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1、第8章 非线性控制系统分析本讲稿第一页，共七十六页 第八章第八章 非线性控制系统分析非线性控制系统分析研究非线性控制理论的意义研究非线性控制理论的意义以前讨论的自动控制理论以前讨论的自动控制理论,都是针对线性控制系统都是针对线性控制系统,所以也叫线性自动所以也叫线性自动控制理论控制理论.所谓线性控制系统是指系统中所有环节的输入输出都呈所谓线性控制系统是指系统中所有环节的输入输出都呈线性关系线性关系,若有的环节所具有的非线性特性不很强烈若有的环节所具有的非线性特性不很强烈,且可对其线且可对其线性化性化,则也可当作线性环节处理则也可当作线性环节处理.但如此处理后但如此处理后,应使对系统的分应使对系
2、统的分析和设计的精度满足工程上的要求析和设计的精度满足工程上的要求.系统中只要有一个环节的非线系统中只要有一个环节的非线性特性很强烈性特性很强烈,对其线性化将影响对系统分析和设计的精度或者对其线性化将影响对系统分析和设计的精度或者非线性环节属本质非线性无法对其线性化非线性环节属本质非线性无法对其线性化,则只能用非线性理论则只能用非线性理论对系统进行分析和设计对系统进行分析和设计.本讲稿第二页，共七十六页在工程实际中在工程实际中,大多数被控对象都具有非线性特性大多数被控对象都具有非线性特性,因此学习和研究因此学习和研究非线性控制理论具有很现实的意义非线性控制理论具有很现实的意义.在某些情况下在某
3、些情况下,在线性控制系统人在线性控制系统人为地加入适当的非线性因素反而有利于控制质量的提高为地加入适当的非线性因素反而有利于控制质量的提高.在系统中在系统中,只要有一个环节或元件有非线性特性只要有一个环节或元件有非线性特性,则整个系统就叫非线则整个系统就叫非线性系统性系统,如下图所示如下图所示.上图中上图中,大方框表示一大方框表示一具有理想继电特性的非线性环节具有理想继电特性的非线性环节,表示非线性系统中线性部分的传递函数表示非线性系统中线性部分的传递函数.本讲稿第三页，共七十六页非线性控制系统的特征非线性控制系统的特征n非线性控制系统有如下两个基本特征非线性控制系统有如下两个基本特征:n(1
4、)(1)非线性控制系统的基本数学模型是非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程非线性微分方程n(2)(2)非线性控制系统的性能不仅与系统本身的结构和参数数有非线性控制系统的性能不仅与系统本身的结构和参数数有关关,还与系统的初始状态及输入信号的形式和大小有关还与系统的初始状态及输入信号的形式和大小有关.由于非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程由于非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程,而从而从数学上讲数学上讲,非线性微分方程没有一个统一的解法非线性微分方程没有一个统一的解法,再由于第二再由于第二个特征个特征,对非线性控制系统也没有一个统一的分析和设计的方法对非线性控制系统也没有
5、一个统一的分析和设计的方法,只能具体问题具体对待只能具体问题具体对待.本章将介绍的分析非线性控制系统的本章将介绍的分析非线性控制系统的相平面法和描述函数法相平面法和描述函数法,是在是在非线性控制系统满足一定的条件下非线性控制系统满足一定的条件下,将线性控制理论的某些内将线性控制理论的某些内容给以扩充和变通后得出的容给以扩充和变通后得出的,因此具有一定的局限性因此具有一定的局限性.本讲稿第四页，共七十六页8.1 8.1 典型非线性特性典型非线性特性弱非线性系统（光滑、连续的非线性系统）弱非线性系统（光滑、连续的非线性系统）（泰勒级数展开法，非线性系统的线性化）（泰勒级数展开法，非线性系统的线性化
6、）强非线性系统强非线性系统(本质非线性本质非线性)（描述函数法，相平面法，计算机仿真）（描述函数法，相平面法，计算机仿真）本讲稿第五页，共七十六页非线性系统与线性系统的区别（非线性系统与线性系统的区别（1 1）线线性性系系统统的的稳稳定定性性只只取取决决于于系系统统的的结结构构和和参参数数，或或者者只只取取决决于于系系统统特特征征方方程程根根的的分分布布，而而和和初初始始条条件件、外外加加作作用用没没有关系有关系。对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概念。对于非线性系统，不存在系统是否稳定的笼统概念。必须具体讨论某一运动的稳定性问题。必须具体讨论某一运动的稳定性问题。非线性系统运动的稳定性
