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1、数学物理方程-第3章-2011解析第三章第三章 调和方程调和方程物理背景：用于描述稳定或平衡的物理现象。物理背景：用于描述稳定或平衡的物理现象。3-1 3-1 方程的建立及其定解条件方程的建立及其定解条件调和方程调和方程，又称，又称拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)(Laplace)方程方程，其三维形式为，其三维形式为这个方程相应的非齐次方程，称为这个方程相应的非齐次方程，称为泊松泊松(Poisson)(Poisson)方程方程，即，即这类方程在力学、物理学问题中经常遇到。前面两章推导的波动方程和热这类方程在力学、物理学问题中经常遇到。前面两章推导的波动方程和热传导方程如果去掉了时间导数项，那
2、么方程就可以转化为泊松方程或调和传导方程如果去掉了时间导数项，那么方程就可以转化为泊松方程或调和方程。流体力学中的速度势和流函数都满足调和方程；静电场中的电位势方程。流体力学中的速度势和流函数都满足调和方程；静电场中的电位势满足泊松方程。满足泊松方程。(1.1)(1.2)(1.2)(1.1)(1.2)2021/5/221.1.方程的导出方程的导出 数数学学史史上上导导致致调调和和方方程程的的一一个个著著名名实实例例来来自自牛牛顿顿万万有有引引力力。根根据据万万有有引引力力定定律律，位位于于(x0，y0，z0)处处质质量量为为M的的质质点点对对位位于于(x，y，z)处处具具有有单单位位质质量量的
3、的质质点点的的引引力力,其其大大小小等等于于GM/r2，而而作作用用方方向向沿沿着着这这两两点点的的连连线线，指指向向(x0，y0，z0)点，其中点，其中r为两点之间的距离。写为向量形式，即为为两点之间的距离。写为向量形式，即为除了允许相差一个任意常数外，位势函数是任意确定的。除了允许相差一个任意常数外，位势函数是任意确定的。F(x,y,z)称为引力场函数称为引力场函数显然引力场函数是位势函数显然引力场函数是位势函数的梯度的梯度2021/5/22对于以密度对于以密度(x,y,z)分布在区域分布在区域上的质量而言，根据叠加原理，它所产生的上的质量而言，根据叠加原理，它所产生的总引力位势为总引力位
4、势为(1.3)通过直接计算可以验证，通过直接计算可以验证，(x,y,z)在在外满足调和方程外满足调和方程还可以进一步验证，若还可以进一步验证，若(x,y,z)满足满足Holder条件，则条件，则(x,y,z)在在内满足泊内满足泊松方程松方程2021/5/22其中其中E为电场强度矢量，而为电场强度矢量，而n为为上的单位外法线向量。上的单位外法线向量。divE=4另一个例子是静电场的电位势。设空间有一电荷密度为另一个例子是静电场的电位势。设空间有一电荷密度为(x,y,z)的静电场，在的静电场，在此电场内任取一个封闭曲面此电场内任取一个封闭曲面包围的区域包围的区域G，由静电学知，通过，由静电学知，通
5、过向外的电向外的电通量等于通量等于G中总电量的中总电量的4倍，即成立倍，即成立(1.4)并注意到并注意到G的任意性，可得的任意性，可得利用格林公式利用格林公式2021/5/22调和函数调和函数定义：我们把具有关于空间变量的二阶连续偏导数，且满足调和定义：我们把具有关于空间变量的二阶连续偏导数，且满足调和方程的函数称为调和函数。复变函数中涉及的只是二元函数。方程的函数称为调和函数。复变函数中涉及的只是二元函数。又由库仑定律可知，静电场是有势的，即存在静电位势又由库仑定律可知，静电场是有势的，即存在静电位势u=u(x,y,z)，使，使于是得到静电位势于是得到静电位势u满足以下的泊松方程满足以下的泊
6、松方程u4特别地，当某区域内没有电荷存在时，此区域内的静电位势满足调和方程。特别地，当某区域内没有电荷存在时，此区域内的静电位势满足调和方程。2021/5/222.2.定解条件和定解问题定解条件和定解问题要在空间的某个区域中确定方程要在空间的某个区域中确定方程(1.1)和和(1.2)的解，还必须附加一些定解条的解，还必须附加一些定解条件。现在这两个方程中并未出现时间变量，因此它们的解与时间无关，所件。现在这两个方程中并未出现时间变量，因此它们的解与时间无关，所以在定解条件中只有边界条件，其定解问题是一种边值问题。以在定解条件中只有边界条件，其定解问题是一种边值问题。与前面的波动方程和热传导方程
