幅值大小 随着X的增加先减后增，在X增加到 时，有极大值作 曲线。（2）在图上作 曲线，当140时，曲线穿过实轴。（3）当M1.7，0.7时，曲线的端点值为因此，曲线与 在 处两次相交，两次相交的X值分别为死区继电特性非
26、线性系统的描述函数法分析扰动作用使得系统的运动脱离A点。而在B点邻域两边的运动，基于奈氏稳定性判据而形成自持振荡。振荡频率与振荡幅值如图可知分别为对于A点邻域，被 曲线包围的段上，是增幅的，不被 曲线包围的段上，是减幅的。因此在A点邻，2.方法二：MATLAB软件辅助分析（1）线性部分的频率特性为：（2）死区继电特性的描述函数及相对描述函数：（3）在程序文件方式下执行以下MATLAB程 序OK1.m，在同一复平面上绘制非线性特性的 相对负倒描述函数与线性部分的Nyquist曲线。%MATLABPROGRAMOK1.m clear syms t x y z c m x;m=1.7;c=0.7;f
27、or x=0.71:0.1:7 x=c*4/(pi*x)*sqrt(1-(c/x)2);y=0;z=-1/x+j*y;plot(-1/x,y,k*)hold on end n=0 0 0 460;d=conv(conv(1 0,0.01 1),0.005 1);g=1.7/0.7*tf(n,d);for w=50:1:400 nyquist(g,w,w+1)hold on end 运行该程序，在同一复平面上绘制非线性特性的相对负倒描述函数与线性部分的Nyquist曲线如下图所示。相对负倒描述函数与Nyquist曲线 由于死区+继电特性的描述函数是自振振幅X的实函数，其相对负倒描述函数也是自振振
28、幅X的实函数，其虚部为零，曲线在负实轴上，与系统线性部分Nyquist曲线的交点也在横坐标上。分母有理化后，运行以下程序，由上式分子虚部为零求 syms w n;n=simple(j*(1-0.01*j*w)*(1-0.005*j*w)（4）利用交点在横坐标上，其虚部为零，求交点的角频率与交点的 交点的角频率运行结果为 n=i+3/200*w-1/20000*i*w2 交点虚部为零，运行以下程序求交点的角频率 w=solve(1-1/20000*w2=0)运行结果为 w=100*2(1/2)-100*2(1/2)即交点的角频率141.4rad/s。运行以下程序，将141.4rad/s代入线性部
29、分的频率特 syms w;w=141.4;g=2.43*460/(j*w*(0.01*j*w+1)*(0.005*j*w+1);A=abs(g)程序运行结果：A=3.7271 即交点的 性计算交点的（5）在此应用相对描述函数的概念。非线性系统自振时有 syms z;z=solve(-pi/4*z/sqrt(z-1)=-3.7271);c=0.7;x=sqrt(z)*c;x=vpa(x,3)运行以下程序，由 ，求自振的振幅X。程序运行结果：x=.717 3.24 (6)所得结果与方法一非常近似。本章小结v 本章介绍了经典控制理论中研究非线性控制系统的两种常用方法：描述函数法和相平面分析法。v 描述函数法主要用于分析非线性系统的自持振荡。利用本方法时，首先应检查系统是否满足应用描述函数法的限制条件，参阅7.2.1。v描述函数法的一个很大的特点是：分析不受系统阶数的限制。在系统存在一个以上非线性元件，且彼此之间又没有有效的低通滤波器隔开的情况下，一般可以把非线性元件结合在一起，并用一个等效的描述函数来描述。v相平面分析法是研究一、二阶非线性系统的一种图解方法。相平面图清楚地表示了系统在不同初始条件下的自由运动。v本章基本要求：了解非线性系统的特点；掌握非线性环节描述函数的求法及用描述函数法分析非线性系统的稳定性方法；熟悉相轨迹的概念和性质，掌握相轨迹的绘制方法。