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1、孙会元固体物理基会元固体物理基础第四章晶格振第四章晶格振动和晶体的和晶体的热性性质4.2-长波近似波近似4.2 4.2 长波近似长波近似 前面已知声学波中前面已知声学波中,相邻原子都沿同一方向振相邻原子都沿同一方向振动动;光学波中光学波中,原胞内的不同原子相对地作振动原胞内的不同原子相对地作振动.把波长很长的声学波简称为长声学波把波长很长的声学波简称为长声学波,把波长把波长很长的光学波简称为长光学波很长的光学波简称为长光学波.下面讨论它们的下面讨论它们的特点特点.当波长比原胞的线度大得多时当波长比原胞的线度大得多时,声学波代表声学波代表了原胞质心的振动了原胞质心的振动,而在光学波中而在光学波中
2、,原胞的质心原胞的质心保持不动保持不动.若晶体由正负两种离子组成若晶体由正负两种离子组成,波长很波长很长的光学波会使得晶格中出现宏观的极化长的光学波会使得晶格中出现宏观的极化.一、长声学波一、长声学波由前面由前面一维双原子链的色散关系一维双原子链的色散关系,声学波声学波：长声学波的波速：长声学波的波速：,为常数为常数.当波矢当波矢q 0时的长波近似情况下时的长波近似情况下,表明长声学波的角频率与波矢存在线性关系表明长声学波的角频率与波矢存在线性关系a是晶格常数，不是原子间距是晶格常数，不是原子间距.实际上实际上,对于长声学波对于长声学波,不仅相邻原胞中原子不仅相邻原胞中原子振动的位相差趋近于零
3、振动的位相差趋近于零,而且振幅也近于相等而且振幅也近于相等.这是由于长声学波的波长比原胞线度大很多时这是由于长声学波的波长比原胞线度大很多时,在半个波长内就已经包含了许多原胞在半个波长内就已经包含了许多原胞,这些原胞这些原胞都整体地沿同一方向运动都整体地沿同一方向运动.因此因此,晶格可以近似晶格可以近似地看成连续介质地看成连续介质,而长声学波也就可以近似地认而长声学波也就可以近似地认为是弹性波为是弹性波.长声学波的这些特性与晶体中的弹性波完全一长声学波的这些特性与晶体中的弹性波完全一致致.下面以一维连续介质为例下面以一维连续介质为例,来说明长声学波与来说明长声学波与弹性波的一致性弹性波的一致性
4、 对于一维连续介质对于一维连续介质,设设x点的位移为点的位移为u(x);(x+dx)点的位移为点的位移为u(x+dx),因此因此,连续介质连续介质因位移而引起的形变因位移而引起的形变(应变应变)为为:设介质的弹性模量为设介质的弹性模量为c,因形变而产生的因形变而产生的 恢复恢复力为力为:同理在同理在(x-dx)点点,因形变而产生的因形变而产生的 恢复力为恢复力为:考虑介质中考虑介质中x点与点与(x+dx)点间长度为点间长度为dx的一段的一段,设一维介质的线密度为设一维介质的线密度为,则则长度为长度为dx的一段介的一段介质的质量为质的质量为 dx,而作用在长度为而作用在长度为dx的一段介质的一段
5、介质上有两个方向相反的上有两个方向相反的 恢复力恢复力F(x)及及F(x-dx),因此因此这段介质的运动方程为这段介质的运动方程为:即：即：亦即：亦即：这是标准的波动方程这是标准的波动方程,其解为其解为:式中式中 及及 q 分别为介质分别为介质弹性波的角频率和波弹性波的角频率和波矢矢,把它代入波动方程把它代入波动方程,可得可得:由此可得弹性波的传播相速度：由此可得弹性波的传播相速度：对于简单情形对于简单情形,介质的弹性模量介质的弹性模量c相当于杨氏模相当于杨氏模量量.恢复力为恢复力为:把上式用于一维等间距的复式格子把上式用于一维等间距的复式格子,则应变为：则应变为：式中式中um+1及及um 分
6、别为第分别为第m+1个和第个和第 m 个原个原子的位移子的位移,a是晶格常数是晶格常数.因此恢复力又可写为因此恢复力又可写为:此外此外,因因第第m+1个原子的位移而引起的对第个原子的位移而引起的对第m个原子产生的个原子产生的恢复力可写为恢复力可写为:两式比较可得弹性模量两式比较可得弹性模量 c 与恢复力常数与恢复力常数 之之间的关系：间的关系：对于一维复式格子对于一维复式格子,质量密度为：质量密度为：又一维复式格子长声学波的波速：又一维复式格子长声学波的波速：一维复式格子弹性波的传播相速度：一维复式格子弹性波的传播相速度：所以弹性波的传播相速度与长声学波速度完全所以弹性波的传播相速度与长声学波