7、，非线性系统运动的稳定性，除了和系统的结构形式及除了和系统的结构形式及参数大小有关以外，还和初始条件有密切的关系参数大小有关以外，还和初始条件有密切的关系。本讲稿第六页，共七十六页非线性系统与线性系统的区别（非线性系统与线性系统的区别（2 2）线性系统自由运动的形式与系统的初始偏移无关。线性系统自由运动的形式与系统的初始偏移无关。非线性系统自由运动的时间响应曲线可以随着初始偏移不同非线性系统自由运动的时间响应曲线可以随着初始偏移不同而有多种不同的形式。而有多种不同的形式。本讲稿第七页，共七十六页非线性系统与线性系统的区别（非线性系统与线性系统的区别（3 3）线性系统在没有外作用时，周期运动只发
8、生在临界情况，而这一线性系统在没有外作用时，周期运动只发生在临界情况，而这一周期运动在物理上不可能实现的。周期运动在物理上不可能实现的。非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有可能发生非线性系统，在没有外作用时，系统中完全有可能发生一定一定频率和振幅的稳定的周期运动频率和振幅的稳定的周期运动，这个周期运动在物理上是可，这个周期运动在物理上是可以实现的，通常把它称为以实现的，通常把它称为自激振荡自激振荡。本讲稿第八页，共七十六页非线性系统与线性系统的区别（非线性系统与线性系统的区别（4 4）线性系统中，线性系统中，当输入量是正弦信号时，输出稳态分量也是当输入量是正弦信号时，输出稳态分量也是同频率
9、的正弦函数同频率的正弦函数，可以引入频率特性的概念并用它，可以引入频率特性的概念并用它来表示系统固有的动态特性。来表示系统固有的动态特性。非线性系统在正弦作用下的输出比较复杂。非线性系统在正弦作用下的输出比较复杂。本讲稿第九页，共七十六页非线性系统与线性系统的区别（非线性系统与线性系统的区别（5 5）在在线线性性系系统统中中，一一般般可可采采用用传传递递函函数数、频频率率特特性性、脉脉冲冲响响应函数应函数等概念。等概念。工工程程实实际际中中对对于于存存在在线线性性工工作作区区域域的的非非线线性性系系统统，或或者者非非线线性性不不严严重重(光光滑滑、连连续续）的的准准线线性性系系统统，常常常常采
10、采用用线线性化的方法进行处理性化的方法进行处理，然后在线性分析的基础上加以修正。，然后在线性分析的基础上加以修正。对对于于包包括括像像继继电电特特性性那那样样根根本本不不存存在在线线性性区区的的本本质质非非线线性性特特性性，工程上常用工程上常用相平面方法和描述函数方法相平面方法和描述函数方法进行研究。进行研究。本讲稿第十页，共七十六页1.1.饱和特性饱和特性 (1)(1)饱和现象饱和现象 饱和特性是控制工程中经常遇到饱和特性是控制工程中经常遇到 的一种非线性特性的一种非线性特性。例如，放大。例如，放大 器的输出饱和或输出限幅、具有器的输出饱和或输出限幅、具有 行程限制及功率限制的液压调节行程限
11、制及功率限制的液压调节 阀、伺服电机在大控制电压情况阀、伺服电机在大控制电压情况 下运行的转速特性、流通孔径限下运行的转速特性、流通孔径限 制等，它们的制等，它们的输出与输入量只在输出与输入量只在 某一范围内成线性关系（称为线某一范围内成线性关系（称为线 段），段），输入量超过这一范围后，输入量超过这一范围后，尽管输入量增加，但输出量变化尽管输入量增加，但输出量变化 很小，基本保持一常值，这种现象很小，基本保持一常值，这种现象 称为称为饱和现象饱和现象，其静特性如图所示。，其静特性如图所示。本讲稿第十一页，共七十六页()饱和特性的数学描述饱和特性的数学描述 理想饱和特性数学表达式描述如下理想饱
12、和特性数学表达式描述如下 或表示为或表示为 本讲稿第十二页，共七十六页 2 2死区特性死区特性 ()实际系统的死区实际系统的死区 系统的死区又称不灵敏区，是指系统的死区又称不灵敏区，是指 输入量输入量 的一个范围，当输入量的一个范围，当输入量 在这个范围内时，元件或系统没在这个范围内时，元件或系统没 有输出。有输出。()死区特性的数学描述死区特性的数学描述 在系统分析中，把死区特性理在系统分析中，把死区特性理 想化如图所示，其数学表达式为：想化如图所示，其数学表达式为：其中，其中，a a为死区宽度；为死区宽度；k k为线性输出特性的斜率。为线性输出特性的斜率。本讲稿第十三页，共七十六页()常常
