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1、6.1 形态学算子形态学算子单调和对比不变的图像变换单调和对比不变的图像变换6.1.1 定义定义前面学过连续模型下图像空间的定义，是一族由前面学过连续模型下图像空间的定义，是一族由R2R的特殊函数组成的函数空间，并记为的特殊函数组成的函数空间，并记为F F 。图像。图像变换变换T是作用在是作用在F F 上的一个算子，即上的一个算子，即T将一副图像将一副图像u变变换为另一幅图像换为另一幅图像Tu。图像水平集之间的变换，是对于图像水平集之间的变换，是对于F F 中所有函数，中所有函数，Y Y表表示在示在F F 所拥有的所有水平集，即所拥有的所有水平集，即 Y Y=c clu;uF F ,l l00
2、,11 这是一个由这是一个由R2的子集组成的集合族。的子集组成的集合族。对于图像变换对于图像变换T，引进算子，引进算子T作用在作用在Y Y上，它将一个上，它将一个水平集水平集X转换为另一个水平集转换为另一个水平集TX，即，即 T:X Y Y TX Y Y定义定义1：称图像变换：称图像变换T是单调递增的，如果对于任意两是单调递增的，如果对于任意两两幅图像两幅图像u,vF F u v Tu Tv集合算子集合算子T是单调递增的，如果对于任意是单调递增的，如果对于任意X,YY Y X Y T(X)T(Y)定义定义2：图像变换：图像变换T是对比不变的，如果对每一个是对比不变的，如果对每一个连续对比变换连
3、续对比变换g，对任意的，对任意的uF F，都满足，都满足g(u)F F 和和 g(Tu)=T(g(u)同时满足同时满足单调性和对比不变单调性和对比不变的图像变换被称为的图像变换被称为形形态学算子态学算子。可以证明：线性算子是单调的，但不是对比不变可以证明：线性算子是单调的，但不是对比不变的。的。例例1：最大值滤波是对比不变的。最大值滤波定义：最大值滤波是对比不变的。最大值滤波定义：其中其中B是包含原点的闭集，是包含原点的闭集，x+B=x+z;zB。假设。假设 ，由于，由于x+B为闭集，为闭集，zx+B，满，满足足u(z)=a，而，而 u(y)u(z),yx+B又因为对比变换又因为对比变换g是单
4、调递增的，所以是单调递增的，所以 g(u(y)g(u(z)=g(a)yx+B即，对图像即，对图像g(u)满足对比不变定义满足对比不变定义 D(gu(x)=g(a)=g(Du(x)对比不变的图像变换有一特殊性质，即变换的结果使对比不变的图像变换有一特殊性质，即变换的结果使图像保留了原图像的部分灰度。一副二值图像在经过图像保留了原图像的部分灰度。一副二值图像在经过对比不变图像变换后还是一副二值图像。但线性滤波对比不变图像变换后还是一副二值图像。但线性滤波器都不具备这一特性。器都不具备这一特性。下面定理说明了这一性质，记下面定理说明了这一性质，记R(u)为图像为图像u的值域，的值域，即即 R(u)=
5、s0,1,x,u(x)=s 其中其中 Ru是包含是包含R(u)的最小闭集。的最小闭集。定理定理1：T是一对比不变的图像变换。那么对每一副是一对比不变的图像变换。那么对每一副图像图像u，R(Tu)Ru，特别的，如果图像，特别的，如果图像u只有有限只有有限个灰度值，则个灰度值，则Tu只取其中的部分灰度值。只取其中的部分灰度值。证明证明：考虑一连续单调递增函数：考虑一连续单调递增函数g，满足，满足g(s)=s，当，当 s Ru时。否则，时。否则，g(s)s。定义：。定义：g(s)=s+d(s,Ru)2其中其中d(s,X)表示表示s到到X距离距离 。当且仅当。当且仅当 s Ru时，有时，有 d(s,R
6、u)=0因此，因此，当且仅当当且仅当s Ru时，时，g(s)=s，所以，所以 g(u)=u。因为因为T是对比不变的，所以是对比不变的，所以 Tu=T(g(u)=g(Tu)因此因此 (Tu)(x)Ru 。定义定义3：一个图像变换：一个图像变换T是是灰度平移不变灰度平移不变的，如果对任的，如果对任意的常数意的常数C，有，有 T(u+C)=Tu+C如果图像变换如果图像变换T同时具有灰度平移不变性和对比不变同时具有灰度平移不变性和对比不变性，就得到下面的结论。性，就得到下面的结论。定理定理2：T是一个单调灰度平移不变算子，如果是一个单调灰度平移不变算子，如果u(x)是是R2上的上的Lipschitz函