7、类似，对方程与前面的波动方程和热传导方程类似，对方程(1.1)和和(1.2)也可以提出三种也可以提出三种类型的边界条件。本次课程只研究第一及第二边值问题。类型的边界条件。本次课程只研究第一及第二边值问题。(1.1)(1.2)(1.5)(1.6)1)第一边值问题第一边值问题(狄利克雷条件狄利克雷条件)：2)第二边值问题第二边值问题(诺依曼条件诺依曼条件)：2021/5/22习惯思维中，上述定解问题都认为是在有界区域考虑的。也就是说在习惯思维中，上述定解问题都认为是在有界区域考虑的。也就是说在某光某光滑的闭曲面滑的闭曲面的的内部内部寻找满足边界条件的调和函数。寻找满足边界条件的调和函数。但在实际运
8、用中，但在实际运用中，常常会遇到一些常常会遇到一些无界区域无界区域的问题。例如：要确定一个热源物体外部的的问题。例如：要确定一个热源物体外部的稳定稳定温度场。这种情况下，需要在温度场。这种情况下，需要在闭曲面闭曲面的的外部外部寻找满足边界条件的调和函寻找满足边界条件的调和函数。为了显示区别，我们把前一种定解问题称为狄利克雷数。为了显示区别，我们把前一种定解问题称为狄利克雷内问题内问题和诺依曼和诺依曼内问题内问题，把后一类定解问题称为狄利克雷，把后一类定解问题称为狄利克雷外问题外问题和诺依曼和诺依曼外问题外问题。流体力学的流体力学的内流问题内流问题和和外流问题外流问题就是上述问题的典型代表。考虑
9、不可压无就是上述问题的典型代表。考虑不可压无粘势流，其速度势在流动区域内满足拉普拉斯方程，且在物面边界粘势流，其速度势在流动区域内满足拉普拉斯方程，且在物面边界上有上有法向无穿透条件法向无穿透条件内流问题的求解在边界内流问题的求解在边界 内部进行，例如气罐或管道内流动。外流问题内部进行，例如气罐或管道内流动。外流问题需要在边界需要在边界 外部的无限大区域内求解，例如翼型或飞机的绕流问题。外部的无限大区域内求解，例如翼型或飞机的绕流问题。从直观认识来看，对于外问题，前述的定解条件下外问题的解并不唯一。从直观认识来看，对于外问题，前述的定解条件下外问题的解并不唯一。以二维翼型流动为例，仅有法向无穿
10、透条件是不够的，还需要在无穷远处以二维翼型流动为例，仅有法向无穿透条件是不够的，还需要在无穷远处施加来流条件施加来流条件(速度大小和迎角等速度大小和迎角等)。（这个问题课本上也有举例）（这个问题课本上也有举例）2021/5/22因此，对于狄利克雷或诺依曼外问题而言，还需要在无穷远处对解添加一因此，对于狄利克雷或诺依曼外问题而言，还需要在无穷远处对解添加一定的限制条件。在三维情况下，一般要求解在无穷远处的极限为零（或者定的限制条件。在三维情况下，一般要求解在无穷远处的极限为零（或者说极限为某个特定的值），即说极限为某个特定的值），即泊松方程的求解可以运用叠加原理转化为调和方程的求解：首先寻找一个
11、泊松方程的求解可以运用叠加原理转化为调和方程的求解：首先寻找一个泊松方程的特解泊松方程的特解u1，作代换，作代换u=v+u1把原方程转化为关于把原方程转化为关于v的调和方程。的调和方程。(1.7)2021/5/223-2 3-2 格林公式及其应用格林公式及其应用1.1.格林（格林（GreenGreen）公式）公式高等数学中的高斯公式如下高等数学中的高斯公式如下在上式中，令在上式中，令 ，于是有，于是有得到格林第一公式：得到格林第一公式：(2.1)2021/5/22如果作如果作 代换，那么格林第一公式写为：代换，那么格林第一公式写为：把把(2.1)和和(2.2)相减，我们得到格林第二公式相减，我
12、们得到格林第二公式利用上述公式，我们可以推出调和函数的一些基本性质。首先我们导出调利用上述公式，我们可以推出调和函数的一些基本性质。首先我们导出调和函数的和函数的积分表达式积分表达式。考察函数。考察函数此处此处M0(x0，y0，z0)是区域是区域内的某一个固定点，可以验证，内的某一个固定点，可以验证，(2.4)表示的表示的函数在除去函数在除去M0的的区域区域上处处满足三维拉普拉斯方程，这个函数称为三上处处满足三维拉普拉斯方程，这个函数称为三维拉普拉斯方程的维拉普拉斯方程的基本解基本解。(2.2)(2.3)(2.4)2021/5/22在在公公式式(2.3)中中取取u是是调调和和函函数数，而而取取
13、v=1/rM0M。由由于于函函数数v在在区区域域上上存存在在奇奇点点M0，因因此此对对于于区区域域不不能能直直接接运运用用格格林林第第二二公公式式(2.3)，但但如如果果在在区区域域内内除除去去一一个个以以M0为为中中心心，半半径径充充分分小小的的球球K，则则在在剩剩下下的的区区域域 K 内内就可以运用就可以运用公式公式(2.3)了，所以有了，所以有在在区域区域 K 内内u=0=0，(1/r)=0=0，在球面在球面上由于上由于这里星号代表球面这里星号代表球面上的平均值。于是上的平均值。于是公式公式(2.5)可以化为可以化为(2.5)2021/5/22上式中当上式中当0时，就得到了调和函数的基本