7、速度完全一致一致,对于长声学波对于长声学波,晶格可以看作连续介质晶格可以看作连续介质.二、长光学波二、长光学波 在在离子晶体离子晶体中，由于光学波中描述的是原胞中，由于光学波中描述的是原胞内的正、负离子之间的相对运动，所以当波长内的正、负离子之间的相对运动，所以当波长很长时，在半个波长内就已经包含了许多原胞。很长时，在半个波长内就已经包含了许多原胞。在在两个波节之间同种电荷的离子位移方向相两个波节之间同种电荷的离子位移方向相同，异性电荷离子位移方向相反同，异性电荷离子位移方向相反，因此波节面，因此波节面就将晶体分成许多薄层，就将晶体分成许多薄层，在每个薄层里由于异在每个薄层里由于异性电荷离子位
8、移方向相反而形成了退极化场性电荷离子位移方向相反而形成了退极化场，这样晶体中这样晶体中出现宏观极化出现宏观极化，所以，离子晶体的，所以，离子晶体的长光学波长光学波又称为又称为极化波极化波.对于长光学波对于长光学波,用用u+表示表示质量为质量为M的正离子的正离子位位移移,用用u-表示表示质量为质量为m的负离子的负离子位移位移.由正、负离子的相对位移所引起的宏观电场由正、负离子的相对位移所引起的宏观电场强度设为强度设为E.这时这时,作用在离子上的除了准弹性作用在离子上的除了准弹性恢复力之外恢复力之外,还有还有电场的作用电场的作用.但是但是,必须注意必须注意,作用在某一离子上的电场不作用在某一离子上
9、的电场不能包括该离子本身所产生的电场能包括该离子本身所产生的电场.从宏观电场强度从宏观电场强度E中减去该离子本身所产生中减去该离子本身所产生的场强的场强,称为称为有效场强有效场强,用用E有效有效表示表示 则按照上面的分析则按照上面的分析,可以得到质量为可以得到质量为M的正离子和质的正离子和质量为量为m的负离子的运动方程：的负离子的运动方程：式中式中q*代表离子电荷代表离子电荷,u+代表代表正正离子的位移离子的位移,u-代表代表负负离子的位移离子的位移.采用洛伦兹有效场近似采用洛伦兹有效场近似,在在SI制中制中,则有则有(可参考电磁可参考电磁学学p146例例4)：式中式中E代表代表宏观电场强度宏
10、观电场强度,0 代表真空介电常代表真空介电常数数,而而 P 代表极化强度代表极化强度.式中式中N代表代表原胞数目原胞数目,V代表晶体体积代表晶体体积,u=u+-u-代表正负离子间的相对位移代表正负离子间的相对位移,代表代表原胞原胞中正负中正负离子极化率离子极化率 +和和 -之和之和(即即 =+-).把把E有效有效代入得：代入得：利用折合质量：利用折合质量：以及：以及：则运动方程变为：则运动方程变为：(1)-(2)得：得：引入位移参量：引入位移参量：则则 可变为：可变为：其中其中b12=b21,这组方程是黄昆在这组方程是黄昆在1951年讨论年讨论光学波的长波近似时引进的光学波的长波近似时引进的,
11、通称为通称为黄昆方程黄昆方程.黄昆方程的形式说明黄昆方程的形式说明:把把 代入代入 得：得：整理得：整理得：把把 代入代入 得：得：整理得：整理得：由由 可见：可见：显然显然b12=b21.黄昆方程黄昆方程 的物理意义很明显的物理意义很明显.方程方程 代表振动方程代表振动方程,为准弹性为准弹性恢复力恢复力,b11相当于离子本征振动频率平方的负相当于离子本征振动频率平方的负值值(),表示电场表示电场E附加了恢复力附加了恢复力.方程方程 代表极化方程代表极化方程,表示离子表示离子位移引起了极化位移引起了极化,表示电场表示电场E 附加了极化附加了极化.设黄昆方程设黄昆方程 的解具有如下形式：的解具有
12、如下形式：其中其中q为波矢为波矢.位移位移W与波矢与波矢q垂直的部分垂直的部分,构构成横波成横波,记为记为WT;位移位移W与波矢与波矢q平行的部分平行的部分,构构成纵波成纵波,记为记为WL.横向位移是无散的横向位移是无散的,纵向位移纵向位移是无旋的是无旋的.即：即：在所讨论的电介质中在所讨论的电介质中,没有自由电荷没有自由电荷.所以电所以电位移位移D无散无散,即：即：把把 代入方程得：代入方程得：如果我们讨论的电场是无旋的如果我们讨论的电场是无旋的,则有：则有：上式表明极化引起的宏观场是一个纵向场上式表明极化引起的宏观场是一个纵向场,它它趋于减小纵向位移趋于减小纵向位移,从而增加了纵向振动的恢