7、数，那么函数，那么Tu(x)也是也是Lipschitz函函数，并且数，并且Tu(x)的的Lipschitz常数比常数比u(x)的的Lipschitz常常数小。数小。Lipschitz常数常数定义定义：如果函数：如果函数u满足满足|u(x)u(y)|k|x-y|,x,y则则u为为Lipschitz函数，函数，k为为u的的Lipschitz常数。常数。证明证明：假设假设u的的Lipschitz常数为常数为K。对任意的。对任意的x,y,z有有|u(x+z)-u(y+z)|K|x-y|u(y+z)-K|x-y|u(x+z)u(y+z)+K|x-y|因为因为T单调，考虑上面关于单调，考虑上面关于z的函数
8、，有的函数，有 T(u(y+z)-K|x-y|)Tu(x+z)T(u(y+z)+K|x-y|)注意到取注意到取 z=0,有有 T(u(y+z)=(Tu)(y)，用用T的灰度平移不变性（将的灰度平移不变性（将K|x-y|看做看做C）得）得 Tu(y)-K|x-y|Tu(x)Tu(y)+K|x-y|。|Tu(x)-Tu(y)|K|x-y|6.1.2 从形态学算子到集合算子从形态学算子到集合算子记集合记集合X W W上的特征函数为上的特征函数为1x，即，即1x也被认为是一个图像函数，即也被认为是一个图像函数，即1xF F 。借助特征函数，可从单调、对比不变的图像变换（形借助特征函数，可从单调、对比不
9、变的图像变换（形态学算子）态学算子）T衍生出一个集合变换衍生出一个集合变换T。定义定义4：令：令T是一个单调、对比不变的图像变换，定义是一个单调、对比不变的图像变换，定义T的伴随集合算子的伴随集合算子T为为 X W W,1X F F T(X)=c c1 1(T(1X)另外另外 T T(F)(F)=F,F,T(W)(W)=W W如果如果T作为函数是单调的，那么作为函数是单调的，那么T作为集合变换也是作为集合变换也是单调的。因为单调的。因为 X Y 1X 1YT作为单调的图像变换，使单调性得以保持作为单调的图像变换，使单调性得以保持 T(1X)T(1Y)定理定理3：T是一个对比不变的单调算子。阈值
10、函数是一个对比不变的单调算子。阈值函数g gl(s)定义为定义为,如果如果sl l，则，则 g gl(s)=1；否则；否则g gl(s)=0。那么。那么T几乎处处和每一个阈值函数相交换，即几乎处处和每一个阈值函数相交换，即 g gl(Tu)=T(g gl(u)对对l l,x几乎处处成立。几乎处处成立。证明证明：定义：定义则则 g gel(s)是对比变换（连续、单调递增的），且是对比变换（连续、单调递增的），且g gel(s)g gl，于是，于是同样的方法，用不减函数同样的方法，用不减函数 g g el g gl，可证明，可证明 T(g gl(u)g g-l(Tu)其中，其中，g g-l(s)=
11、1，当，当s l l 时；时；g g-l(s)=0，当，当 sl l时。时。因此，有因此，有 g gl(Tu)T(g gl(u)g g-l(Tu)我们考虑可数因而可忽略的子集我们考虑可数因而可忽略的子集R，所有的，所有的l l 满足满足 meas(x,Tu(x)=l l )0 对于对于l l R，有，有 g g-l(T Tu)=g gl(Tu)几乎处处成立。这几乎处处成立。这样对几乎每一个样对几乎每一个l l，会得到，会得到 T(g gl(u)=g gl(Tu)几乎处处成立。几乎处处成立。定理定理4：T是定义在图像函数集合是定义在图像函数集合F F 上的单调对比不上的单调对比不变算子，变算子，
12、1xF F。T的伴随集合算子为的伴随集合算子为T，则，则T是单是单调的，并且调的，并且 uF F 有有 T(c clu)=c cl(T(u)*对对l,cl,c几乎处处成立。并且几乎处处成立。并且 Tu(x)=sup l l,xT(c clu)*对对x几乎处处成立。另外，几乎处处成立。另外，T(F)(F)=F F,T(W W)=W W几乎处处成立。几乎处处成立。*式说明图像变换后的水平集是原图像水平集（并且是式说明图像变换后的水平集是原图像水平集（并且是同一个同一个 l l）在伴随集合算子作用下的结果。）在伴随集合算子作用下的结果。T(F F)=F F 说明当说明当l l=1时，时，*式成立；式