13、见见的的具具有有死死区区特特性性的的实实际际系系统统或或元元件件不不灵灵敏敏区区在在控控制制系系统统的各类元件中都存在，只是程度不同。如：的各类元件中都存在，只是程度不同。如：）测速发电机转速很低时，输出电压几乎为）测速发电机转速很低时，输出电压几乎为0 0；）伺服电机的死区电压（启动电压）；）伺服电机的死区电压（启动电压）；）各种电路中的门槛值（阈值）；）各种电路中的门槛值（阈值）；）电气触头间隙；）电气触头间隙；）弹簧的预张力；）弹簧的预张力；6 6）气动或液压滑阀的搭接段。）气动或液压滑阀的搭接段。本讲稿第十四页，共七十六页 3.3.间隙特性间隙特性 ()实际系统中的间隙特性实际系统中的
14、间隙特性 在齿轮传动中，由于制造与装配中的误差，在一对啮合齿轮之在齿轮传动中，由于制造与装配中的误差，在一对啮合齿轮之间往往存在间隙。间往往存在间隙。在有间隙存在的齿轮系中，当主动轮作周期运动时，便出现在有间隙存在的齿轮系中，当主动轮作周期运动时，便出现如图所示的特性，这种特性称为如图所示的特性，这种特性称为间隙特性间隙特性。本讲稿第十五页，共七十六页()间隙特性的数学描述间隙特性的数学描述()常见的有间隙特性的实际系统常见的有间隙特性的实际系统 ）齿轮转动系）齿轮转动系 ）磁化特性）磁化特性 ）液压传动中的油隙特性）液压传动中的油隙特性 (4)(4)间隙特性的描述函数间隙特性的描述函数 危危
15、害害：使使系系统统输输出出信信号号在在相相位位上上产产生生滞滞后后，从从而而降降低低系系统统的的相对稳定性，使系统产生自持振荡。相对稳定性，使系统产生自持振荡。式中，为间隙宽度；为输出特性斜率。式中，为间隙宽度；为输出特性斜率。本讲稿第十六页，共七十六页功能：改善系统性能的切换元件功能：改善系统性能的切换元件（4 4）继电器特性）继电器特性理想继电器特性理想继电器特性具有死区的单值继电器特性具有死区的单值继电器特性具有滞环的继电器特性具有滞环的继电器特性本讲稿第十七页，共七十六页8.2 8.2 描述函数法描述函数法 8.2.1 8.2.1 描述函数法的基本思想与条件描述函数法的基本思想与条件8
16、.2.2 8.2.2 描述函数描述函数8.2.3 8.2.3 典型非线性特性的描述函数典型非线性特性的描述函数8.2.4 8.2.4 用描述函数分析非线性系统的自激震荡用描述函数分析非线性系统的自激震荡本讲稿第十八页，共七十六页1.1.基本思想基本思想 在非线性系统中，虽然没有受到外界周期性的振荡作用，但有时在非线性系统中，虽然没有受到外界周期性的振荡作用，但有时也会出现一种也会出现一种具有一定频率的不衰减的等幅振荡具有一定频率的不衰减的等幅振荡，这种振荡具，这种振荡具有一定的稳定性，受到某种干扰后，还能自动恢复到这种振荡状有一定的稳定性，受到某种干扰后，还能自动恢复到这种振荡状态。非线性系统
17、出现的这种振荡称为态。非线性系统出现的这种振荡称为自激振荡自激振荡。8.2.1 8.2.1 描述函数法的基本思想与条件描述函数法的基本思想与条件 可见，分析非线性系统的自激振荡时，可令可见，分析非线性系统的自激振荡时，可令r(t)=0r(t)=0。因此，任何只有。因此，任何只有一个非线性元件的系统均可化为如图所示的基本形式。一个非线性元件的系统均可化为如图所示的基本形式。非线性环节非线性环节线性部分线性部分本讲稿第十九页，共七十六页 当输入正弦函数时，其当输入正弦函数时，其输出输出x(t)x(t)中含有与输入信号频率相同的基波中含有与输入信号频率相同的基波分量，还有其它高频分量，但没有常值分量
18、。线性部分在分量，还有其它高频分量，但没有常值分量。线性部分在x(t)x(t)作用下产生的响应作用下产生的响应c(t)c(t)中，也会包含这些高频分量。中，也会包含这些高频分量。但很多线性系统但很多线性系统具有低通滤波特性具有低通滤波特性,c(t),c(t)中的高频分量相对于基波分量要小得多中的高频分量相对于基波分量要小得多。在这。在这种情况下，可以只考虑种情况下，可以只考虑x(t)x(t)中中基波分量基波分量的作用，用来近似分析的作用，用来近似分析非线性系统的特性，这就是非线性系统的特性，这就是描述函数法的基本思想描述函数法的基本思想。因此，描述函数的准确度依赖于基波分量是否比高次谐波分因此