13、复从而增加了纵向振动的恢复力力,因此提高了纵光学波的频率因此提高了纵光学波的频率 把把代入方程代入方程 得：得：从而有：从而有：-横向振动方程横向振动方程-纵向振动方程纵向振动方程所以有：所以有：为了把为了把黄昆方程的黄昆方程的系数系数b22、b21(=b12)和晶体和晶体的介电常数联系起来的介电常数联系起来,我们考虑两种极端情况我们考虑两种极端情况,即：即：静电场和光频电场静电场和光频电场对于对于静电场静电场：由黄昆方程由黄昆方程:得：得：把上式代入把上式代入 得：得：又：又：综上我们有：综上我们有：为晶体的静电介电常数为晶体的静电介电常数对于对于光频电场光频电场,位移为零位移为零,即：即：
14、为晶体的为晶体的光频介电常数光频介电常数 把把 ;代入代入 得：得：-这是著名的这是著名的LST(Lyddane-Sachs-Teller)关系关系.由由LST(Lyddane-Sachs-Teller)关系关系,可得如可得如下结论：下结论：(1)由于静电介电常数由于静电介电常数 恒大于光频介电常数恒大于光频介电常数 ,所以所以,长光学纵波的频率长光学纵波的频率 恒大于长光学横波的恒大于长光学横波的频率频率 这是由于长光学纵波伴随着一个宏观电场这是由于长光学纵波伴随着一个宏观电场,增增加了纵向振动的恢复力加了纵向振动的恢复力,因此提高了纵光学波的因此提高了纵光学波的频率频率 同时，这意味着在长
15、光学纵波的频率同时，这意味着在长光学纵波的频率 L0和长和长光学横波的频率光学横波的频率 T0之间形成一个之间形成一个频率禁区频率禁区，在在 T0 L0频率范围内的电磁波不能在晶体中传频率范围内的电磁波不能在晶体中传播，几乎全部被晶体表面反射掉播，几乎全部被晶体表面反射掉，因而在反射，因而在反射率和波长的关系上出现反射峰。率和波长的关系上出现反射峰。例如，实验发现在例如，实验发现在NaCl晶体对红外光的反射率晶体对红外光的反射率与波长关系曲线中就出现了一个与波长关系曲线中就出现了一个平缓的峰值区平缓的峰值区.如图所示，证明了上述分析的合理性。不过，对如图所示，证明了上述分析的合理性。不过，对于
16、实际晶体，由于总存在耗散，并且随于实际晶体，由于总存在耗散，并且随温度升高温度升高，其耗散变大其耗散变大，所以一般不会出现百分之百的反射，所以一般不会出现百分之百的反射率。率。(2)当当 ,而而 则意味着晶体内部则意味着晶体内部出现自发极化出现自发极化.把趋于零的把趋于零的 称为光学软模称为光学软模.由由LST关系发展出来的自发极化理论关系发展出来的自发极化理论,现在叫做现在叫做“铁电的软模理论铁电的软模理论”.由于长光学波是极化波由于长光学波是极化波,所以长光学波声子称所以长光学波声子称为为极化声子极化声子.此外此外,只有长光学纵波才伴随着一个只有长光学纵波才伴随着一个宏观的极化电场宏观的极
17、化电场,因此因此极化声子主要是指极化声子主要是指纵光学纵光学声子声子.综上我们还可以看出综上我们还可以看出,长光学横波并不伴随着长光学横波并不伴随着宏观的、无旋的极化电场宏观的、无旋的极化电场.我们知道我们知道,有旋场是无散的有旋场是无散的,亦即亦即,这种场也这种场也满足满足 所以长光学横波可能伴随着一个有旋的宏观电所以长光学横波可能伴随着一个有旋的宏观电场场.这个场不会引起静电极化这个场不会引起静电极化,但会引起有旋的磁但会引起有旋的磁场场.这样这样,按照麦克斯韦方程按照麦克斯韦方程,有旋的电场感生出有旋的电场感生出有旋的磁场有旋的磁场,而有旋的磁场又会感生出有旋的电而有旋的磁场又会感生出有旋的电场场.现在已发现长光学横波确实具有电磁性现在已发现长光学横波确实具有电磁性,因而因而长长光学横波声子是电磁声子光学横波声子是电磁声子.长光学横波具有电磁长光学横波具有电磁性性,因而可以和光场发生耦合因而可以和光场发生耦合,耦合场的量子叫做耦合场的量子叫做声光子声光子(phonon-polariton)谢谢大家！