13、成立；T(W W)=W W 说明当说明当l l=0时，时，*式成立。式成立。这里涉及到水平集和最大值表示公式：这里涉及到水平集和最大值表示公式：c cl(u)=xW W;u(x)l l u(x)=sup l;l;x c cl(u)证明证明：根据：根据T的定义，显然有的定义，显然有 1clu =g gl(u)c c1(g gl(v)=c clv并且并且T和和g gl几乎处处可交换。由定理几乎处处可交换。由定理3，得到：，得到：T(c clu)=c c1(T(1clu )=c c1(T(g gl(u)=c c1(g gl(Tu)=c cl(Tu)对于对于x,l l 0 几乎处处成立。几乎处处成立。
14、由由 T(c clu)=c cl(Tu)知知 T(c clu)是是Tu的水平集。的水平集。那么显然那么显然*式式成立。成立。令令u是一个常函数是一个常函数0，对于，对于l l 0，有，有c clu=F F。利用利用*式，有式，有 c cl(Tu)=T(c clu)=T(F F)对对 l l 0几乎处处成立。几乎处处成立。而且，由于对比不变算子而且，由于对比不变算子T和常函数和常函数0相交换，因此相交换，因此Tu=0，并且对，并且对 l l 0，c cl(Tu)=F F，则有，则有T(F F)=F F几乎处处成立。几乎处处成立。同理可证同理可证 T(W W)=W W。定理说明定理说明：如果图像变
15、换：如果图像变换T是单调且对比不变的，那是单调且对比不变的，那么计算么计算Tu可以通过一下算法实现：可以通过一下算法实现：（1）计算）计算u的所有水平集的所有水平集 c cl(u)(l l0,1)；（2）对每一个水平集）对每一个水平集 c cl(u)，用，用T的伴随集合算子的伴随集合算子T作用，得到作用，得到 T(c cl(u)；（3）用最大值表示公式得到）用最大值表示公式得到Tu,整个过程如下。整个过程如下。这种算法适用于这种算法适用于T难以实现，而难以实现，而T容易计算的情况。容易计算的情况。6.1.3 从集合算子到形态学算子从集合算子到形态学算子考虑，给定一个单调的集合算子考虑，给定一个
16、单调的集合算子T 是否可以得到一个对是否可以得到一个对比不变的单调图像变换呢？比不变的单调图像变换呢？自然的思路就是令自然的思路就是令 Tu(x)=sup l l,xT(c clu)定理定理5：令：令T是一个是一个Y Y Y Y单调算子，满足单调算子，满足 T(F F)=F F,T(W W)=W W那么，可以定义图像变换那么，可以定义图像变换 Tu(x)=sup l l,xT(c clu)对于所有的对于所有的l l，满足，满足 c cl(Tu)=T(c cl(u)则对几乎所有的则对几乎所有的 l l R g(Tu)=T(g(u)证明证明：对每一个：对每一个l l，我们有，我们有 c cl(Tu
17、)=T(c cl(u)即对即对R中的所有中的所有l l满足满足meas(R)=0。注意到注意到uv当且仅当当且仅当 c clu c clv，对，对R的一个稠密可数子的一个稠密可数子集合上的所有集合上的所有l l，可得，可得T是单调的是单调的 c cl(Tu)=T(c cl(u)T(c cl(v)=c cl(Tv)Tu Tv 下面证明，下面证明，T和对比变换相交换。和对比变换相交换。假设假设g是是严格增加严格增加的，设的，设 和和 ，对于，对于 l l g(+)有有c clg(u)=F F，因此，因此，T(c clg(u)=F F；对于；对于 l lg(-)有有 c clg(u)=RN，因此，因
18、此 T(c clg(u)=RN。T(g(u(x)=sup l l,g(-)l lg(-),x T(c clg(u)=sup g(m m),x T(c cgg(u)=sup g(m m),x T(c cmu)=g(Tu(x)下面验证下面验证T和一般的不减对比变换和一般的不减对比变换g相交换。相交换。严格增加连续函数严格增加连续函数gn和和hn满足满足 gn(s)g(s)，hn(s)g(s)对所有的对所有的s和和gnghn。因此由上面结论有。因此由上面结论有 T(g(u)T(gn(u)=gn(Tu)g(Tu)T(g(u)T(hn(u)=hn(Tu)g(Tu)可以推出可以推出 T(g(u)=g(Tu