19、，描述函数的准确度依赖于基波分量是否比高次谐波分量大得多。量大得多。描述函数法的基本思想是描述函数法的基本思想是用非线性元件的输出信号中的基波分量，代替用非线性元件的输出信号中的基波分量，代替非线性元件在正弦输入作用下的实际输出。非线性元件在正弦输入作用下的实际输出。所以这种方法又称为一次所以这种方法又称为一次谐波法。谐波法。本讲稿第二十页，共七十六页2 2基本条件基本条件 描述函数法的描述函数法的应用条件应用条件是：是：1 1）非线性特性是斜对称的，这样输出中的常值分量为零；）非线性特性是斜对称的，这样输出中的常值分量为零；2 2）线性部分具有较好的低通滤波特性，以衰减高次谐波；）线性部分具
20、有较好的低通滤波特性，以衰减高次谐波；3 3）非线性特性不是时间函数，因为描述函数法本质上）非线性特性不是时间函数，因为描述函数法本质上 是频率法的推广，而频率法对时变系统不适用；是频率法的推广，而频率法对时变系统不适用；4 4）系统中的非线性特性能简化为一个非线性环节。）系统中的非线性特性能简化为一个非线性环节。本讲稿第二十一页，共七十六页8.2.28.2.2描述函数描述函数 1.1.描述函数的定义描述函数的定义 对于很多非线性环节，当输入信号为正弦函数时，输出量对于很多非线性环节，当输入信号为正弦函数时，输出量x(t)x(t)一般都不是同频率的正一般都不是同频率的正弦波，而是一个非正弦的周
21、期函数，弦波，而是一个非正弦的周期函数，其周期与输入信号的周期相同，一般可以展开其周期与输入信号的周期相同，一般可以展开为傅里叶级数为傅里叶级数 设非线性特性是关于原点对称的，则设非线性特性是关于原点对称的，则A0(t)=0A0(t)=0，x(t)x(t)的基波分量为：的基波分量为：本讲稿第二十二页，共七十六页非线性环节的描述函数总是输入信号幅值非线性环节的描述函数总是输入信号幅值A A的函数，的函数，一般也是频率一般也是频率 的函数，因此，描述函数一般记为的函数，因此，描述函数一般记为非非线线性性元元件件的的描描述述函函数数或或等等效效幅幅相相频频率率特特性性与与输输入入的的正正弦弦振振荡荡
22、的的振振幅幅A A有有关关，这这是是非非线线性性特特性性本本质质的的反反映映。它它与与线线性性环环节节的的情情况况正正好好相相反反，线线性性环环节节的的幅幅相相特特性性（频频率率特特性性）与与正正弦弦输输入入的的幅幅值无关值无关。把非线性环节输出的基波分量的复向量与正弦输入的复向量之比，把非线性环节输出的基波分量的复向量与正弦输入的复向量之比，记为记为N(A,jN(A,j)，即，即非线性环节的描述函数非线性环节的描述函数:本讲稿第二十三页，共七十六页1 1）绘制输入）绘制输入输出波形图，写出输入为输出波形图，写出输入为时非线性输出表达式时非线性输出表达式的对称性，并计算的对称性，并计算 2.描
23、述函数的求取步骤描述函数的求取步骤 2 2）由波形图分析）由波形图分析 3 3）描述函数为）描述函数为 本讲稿第二十四页，共七十六页例例 非线性元件的静特性方程为非线性元件的静特性方程为 奇函数，奇函数，A1=0A1=0 非线性元件的基波分量为非线性元件的基波分量为本讲稿第二十五页，共七十六页3 3多个非线性元件组合的描述函数多个非线性元件组合的描述函数（1 1）非线性环节并联）非线性环节并联 非线性环节并联时，总的描述函数等于各个非线性环非线性环节并联时，总的描述函数等于各个非线性环节的描述函数之和节的描述函数之和。证明：证明：1 1）非线性特性都是单值函数：由）非线性特性都是单值函数：由
24、于这时各环节的描述函数都是于这时各环节的描述函数都是 实数，实数，所以各个环节的输出中所以各个环节的输出中 的基波分量分别为输入信号乘的基波分量分别为输入信号乘 以它们的描述函数以它们的描述函数，即，即 本讲稿第二十六页，共七十六页 所以总的描述函数为所以总的描述函数为2 2）非线性特性为非单值函数：设两个非线性特性的描述函数为）非线性特性为非单值函数：设两个非线性特性的描述函数为则两个非线性特性的基波分量为则两个非线性特性的基波分量为两个非线性特性并联时总的基波分量为两个非线性特性并联时总的基波分量为所以，总的描述函数为所以，总的描述函数为本讲稿第二十七页，共七十六页 1 1）忽略某些非线性
25、特性忽略某些非线性特性：对系统的工作条件及状态进行分析，：对系统的工作条件及状态进行分析，可以忽略其中的某些非线性特性。可以忽略其中的某些非线性特性。2 2）合并非线性特性为一个总的环节合并非线性特性为一个总的环节：如果必须同时考虑几个：如果必须同时考虑几个非线性环节的影响时，常需把几个非线性结合在一个总的非线非线性环节的影响时，常需把几个非线性结合在一个总的非线性环节中，然后再求取这个总环节的描述函数。性环节中，然后再求取这个总环节的描述函数。例如，将如图死区特性和饱和特性串联，合并为一个总的非例如，将如图死区特性和饱和特性串联，合并为一个总的非线性环节，如图所示。线性环节，如图所示。（2