14、积分时，就得到了调和函数的基本积分公式公式M0在在外外M0在在上上M0在在内内对于泊松方程对于泊松方程u=F F，也有类似公式，也有类似公式(2.6)2021/5/22由格林公式，我们可以得出调和函数的下列主要性质。由格林公式，我们可以得出调和函数的下列主要性质。1）调和函数的一个充要条件）调和函数的一个充要条件 设函数设函数u在以曲面在以曲面为边界的区域为边界的区域内调和，在内调和，在U上有连续一阶偏上有连续一阶偏导数，则导数，则反之亦然。由此，我们得到诺依曼反之亦然。由此，我们得到诺依曼内问题内问题 有解的必要条件为有解的必要条件为 满足调和方程满足调和方程由叠加原理，由叠加原理，是泊松方
15、程是泊松方程u=F F 的一个特解。的一个特解。（与万有引力势函数公式类似）（与万有引力势函数公式类似）2021/5/22物理意义：对于稳定的温度场，在内部无热源的情况下，任何封闭曲面上物理意义：对于稳定的温度场，在内部无热源的情况下，任何封闭曲面上的热流量应该为零。的热流量应该为零。2）球面平均值定理）球面平均值定理 设函数设函数u在以曲面在以曲面为边界的区域为边界的区域内调和，对于包含在内调和，对于包含在 内的每一个内的每一个闭球，闭球，u在球心处的值等于在球心处的值等于u在该球的边界球面上的积分平均值。用公式表在该球的边界球面上的积分平均值。用公式表示可以写为示可以写为证：把公式证：把公
16、式(2.6)运用到球心在运用到球心在M0点，半径为点，半径为a的球面的球面a上，得到上，得到这里，在球面上这里，在球面上2021/5/22为零为零3）极值原理）极值原理 设不恒为常数的函数设不恒为常数的函数u在以曲面在以曲面为境界的区域为境界的区域内调和，它在内调和，它在的的内点上的值不可能达到它在内点上的值不可能达到它在上的上界或下界。上的上界或下界。推论推论1：调和函数的最大值和最小值只能在区域边界取得。：调和函数的最大值和最小值只能在区域边界取得。推论推论2：两个调和函数在边界：两个调和函数在边界上成立不等式上成立不等式uv，那么在，那么在内该不等内该不等式同样成立；只有在式同样成立；只
17、有在uv时，不等式中的等号才有成立的可能。时，不等式中的等号才有成立的可能。2021/5/224）第一边值问题解的唯一性和稳定性）第一边值问题解的唯一性和稳定性 先考察调和方程的狄利克雷内问题。先考察调和方程的狄利克雷内问题。定理定理：调和方程的狄利克雷内问题的解如果存在，必是唯一的，而且连续依：调和方程的狄利克雷内问题的解如果存在，必是唯一的，而且连续依赖于边界条件赖于边界条件f。证：假设两个调和函数证：假设两个调和函数u1(x,y,z)和和u2(x,y,z)，它们在有界区域，它们在有界区域的边界的边界上完上完全相同，那么它们的差全相同，那么它们的差u=u1(x,y,z)-u2(x,y,z)
18、在在中也满足调和方程，而在中也满足调和方程，而在上上等于零。按照前面的推论一，等于零。按照前面的推论一，u1u2，即即狄利克雷内问题的解唯一。狄利克雷内问题的解唯一。其次，假设在边界上给定了两个函数其次，假设在边界上给定了两个函数f和和f*，而且在而且在上处处成立上处处成立设设u和和u*，分别是调和方程在区域分别是调和方程在区域上的以上的以f和和f*为为边界条件的边界条件的狄利克雷内问题的解。那么调和函数狄利克雷内问题的解。那么调和函数u-u*在在上取值上取值f-f*。由极值定理的。由极值定理的推论推论1得到得到因此，在区域因此，在区域上各点有上各点有（连续依赖性得证）（连续依赖性得证）202
19、1/5/22现在转而研究调和方程的狄利克雷外问题。现在转而研究调和方程的狄利克雷外问题。设设u1，u2是狄利克雷外问题的解，令是狄利克雷外问题的解，令v=u1-u2，则调和函数，则调和函数v在边界在边界和无穷远处取值为零。即和无穷远处取值为零。即此时取一个半径足够大的球面此时取一个半径足够大的球面R，让这个球面与边界，让这个球面与边界一起形成封闭的一起形成封闭的空间空间 ，利用前面利用前面狄利克雷内问题解的唯一性和稳定性证明方法，我们狄利克雷内问题解的唯一性和稳定性证明方法，我们可以得到下面的定理：可以得到下面的定理：定理定理：调和方程的狄利克雷外问题的解如果存在，必是唯一的，而且连续：调和方程的狄利克雷外问题的解如果存在，必是唯一的，而且连续依赖于边界条件依赖于边界条件f。2021/5/222021/5/22谢谢！