19、)。6.1.4 应用实例：应用实例：“Extrema Killer”算子算子“Extrema Killer”算子是一个图像光滑算法，作用是去算子是一个图像光滑算法，作用是去除图像中的除图像中的“峰（峰（peak）”孤立的水平集，尤其孤立的水平集，尤其对椒盐噪声效果显著。算法如下：对椒盐噪声效果显著。算法如下：（1）假设一个集合）假设一个集合X有若干连通区域组成有若干连通区域组成定义一个集合变换定义一个集合变换 T b(X)=Xb，而，而（2）Extrema Killer图像变换定义为图像变换定义为 Tbu(x)=sup l l,xTb(c clu)*式定义了集合算子是式定义了集合算子是Extr
20、ema Killer变换的伴随集变换的伴随集合算子，即合算子，即 c cl(Tbu)=T b(c clu)噪声图像噪声图像 killerkiller算子作用后图像算子作用后图像 （改进的（改进的Extrema KillerExtrema Killer）6.2 平移不变的形态学算子平移不变的形态学算子主要描述平移不变的形态学算子以及它的伴随集合算主要描述平移不变的形态学算子以及它的伴随集合算子，也就是平移不变的单调集合算子。子，也就是平移不变的单调集合算子。记记平移平移为为t tx，且满足，且满足（1）对于集合）对于集合X：t txX=x+X=x+y|yX（2）对于图像）对于图像u：(t tx)
21、u(y)=u(y-x)其中其中x不是一个二维的点，而是表示一个二维向量。不是一个二维的点，而是表示一个二维向量。定义定义5：集合算子：集合算子T是是平移不变平移不变的，如果的，如果 t tx(T(X)=T(t txX)定义图像变换是平移不变的，如果定义图像变换是平移不变的，如果 t tx(T(u)=T(t txu)定理定理6：（：（Matheron）令）令T是平移不变的单调集合算子，是平移不变的单调集合算子，那么存在一个集合族那么存在一个集合族BB B B =X,0 T(X)其中其中0是是R2中的原点，中的原点，T满足满足其中其中X-y=X+(-y)。相反。相反*式也定义了一个单调、平移式也定
22、义了一个单调、平移不变的集合算子。不变的集合算子。证明证明：先看：先看*式等价于式等价于利用单调性和平移不变性，得下面的等价关系利用单调性和平移不变性，得下面的等价关系第五个等价性质成立理由是：第五个等价性质成立理由是：如果如果 B X，并且，并且BBB那么那么XBB ，因为，因为BBB ，即，即 B,0T(B)又因为又因为B X，则有，则有 X,0T(X)XBB就有就有 。相反的，如果算子通过相反的，如果算子通过*式定义，显然是单调和对式定义，显然是单调和对比不变的。比不变的。定理定理7 7：F F 是图像函数空间，是图像函数空间，Y Y是是 F F 中所有水平集中所有水平集的集合。假设对比
23、不变下是稳定的，并且包含了的集合。假设对比不变下是稳定的，并且包含了T中中所有元素的特征函数。令所有元素的特征函数。令T是是T的伴随集合算子。如的伴随集合算子。如果果 xR2，集合族，集合族B B x=X,xT(X)那么那么 uF F 有：有：对对x几乎处处成立。其中几乎处处成立。其中B B =B B 0 X,0T(X)另外，如果另外，如果T是位移不变算子，则是位移不变算子，则相反的，如果一个算子通过以上的公式定义，则该相反的，如果一个算子通过以上的公式定义，则该算子是单调和对比不变的。算子是单调和对比不变的。证明证明：令：令 其中其中B B x=X,xT(X)x以下证明以下证明 Tu(x)=
24、Tu(x)几乎处处相等。几乎处处相等。选择一个可数的稠密选择一个可数的稠密y y0,1，满足，满足 l ly y,c clTu(x)=T(c clu)(x)对对xRNNl成立。（对比下稳定成立。（对比下稳定定理定理4）这里这里Nl的的Lebesge测度为测度为0。设。设N=Nl，则，则N的的Lebesge测度也为测度也为0。为证明定理，先证明对所有的为证明定理，先证明对所有的l ly y和所有的和所有的 xRNNl，有，有：（即处处相等了）：（即处处相等了）Tu(x)l l Tu(x)l l 对任意对任意 l,ml,my y，我们有：，我们有：第五个等价关系：因为如果第五个等价关系：因为如果B