26、2）非线性环节串联）非线性环节串联 本讲稿第二十八页，共七十六页 饱和非线性是最常见的一种非线性特性饱和非线性是最常见的一种非线性特性,如各类放大器就具有饱和如各类放大器就具有饱和非线性特性非线性特性,其输入输出关系可用下图表示其输入输出关系可用下图表示.由图可见由图可见,当当时时,即即:因非线性为斜对称因非线性为斜对称,输出输出可分段表示为可分段表示为:对对进行付里叶分解进行付里叶分解,由于非线性斜对称由于非线性斜对称故故,取分解后的一次谐波取分解后的一次谐波,有有:,由于由于为奇函数为奇函数,为偶函数为偶函数所以所以8.2.3 8.2.3 典型非线性特性得描述函数典型非线性特性得描述函数本
27、讲稿第二十九页，共七十六页由于由于为奇函数为奇函数,则则为偶函数为偶函数,所以所以本讲稿第三十页，共七十六页负倒特性负倒特性 在分析系统稳定时，常用描述函数的负倒特性曲线，或者称为负倒描述函数。在分析系统稳定时，常用描述函数的负倒特性曲线，或者称为负倒描述函数。饱和特性的负倒特性为饱和特性的负倒特性为 当当A A为定值时，为定值时，-1/N(A)-1/N(A)为一负实数。在复平面内为一负实数。在复平面内绘出饱和特性的负倒特性曲线如图所示，绘出饱和特性的负倒特性曲线如图所示，图中箭图中箭头表示头表示A A增大时，负倒特性曲线的变化方向增大时，负倒特性曲线的变化方向。求取描述函数的其它例子见教材求
28、取描述函数的其它例子见教材P287-292P287-292。本讲稿第三十一页，共七十六页单值奇函数，具有半周期的对称性单值奇函数，具有半周期的对称性 2.2.死区特性的描述函数死区特性的描述函数本讲稿第三十二页，共七十六页3.3.间隙特性的描述函数间隙特性的描述函数本讲稿第三十三页，共七十六页本讲稿第三十四页，共七十六页4.4.继电器特性的描述函数继电器特性的描述函数本讲稿第三十五页，共七十六页本讲稿第三十六页，共七十六页本讲稿第三十七页，共七十六页(1)(1)非线性系统的特征方程非线性系统的特征方程闭环传递函数为：闭环传递函数为：特征方程为：特征方程为：8.2.4 8.2.4 用描述函数法分
29、析非线性系统的自激振荡用描述函数法分析非线性系统的自激振荡 非线性特性的负倒描述函数相当于非线性特性的负倒描述函数相当于 非线性系统的稳定性分析包括判别系统是否稳定、是否产生自激振荡以非线性系统的稳定性分析包括判别系统是否稳定、是否产生自激振荡以及自激振荡是否稳定并确定自激振荡的振幅和频率。及自激振荡是否稳定并确定自激振荡的振幅和频率。本讲稿第三十八页，共七十六页（2 2）奈氏图上的稳定性分析）奈氏图上的稳定性分析 研究系统的稳定性，首先在奈氏图上画出两条轨迹：研究系统的稳定性，首先在奈氏图上画出两条轨迹：q一条是频率特性一条是频率特性G(jG(j)随随 变化的曲线；变化的曲线；q一条是负倒特
30、性随正弦信号幅值一条是负倒特性随正弦信号幅值A A变化的曲线；变化的曲线；则非线性系统的稳定判据叙述如下：则非线性系统的稳定判据叙述如下：非线性系统的奈氏稳定判据：设系统的线性部分是最小相位的，非线性系统的奈氏稳定判据：设系统的线性部分是最小相位的，则有以下三种情况：则有以下三种情况：本讲稿第三十九页，共七十六页 G(j G(j)不包围负不包围负倒描述函数倒描述函数闭环系闭环系统稳定统稳定 G(j G(j)包围负倒描述函包围负倒描述函数数闭环系统不稳定闭环系统不稳定 G(j G(j)与负倒描述函数相交与负倒描述函数相交 闭环系统出现自激（闭环系统出现自激（自持自持）振荡）振荡 稳定稳定？不稳定
31、？不稳定？振幅（振幅（A A）？）？频率频率()？nP293-294P293-294本讲稿第四十页，共七十六页（3 3）自激振荡稳定性分析及其振幅和频率的确定）自激振荡稳定性分析及其振幅和频率的确定1 1）自激振荡稳定性定义）自激振荡稳定性定义当轨迹相交时，非线性系统存在自激振荡。当轨迹相交时，非线性系统存在自激振荡。假设系统处于自激振荡状态，即系统的输出是近似的正弦波。假设系统处于自激振荡状态，即系统的输出是近似的正弦波。如果在干扰作用下，自激振荡的幅值和频率保持不变，则称为如果在干扰作用下，自激振荡的幅值和频率保持不变，则称为稳定的自激振荡稳定的自激振荡。如果在干扰作用下，系统的输出发散或
