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1、3.3 3.3 垂径定理垂径定理九年级数学九年级数学(下下)第三章第三章 圆圆北师大版九年级数学下册北师大版九年级数学下册1.1.圆是轴对称图形圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴它有无数条对称轴.2.2.圆也是中心对称图形圆也是中心对称图形.它的对称中心就是圆心它的对称中心就是圆心.知识回顾知识回顾4.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。的弦相等。5.定理：在同圆或等圆中，如果两个定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角圆心角、两条、两条弧弧、两条、两条
2、弦弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。等。3.顶点顶点在在圆心圆心的角叫做的角叫做圆心角圆心角.AM=BM,垂径定理垂径定理AB是是 O的一条弦的一条弦.作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M.你能你能发现图中有哪些等量关系发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由与同伴说说你的想法和理由.O下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?小明发现图中有小明发现图中有:ABCDM 由由 CD是是直径直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.垂直于弦的直径平分这条弦，并
3、且平分弦所对的弧。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。垂径定理垂径定理证明：连接证明：连接OA,OB,则则OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM RtOAM RtOBMAM=BM,AOC=BOCAOD=180AOC,BOD=180BOC AOD=BOD垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧OABCDM AM=BM 由由 CD是是直径直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.OABCDM垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。且
4、平分弦所对的弧。CD是直径，是直径，CDAB,AB是弦是弦AM=BM，ADBD，ACBCCDAB,垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理AB是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM.你你能能发现图中有哪些等量关系发现图中有哪些等量关系?与同伴说说与同伴说说你的想法和理由你的想法和理由.过点过点过点过点MM作直径作直径作直径作直径CD.CD.O下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?小明发现图中有小明发现图中有:CD 由由 CD是是直径直径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD.MAB平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且
5、平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且CD平分平分ABCDAB，ADBD，ACBC垂径定理的应用垂径定理的应用例例1:如图，一条公路的转变处是一段圆弧如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧即图中弧CD,点点O是是弧弧CD的圆心的圆心),其中其中CD=600m,E为弧为弧CD上的上的一点一点,且且OECD垂足为垂足为F,EF=90m.求求这段弯路的半径这段弯路的半径.解解:连接连接OC.OCDEF讨论讨论（1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平）平分弦所对优弧分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所
6、对的劣弧（3）（1）（2）（4）（5）（2）（3）（1）（4）（5）（1）（4）（3）（2）（5）（1）（5）（3）（4）（2）（1 1）平分弦（）平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧（2 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧（3 3）平分一条弧的直径，垂直平分弧所平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧对的弦，并且平分弦所对的另一条弧OABCDM命题（命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的
7、两条弧直于弦，并且平分弦所对的两条弧CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且CD平分平分ABCDAB，ADBD，ACBC命题（命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧的两条弧 AB是弦，是弦，CD平分平分AB，CD AB，CD是直径，是直径，ADBD，ACBC命题（命题（3 3）：平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且）：平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧平分弦所对的另一条弧 CD是直径，是直径，AB是弦，并且是弦，并且ADBD（ACBC）CD平分平分AB，ACBC（ADBD）CD AB.OAEBD
8、C垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦这条弦，并且平分弦所对的两条弧。所对的两条弧。推论推论（1）平分弦（）平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦，并且平）的直径垂直于弦，并且平分弦所对分弦所对 的两条弧的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧两条弧（3 3）平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧且平分弦所对的另一条弧垂径垂径定理定理记忆记忆.OAEBDCOABCDM弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离,叫弓形高或叫弓形高或弓弓高高，如图线段，如图线
9、段CM是弓高是弓高圆心到弦的距离圆心到弦的距离,叫叫弦心距弦心距。如图。如图线段线段OM是是O到弦到弦AB的弦心距。的弦心距。赵州石拱桥赵州石拱桥1.1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的桥拱是圆弧的桥拱是圆弧形形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 37.4 m,拱高拱高(弧的中点到弦弧的中点到弦的距离的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m,求桥拱的半径求桥拱的半径(精确到精确到0.1m).赵州石拱桥赵州石拱桥解：如图，用解：如图，用 表示桥拱，表示桥拱，所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为半径为Rm，经过圆心经过圆心O作
10、弦作弦AB的垂线的垂线OD，D为垂足，与为垂足，与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理，据垂径定理，D是是AB的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高.由题设由题设在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得解得解得 R27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.37.47.2RDABOCOABCD如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么弧相等吗？为什么?EFMN还有其他情况吗？还有其他情况吗？OABCDCD“圆材埋壁圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作是我国古代著名的数学著作九
11、章算术九章算术中的中的一个问题，一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问锯几何？深一寸，锯道长一尺，问锯几何？”用现代的数学语言表述用现代的数学语言表述是：是：“如下图，如下图，CD为为 O的直径，弦的直径，弦ABCD垂足为垂足为E，CE1寸，寸，AB10寸，求直径寸，求直径CD的长的长”，如图，已知如图，已知 O的半径为的半径为30mm，弦，弦AB=36mm.则则点点O到到AB的距离及的距离及 OAB的余弦值。的余弦值。C 如图，两个圆都是以如图，两个圆都是以O为圆心，小圆的弦为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦与大圆的弦A
12、B在同在同一条直线上，你认为一条直线上，你认为AC与与BD的大小有什么关系？为什么？的大小有什么关系？为什么？ABCD理由：过理由：过O作作OEAB于于E，解后指出解后指出：在圆中，解有关：在圆中，解有关弦弦的问的问题时，常常需要作出题时，常常需要作出“垂直于弦的垂直于弦的直径直径”作为辅助线，实际上，往往作为辅助线，实际上，往往只需只需从圆心作弦的垂线段。从圆心作弦的垂线段。则则 AE=BE,CE=DEAECE=BEDE即即AC=BD解：解：AC=BDOE如如图图,M为为 O内内的的一一点点,利利用用尺尺规规作作一一条条弦弦AB,使使AB过过点点M.并并且且AM=BM.OMAB判断判断（1）
13、垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧弧.()（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心经过圆心.()（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分分.()（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧两条弧()（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）挑战自我挑战自我（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧 (）（7）平分弦的直线，必定过圆心）平分弦的直线，必定过圆心 （）（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦这条弦 （）ABCDO(1)ABCD O(2)ABCD O(3)（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径）弦的垂直平分线一定是圆的直径 （）（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦（弦（）（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分 （）ABC O(4)ABCD O(5)ABCD O(6)E