25、BB 并且并且BB B x则则 XB B x。B,0T(B)、B,xT(B)因为因为B X则有则有 X,0T(X)、X,xT(X)=BB x那么，如果某些那么，如果某些BBB x,那么一定有那么一定有B c cmu ，就也有，就也有 c cmuBB x，于是证明了提出的命题。于是证明了提出的命题。布尔代数（布尔代数（Boolean Algebra）中有个著名的结论：）中有个著名的结论：如果如果T是一个是一个sup inf形式的算子，那么形式的算子，那么T也具有也具有inf sup的形式，即的形式，即此时的此时的BB 与与sup inf形式中的形式中的BB 是不同的。是不同的。定理定理8 8：如
26、果：如果T是平移不变的形态学算子，那么它的是平移不变的形态学算子，那么它的伴随算子集合伴随算子集合T可以通过一下公式来定义，可以通过一下公式来定义，证明证明：T满足定理满足定理7，并且可以延拓到，并且可以延拓到F F 中函数的所中函数的所有水平集。很容易由定理有水平集。很容易由定理7推出定理推出定理6的结果。的结果。对于对于X的特征函数的特征函数1x，则，则 ,当当x+B X ,当当x+B X于是，于是，当且仅当当且仅当 BBB 满足满足 x+B X和定理和定理6。6.3 形态学算子：膨胀和腐蚀算子形态学算子：膨胀和腐蚀算子6.3.1 定义定义定义定义6：X是是R2中一子集，中一子集，t0是一
27、尺度参数。称是一尺度参数。称Dt是是基于一个集合基于一个集合B和尺度参数和尺度参数t的的膨胀膨胀，如果，如果其中集合其中集合B称为称为结构元素结构元素。同样，。同样，Et表示结构元素表示结构元素B的的尺度参数尺度参数t的的腐蚀腐蚀公式说明公式说明Dt和和Et是平移不变的单调集合算子，满足定是平移不变的单调集合算子，满足定理理6，此时，此时B B 中只含有一个元素中只含有一个元素tB。例例2：（1）如果结构元素）如果结构元素B=x0是仅仅包含一个点的集合，是仅仅包含一个点的集合，那么那么DtX=X+tx0是一个平移算子。相应的，是一个平移算子。相应的，EtX=X-tx0也是一个平移算子。也是一个
28、平移算子。（2）如果结构元素）如果结构元素B是一个圆心在原点半径为是一个圆心在原点半径为1的开球的开球D(0,1)，那么，那么DtX就是就是X的的t-领域，即与领域，即与X的距离小于的距离小于t的所有点的集合。的所有点的集合。(3)令令B=D(0,1)，则，则定理定理9：（1）Dt(Xc)=(EtX)c其中其中Xc=R2/X；（2）如果结构元素为）如果结构元素为D(0,1)，那么，那么Dt，Et是旋转不变是旋转不变的，即它们和旋转运算可以交换；的，即它们和旋转运算可以交换；（3）Ds+t=DsDt（Es+t=EsEt），当且仅当结构元素），当且仅当结构元素B是凸的。是凸的。证明证明：（：（1）
29、（3）首先证明）首先证明 任取任取B,(t+s)B=tB+sB当且仅当当且仅当B是凸是凸的。的。因为因为tB+sB=sx+ty|x,yB，所以，所以 ztB+sB,x,yB，满足，满足而而(s+t)x和和(s+t)y都属于都属于(s+t)B，又因为，又因为B是凸的，所以是凸的，所以(t+s)B=tB+sB。反过来，如果。反过来，如果(t+s)B=tB+sB成立，那成立，那么对于任意的么对于任意的x,yB,存在存在zB，满足，满足(s+t)z=sx+ty，也就是，也就是所以所以B是凸的。是凸的。注意到注意到 DtDsX=(X+sB)+tB=X+sB+tB Ds+tX=X+(s+t)B根据上面的结
30、论，根据上面的结论，Ds+t=DsDt成立当且仅当它们的结成立当且仅当它们的结构元素构元素B是凸的。是凸的。同样的结论也适用于腐蚀算子。同样的结论也适用于腐蚀算子。定义定义7：u是一副图像，称是一副图像，称Dt是基于结构元素是基于结构元素B和尺度和尺度参数参数t的膨胀变换，如果的膨胀变换，如果类似，基于结构元素类似，基于结构元素B和尺度参数和尺度参数t的腐蚀算子的腐蚀算子Et被定被定义为义为上面的定义说明上面的定义说明Dtu(x)具有具有inf sup的形式，即的形式，即而而B B 只含有只含有tB一个元素，所以一个元素，所以Dt是一个平移不变的形是一个平移不变的形态学算子，态学算子，Et亦然