32、收敛，或者自激振荡的幅如果在干扰作用下，系统的输出发散或收敛，或者自激振荡的幅值和频率改变，则称为值和频率改变，则称为不稳定的自激振荡不稳定的自激振荡。注意，自激振荡的稳定性与系统的稳定性，是完全不注意，自激振荡的稳定性与系统的稳定性，是完全不同的概念。同的概念。本讲稿第四十一页，共七十六页因此，因此，a点是一个稳定的自激振荡。这点是一个稳定的自激振荡。这时，系统输出一个稳定的正弦波，振时，系统输出一个稳定的正弦波，振幅为幅为A Aa，频率为，频率为a 。（2 2）自激振荡稳定性判别）自激振荡稳定性判别 交点交点a处自激振荡的稳定性处自激振荡的稳定性?设系统工作在点设系统工作在点a ，系统处于
33、临界稳定状态则系统输出是振幅为，系统处于临界稳定状态则系统输出是振幅为A Aa，频率为，频率为a的正弦波。若扰动使系统输出的幅值增加，即扰动使系统的工作的正弦波。若扰动使系统输出的幅值增加，即扰动使系统的工作改变到改变到c c点，这时，由于点，这时，由于G(jG(j)轨迹不包围轨迹不包围c c点，系统处于稳定状态，点，系统处于稳定状态，因此，系统输出收敛，幅值减小，系统状态又回到因此，系统输出收敛，幅值减小，系统状态又回到a点。点。因此，系统输出发散，幅值增加，系统状态也因此，系统输出发散，幅值增加，系统状态也回到回到a点。所以，即使存在干扰，系统总是点。所以，即使存在干扰，系统总是工作在工作
34、在a点。点。反之，若扰动使系统输出的幅值减小，即扰动使系统的工作改变到反之，若扰动使系统输出的幅值减小，即扰动使系统的工作改变到d d点，点，这时，由于这时，由于G(jG(j)轨迹包围轨迹包围d d点，系统处于不稳定状态，点，系统处于不稳定状态，本讲稿第四十二页，共七十六页 设设系系统统工工作作在在b b点点，则则系系统统输输出出振振幅幅为为A Ab ，频频率率为为b的的正正弦弦波波。若若扰扰动动使使系系统统输输出出的的幅幅值值增增加加，即即系系统统工工作作在在e e点点,这这时时,由由于于G(jG(j)轨轨迹迹包包围围e e点点，系系统统处处于于不不稳稳定定状状态态，因因此此，系系统统输输出
35、出发发散散，幅幅值值增增加加，系系统统输输出出继继续续增增加加，直直到到稳稳定定在在a a点点。若若扰扰动动使使系系统统输输出出的的幅幅值值减减小小，即即系系统统工工作作在在f f点点，这这时时，由由于于G(jG(j)轨轨迹迹不不包包围围f f点点，系系统统处处于于稳稳定定状状态态，因因此此，系系统统输输出出收收敛敛，幅幅值值继继续续减减小小，直直到到系系统统输输出出的的幅值为幅值为0 0。因此，。因此，b b点是一个不稳定的点是一个不稳定的自激振荡自激振荡。自激振荡稳定性可以从振荡幅值自激振荡稳定性可以从振荡幅值增加时，负倒特性轨迹的移动方增加时，负倒特性轨迹的移动方向判别。向判别。当负倒特
36、性轨迹从不稳定区当负倒特性轨迹从不稳定区进入稳定区时，交点处的自激振荡是进入稳定区时，交点处的自激振荡是稳定的自激振荡稳定的自激振荡。反之，。反之，当负倒特性当负倒特性轨迹从稳定区进入不稳定区时，交点处轨迹从稳定区进入不稳定区时，交点处的自激振荡是的自激振荡是不稳定的自激振荡不稳定的自激振荡.交点交点b b处自激振荡的稳定性处自激振荡的稳定性?本讲稿第四十三页，共七十六页 （3）自激振荡振幅和频率的确定）自激振荡振幅和频率的确定 自自激激振振荡荡可可以以用用正正弦弦振振荡荡近近似似表表示示，其其幅幅值值和和频频率率分分别别为为交交点点处处负负倒倒特特性性轨轨迹迹上上的的A值值和和G(jG(j)
37、轨轨迹迹上上对对应应的值。的值。本讲稿第四十四页，共七十六页（2 2）典型非线性特性对系统的稳定性的影响）典型非线性特性对系统的稳定性的影响例例1 1 设含理想继电器特性的系统方框图如图所式。试确定其自持振设含理想继电器特性的系统方框图如图所式。试确定其自持振荡的振幅和角频率。荡的振幅和角频率。解：该继电特性的描述函数为解：该继电特性的描述函数为 这里这里M=1M=1，其负倒特性为，其负倒特性为 当当A A从从 变化时，变化时，从从即即 在在NyquistNyquist图上为负实轴图上为负实轴线性部分线性部分 本讲稿第四十五页，共七十六页本讲稿第四十六页，共七十六页有：有：故故 解得：解得：因