31、。亦然。定理定理10：对于图像的膨胀和腐蚀算子，如果：对于图像的膨胀和腐蚀算子，如果B是关于是关于0对称的，那么对称的，那么 -Et(-u)=Dt(u)证明证明：第三个等号是由于第三个等号是由于B的对称性。的对称性。原图原图 对黑色的膨胀（对背景色的腐蚀）对黑色的膨胀（对背景色的腐蚀）结构元素是圆盘结构元素是圆盘 I=imread(star.bmp);subplot(1,2,1),imshow(I);J=I;w,h=size(I);r=10;for i=r+1:w-r for j=r+1:h-r min=256;for x=-r:r for y=-r:r if sqrt(x*x+y*y)r&I
32、(i+x,j+y)min min=I(i+x,j+y);end end end J(i,j)=min;endendsubplot(1,2,2),imshow(J);I=imread(star.bmp);subplot(1,2,1),imshow(I);J=I;w,h=size(I);r=10;for i=r+1:w-r for j=r+1:h-r max=0;for x=-r:r for y=-r:r if sqrt(x*x+y*y)max max=I(i+x,j+y);end end end J(i,j)=max;endendsubplot(1,2,2),imshow(J);原图原图膨胀膨胀
33、腐蚀腐蚀I=imread(girl.bmp);subplot(1,3,1),imshow(I);se=strel(disk,4);D=imdilate(I,se);subplot(1,3,2),imshow(D);E=imerode(I,se);subplot(1,3,3),imshow(E);从前面膨胀和腐蚀的结果图像可以看出，单独的膨从前面膨胀和腐蚀的结果图像可以看出，单独的膨胀和腐蚀都不可能成为一个好的滤波器，因为膨胀胀和腐蚀都不可能成为一个好的滤波器，因为膨胀是图像变亮，从而增加了许多白色区域（腐蚀增加是图像变亮，从而增加了许多白色区域（腐蚀增加了黑色区域）。但经过一些组合可以产生很好
34、的滤了黑色区域）。但经过一些组合可以产生很好的滤波效果。波效果。开运算开运算：先对图像进行：先对图像进行腐蚀腐蚀然后再然后再膨胀膨胀；闭运算闭运算：先对图像进行：先对图像进行膨胀膨胀然后再然后再腐蚀腐蚀。例如：例如：T =Dt。Et。Et。Dt T=Et。Dt。Dt。Et原图原图 腐蚀腐蚀 膨胀、腐蚀膨胀、腐蚀膨胀、膨胀、腐蚀膨胀、膨胀、腐蚀 腐蚀、膨胀、膨胀、腐蚀腐蚀、膨胀、膨胀、腐蚀原图原图膨胀膨胀 腐蚀、膨胀腐蚀、膨胀腐蚀、腐蚀、膨胀腐蚀、腐蚀、膨胀 膨胀、腐蚀、腐蚀、膨胀膨胀、腐蚀、腐蚀、膨胀集合的膨胀和腐蚀算子与图像的膨胀和腐蚀变换存集合的膨胀和腐蚀算子与图像的膨胀和腐蚀变换存在以下
35、关系：在以下关系：（1）令图像膨胀变换的结构元素为）令图像膨胀变换的结构元素为-tb，bB，（2）令集合膨胀算子的结构元素为）令集合膨胀算子的结构元素为B，由于此时由于此时 Dt(c clu)=c cl(Dtu)所以，上述的集合膨胀算子是图像膨胀变换的伴随所以，上述的集合膨胀算子是图像膨胀变换的伴随集合算子。集合算子。所以有：所以有：Dt(c clu)=c cl(Dtu)6.3.2 偏微分方程和膨胀（腐蚀）算子偏微分方程和膨胀（腐蚀）算子 记记 其中其中 表示内积，当表示内积，当B=D(0,1)时，时，|B就是就是Euchlid范数。范数。定定理理11：（Lax formula）如如果果u(t
36、,x)=Dtu0(x)，并并且且结构元素结构元素B是凸的，那么是凸的，那么u(t,x)满足满足 ut=|Du|-B其其中中u对对x两两次次可可微微。对对应应的的，如如果果u(t,x)=Etu0(x)，那那么么u(t,x)满足满足 ut=-|Du|-B其中其中u对对x两次可微。两次可微。证明证明：先看在：先看在t=0时的性质。假设时的性质。假设u0在在x处是处是C2的，已知的，已知 u(t,x)=Dtu0(x)，u(0,x)=u0(x)所以所以既然既然u0在在x处是可微的，那么处是可微的，那么两边同除以两边同除以h，并令，并令h0，得到，得到（t=0时成立）时成立）下证对于任意尺度下证对于任意尺
37、度t时具有同样的关系：时具有同样的关系：由于由于B是凸的，因此是凸的，因此Dt+h=DtDh=DhDt，所以，所以 u(t+h,x)-u(t,x)=Dh(u(t)(x)-u(t)(x)两边同除以两边同除以h，并令，并令h0，由上面的结果且用，由上面的结果且用u(t)代替代替u0，就得到一般的结果。，就得到一般的结果。6.3.3 膨胀和腐蚀算子的离散算法膨胀和腐蚀算子的离散算法膨胀与腐蚀算子具有类似的性质，下面只给出膨胀算膨胀与腐蚀算子具有类似的性质，下面只给出膨胀算子的伪代码。子的伪代码。已知图像已知图像u的分辨率为的分辨率为mn，ui,j（i=1,m,j=1n）表示在表示在i,j处的灰度值，
38、取结构元素为处的灰度值，取结构元素为B，t为参数，为参数，Vi,j表示运算的结果：表示运算的结果：Dilation(u,B,t)Dilation(u,B,t)FOR x0=1 to mFOR x0=1 to m FOR y0=1 to n FOR y0=1 to n FOREACH(tB FOREACH(tB中的像素点中的像素点p)p)得到得到p p的坐标的坐标(px,py)(px,py)将将ux0+px,y0+pyux0+px,y0+py的灰度值存入数组的灰度值存入数组arrayarray中中 求求arrayarray中的最大值中的最大值max_arraymax_array 令令Vx0,y0
39、=max_arrayVx0,y0=max_array END FOREACH END FOREACH END ENDENDEND6.4 形态学算子：中值算子形态学算子：中值算子6.4.1 定义定义首先假设图像首先假设图像u的所有水平集都是的所有水平集都是Lebesgue可测的。权可测的。权函数函数k(y)满足满足集合集合B的的k-测度为测度为定义定义8：令：令X是是R2的一个可测子集，的一个可测子集，k是权函数。称是权函数。称X的的中值集中值集（k加权）并用加权）并用medkX来表为来表为 medkX=x,|X-x|k1/2 定理定理12：算子：算子 medk:Y YY Y是单调的算子并且满足
40、集合是单调的算子并且满足集合连续性质，即，如果连续性质，即，如果(Xl)lR是一个递减的可测集合，是一个递减的可测集合，并且满足并且满足 Xl=mlXm,l lR那么那么 medk(Xl)=mlmedk(Xm)证明证明：由：由medk的定义知其是单调的，的定义知其是单调的，X Y X-x Y-x 所以所以 medk(Xl)mlmedk(Xm)反过来，令反过来，令 x mlmedk(Xm)由由medk的定义可得的定义可得 m m,|Xm -x|k 1212因为因为Xm是一个单调减的集合序列，同时具有有限的测是一个单调减的集合序列，同时具有有限的测度，根据实变函数中的度，根据实变函数中的Lebes
41、gue极限收敛定理极限收敛定理|Xm -x|k|Xl -x|k并且并且|Xl -x|k1/2，再由，再由medk的定义，有的定义，有xmedkXl即即 medk(Xl)ml medk(Xm)其中其中 可测，且可测，且其中其中 可测，且可测，且则有则有若若定义定义9：图像的加权中值滤波器基于一个结构元素：图像的加权中值滤波器基于一个结构元素B，其，其定义为定义为显然，显然，medk(u)是个是个sup inf型的，是一个平移不变的形型的，是一个平移不变的形态学算子。态学算子。如果在记号上不区分图像中值滤波器和集合中值算子，如果在记号上不区分图像中值滤波器和集合中值算子，都记为都记为medk。me
42、dk作为一个单调的集合算子，可以用作为一个单调的集合算子，可以用最大值表现公式扩展到一个图像的变换最大值表现公式扩展到一个图像的变换T（定理（定理4）Tu(x)=sup u(x)|xmedk(X)同时满足同时满足 c cl(Tu)=medk(c clu)由于由于medk作为一个单调、平移不变的集合算子，所以作为一个单调、平移不变的集合算子，所以T是一个单调的、对比不变的变换，根据定理是一个单调的、对比不变的变换，根据定理7其中其中B B =B,0medk(B)。所以有：。所以有：定理定理13：medk是图像加权中值滤波器的伴随集合算子。是图像加权中值滤波器的伴随集合算子。6.4.2 中值算子的