38、此自持振荡的振幅和频率为因此自持振荡的振幅和频率为 本讲稿第四十七页，共七十六页例例:设具有饱和非线性的控制系统如下图所示设具有饱和非线性的控制系统如下图所示.图中图中,(1),(1)求系统产生自激振荡的幅值和频率求系统产生自激振荡的幅值和频率解解:饱和非线性的描述函数为饱和非线性的描述函数为:将已知参数代入上式得将已知参数代入上式得:当当时时,当当时时,(2)(2)欲使系统不出现自振荡，确定欲使系统不出现自振荡，确定K K的临界值的临界值.本讲稿第四十八页，共七十六页在复平面上负倒描述函数的曲线如下图在复平面上负倒描述函数的曲线如下图.曲线大致曲线大致形状见图中所示形状见图中所示.两条曲线交
39、于两条曲线交于a a点点,经经计算可得计算可得a点对应的频率点对应的频率a点是一稳定的自激振荡点点是一稳定的自激振荡点,由自激振荡条件由自激振荡条件可得可得:即系统自激振荡时，非线性环节的输入信号即系统自激振荡时，非线性环节的输入信号本讲稿第四十九页，共七十六页 （2 2）为使系统不出现自振荡，应调整）为使系统不出现自振荡，应调整K K使使G G（j jw）的）的奈奎斯特曲线移动，且和奈奎斯特曲线移动，且和1/N(A)1/N(A)曲线无交点，即应曲线无交点，即应有：有：则则本讲稿第五十页，共七十六页例例 分析非线性系统自激振荡的情况分析非线性系统自激振荡的情况 本讲稿第五十一页，共七十六页 8
40、-3 8-3 相平面法相平面法8.3.1.8.3.1.相平面法的基本概念相平面法的基本概念 相平面法是一种二阶微分方程的图解法相平面法是一种二阶微分方程的图解法.此法即可用于线性此法即可用于线性二阶系统二阶系统,也可用于分析非线性特性和一阶、二阶线性环节组合也可用于分析非线性特性和一阶、二阶线性环节组合而成的非线性系统。而成的非线性系统。设一二阶系统可用下面常微分方程描述设一二阶系统可用下面常微分方程描述:上面微分方程的解可用上面微分方程的解可用对对 的关系曲线表示的关系曲线表示,也可用也可用与与的关系曲线表示的关系曲线表示,当用后一种关系曲线时当用后一种关系曲线时,是是把曲线画在把曲线画在的
41、直角坐标平面上的直角坐标平面上,而而 作为参变量作为参变量在在平面上并不出现平面上并不出现.本讲稿第五十二页，共七十六页设下图为式设下图为式(1)(1)在初始条件在初始条件与与的关系曲线的关系曲线.当当时时,平面上的点随时间的增大平面上的点随时间的增大,将沿曲线移动将沿曲线移动.当当初始条件确定后初始条件确定后,曲线也确定曲线也确定,则曲线上任何一点的则曲线上任何一点的坐标也确定坐标也确定.当当的值的值确定后确定后,由由式式(1)(1)可知可知的值也唯一的值也唯一确确定定,从而系统的整个运动状态也完全确定从而系统的整个运动状态也完全确定.相变量从初始时刻相变量从初始时刻t t0 0对应的状态点
42、起，随着时间对应的状态点起，随着时间t t的推移，在相平面上的推移，在相平面上运动形成的曲线称为相轨迹运动形成的曲线称为相轨迹.在相轨迹上用箭头符号表示参变量时间在相轨迹上用箭头符号表示参变量时间t t的的增加方向。增加方向。对于任一给定的初始条件，相平面上有一条相轨迹与之对对于任一给定的初始条件，相平面上有一条相轨迹与之对应。应。由于系统的初始条件可有无穷多个由于系统的初始条件可有无穷多个,因此相应的相轨迹也有无穷多条因此相应的相轨迹也有无穷多条,这无穷多条相轨迹构成的相轨迹簇叫相平面图这无穷多条相轨迹构成的相轨迹簇叫相平面图.称为系统运动的相变量（状态变量），以称为系统运动的相变量（状态变
43、量），以为横坐标为横坐标为纵坐标构成的直角坐标平面称为相平面。为纵坐标构成的直角坐标平面称为相平面。本讲稿第五十三页，共七十六页如果在相平面上某些点的如果在相平面上某些点的即曲线在这一点上的即曲线在这一点上的斜率不定可有无穷多条相轨迹通过这一点斜率不定可有无穷多条相轨迹通过这一点,称这一点为系统的平衡点称这一点为系统的平衡点,或叫奇点或叫奇点.在相平面的上方在相平面的上方(如下图如下图),由于由于所以所以总是朝大的总是朝大的方向变化方向变化,故相轨迹上的点总是按图故相轨迹上的点总是按图中箭头所指从左向右移动中箭头所指从左向右移动.在相平面在相平面的下方的下方,由于由于所以所以总是朝小的总是朝小
44、的方向变化方向变化,故相轨迹上的点总是按图中箭故相轨迹上的点总是按图中箭头所指从右向左移动头所指从右向左移动.在在轴上轴上,由于由于,即即不变化不变化,达到最大值或最小值达到最大值或最小值,故相轨迹曲线故相轨迹曲线与与轴的交点处的切线总垂直于轴的交点处的切线总垂直于轴轴.本讲稿第五十四页，共七十六页2 2 相平面法的适用范围相平面法的适用范围 相平面法是一种精确的方法，但它受到下列几点限制。相平面法是一种精确的方法，但它受到下列几点限制。1 1）原原则则上上，它它仅仅适适用用于于一一阶阶、二二阶阶系系统统。在在三三维维空空间间中中绘绘制制三三阶阶系系统统的的相相轨轨迹迹很很难难。对对于于线线性
45、性部部分分是是高高阶阶的的系系统统，如如果果可可以以降降为为二阶，也可以用相平面法分析。二阶，也可以用相平面法分析。2 2）只只适适用用于于定定常常系系统统。和和描描述述函函数数法法一一样样，也也不不适适用用于于时时变变系统。系统。3 3）一一般般用用于于研研究究系系统统输输入入为为零零时时的的动动态态过过程程。当当有有输输入入时时，输输入入信信号号的的形形式式受受到到初初态态的的限限制制，只只允允许许像像阶阶跃跃、速速度度、加加速速度度等等能能像像常常数数被被状状态态隐隐含含的的输输入入信信号号，而而不不允允许许象象正正弦弦一一类的输入。类的输入。本讲稿第五十五页，共七十六页 8.3.2 8
46、.3.2 相轨迹的绘制方法相轨迹的绘制方法 绘制相平面图可以用绘制相平面图可以用解析法、图解法和实验法解析法、图解法和实验法。解解析析法法是是一一种种最最基基本本的的方方法法。当当系系统统的的微微分分方方程程比比较较简简单单，或或者者系系统统中中非非线线性性特特性性可可以以分分段段线线性性化化时时，可可以以用用解解析析法法绘绘制制相平面图。相平面图。一一般般情情况况下下，用用解解析析法法是是比比较较困困难难、甚甚至至不不可可能能的的。因因此此，常用图解法。目前比较常用的图解法有等常用图解法。目前比较常用的图解法有等倾线法和倾线法和法两种法两种。实实验验法法是是利利用用模模拟拟计计算算机机绘绘制
47、制相相轨轨迹迹，即即用用模模拟拟计计算算机机模模拟拟所所研研究究的的系系统统，根根据据示示波波器器的的显显示示，或或记记录录仪仪，绘绘制制出出系系统统的的相相轨迹。轨迹。随随着着计计算算机机仿仿真真技技术术的的发发展展，越越来来越越多多地地利利用用数数字字计计算算机机绘绘制相轨迹。制相轨迹。本讲稿第五十六页，共七十六页8.1.2.8.1.2.相轨迹作图法相轨迹作图法 先以线性系统为例先以线性系统为例,说明相轨迹曲线的画法说明相轨迹曲线的画法.(1)(1)解析法解析法 根据系统的微分方程求出相轨迹方程根据系统的微分方程求出相轨迹方程,然后由相轨迹方程绘然后由相轨迹方程绘制相平面图制相平面图,此方
48、法仅用于简单的一此方法仅用于简单的一二阶线性系统或分段线二阶线性系统或分段线性系统性系统.(a)(a)线性一阶系统线性一阶系统 系统自由运动的微分方程为系统自由运动的微分方程为:相轨迹方程为相轨迹方程为:设初始条件设初始条件:,当当T0,T0,相轨迹如下图相轨迹如下图系统从任一初始点出发系统从任一初始点出发,均将沿相轨均将沿相轨迹收敛于原点迹收敛于原点.当当T0,T0.8,则则:区域区域,所有相轨迹趋所有相轨迹趋近于近于的水平直线的水平直线.区域区域,所有相轨迹趋所有相轨迹趋近于近于的水平直线的水平直线.区域区域,所有相轨迹趋近于所有相轨迹趋近于的水平直线的水平直线.本讲稿第七十页，共七十六页
49、相轨迹图见下图相轨迹图见下图.由上图可见由上图可见,当初始偏差位置在当初始偏差位置在点时点时,系统将沿系统将沿轨线运动轨线运动,当当时时,显然系统不稳定显然系统不稳定.本讲稿第七十一页，共七十六页b)当当R=0.8,则则区域区域,相轨迹在相轨迹在平面上任一点的斜率均为平面上任一点的斜率均为-1,相轨迹为一簇相轨迹为一簇区域区域,所有相所有相区域区域,所有相轨迹趋近于所有相轨迹趋近于轨迹趋近于轨迹趋近于直线直线.斜率为斜率为-1的直线的直线.本讲稿第七十二页，共七十六页c)当当时时,分段线性化方程如下分段线性化方程如下:区域区域,所有相轨迹趋近于所有相轨迹趋近于的水平直线的水平直线.同理可得区域
50、同理可得区域的相轨迹簇的相轨迹簇 和区域和区域的相轨迹簇的相轨迹簇.从某一初始点从某一初始点出发出发的相轨迹见下图的相轨迹见下图,存在极限环存在极限环本讲稿第七十三页，共七十六页 例例2.速度反馈对继电型系统的性能影响速度反馈对继电型系统的性能影响 设有下图所示无速度反馈的理想继电型非线性系统设有下图所示无速度反馈的理想继电型非线性系统.分段线性化方程分段线性化方程为为:区域区域,其上相轨迹如左图其上相轨迹如左图.区域区域,其上相轨迹如坐图其上相轨迹如坐图.从任一从任一初始点初始点出发的相轨迹也见左图出发的相轨迹也见左图,系统呈衰减振荡系统呈衰减振荡,振荡时间较长振荡时间较长.本讲稿第七十四页