43、离散算法中值算子的离散算法已知图像已知图像u的分辨率为的分辨率为mn，ui,j（i=1,m,j=1n）表）表示在示在i,j处的灰度值，取结构元素为处的灰度值，取结构元素为B，t为参数，为参数，Vi,j表示运算的结果：表示运算的结果：Median(u,B,t)Median(u,B,t)NB=NB=结构元素结构元素B B的像素数目的像素数目FOR x0=1 to mFOR x0=1 to m FOR y0=1 to n FOR y0=1 to n FOREACH(B FOREACH(B中的像素点中的像素点p)p)得到得到p p的坐标的坐标(px,py)(px,py)将将ux0+px,y0+pyux
44、0+px,y0+py的灰度值存入数组的灰度值存入数组arrayarray中中 对对arrayarray进行排序，排在第（进行排序，排在第（NB/2+1NB/2+1）的值）的值med_arraymed_array 令令vx0,y0=med_arrayvx0,y0=med_array END FOREACH END FOREACH END ENDENDEND噪声图像及噪声图像及3232：3232：224224水平线水平线中值滤波后图像及中值滤波后图像及3232：3232：224224水平线水平线MatlabMatlab源码源码：Image=imread(lena.bmp);subplot(2,3,
45、1),imshow(Image);I=imnoise(Image,salt&pepper,0.05);subplot(2,3,2),imshow(I);L_s_I=Level_Set_Line(I,32,32,256);subplot(2,3,3),imshow(uint8(L_s_I);M=medfilt2(I,3,3);subplot(2,3,5),imshow(M);L_s=Level_Set_Line(M,32,32,256);subplot(2,3,6),imshow(uint8(L_s);6.5 欧氏不变的形态学算子欧氏不变的形态学算子6.5.1 定义和微分性质定义和微分性质 记记
46、 Ha=Tx1+ax22(0)其中其中Tx1+ax22表示表示T(u)，u=x1+ax22。如果。如果T是单调的，是单调的，那么那么H也是单调的。定义也是单调的。定义 Thx=hTx=hH0 Thx1+ax22(0)=hTx1+hax22(0)=hHah用用D(0,M)表示圆心在表示圆心在0，半径为，半径为M的圆。的圆。定理定理14：令：令B B 是一族是一族R2有界子集族（有界子集族（BBB，BD(0,M)）并且是各向同性的（）并且是各向同性的（BBB，RBD(0,M)，R是一个旋转变换是一个旋转变换）。令）。令和相关的带参数和相关的带参数h的变换的变换那么，对于任意那么，对于任意C2的函数
47、的函数u，有，有 (Thu)(x)=u(x)+hTx(0)|Du|(x)+O(h2)证明证明：由于：由于T(u-u(x)=Tu-u(x)，不失一般性，令，不失一般性，令u(x)=0。因为。因为T是平移不变和旋转不变的，选择图像支是平移不变和旋转不变的，选择图像支撑集撑集W W的左下角定位在的左下角定位在x，两个轴的方向，两个轴的方向(i,j)定义为定义为所以，对所以，对y=(y1,y2)，Talyor展开有展开有 u(y)=py1+O(|y|2)其中其中p=|Du|(0)0，这是因为，这是因为 ，u=x1+ax22。从。从而可以有，而可以有，如果如果y=(y1,y2)hD(0,M)，那么，那么
48、 py1 -O(h2)u(y)py1+O(h2)|y|2|(hM)2|O(|y2|)O(|h2|)M2 O(h2)根据根据Th的单调性，又因为的单调性，又因为 BBB,BD(0,M)，故故 Thu(0)=Thpy1(0)+O(h2)再由前面的定义再由前面的定义 Thu(0)=Thpy1(0)+O(h2)=ph(Ty(0)+O(h2)利用利用p=|Du(0)|，u(x)=0可得结论。可得结论。定理定理15：令：令BB 是一族是一族R2有界子集族有界子集族（BB B，BD(0,M)）并且是各向同性的（并且是各向同性的（BBB，RBD(0,M)，R是一个保距变换是一个保距变换）。令。令和相关的带参数
49、和相关的带参数t的变换的变换设设H(0)=Tx(0)=0，则对，则对R2上的每一个上的每一个C3函数函数u，有，有（i）对每一个紧集）对每一个紧集K x,Du(x)0 Thu(x)=u(x)+h|Du(x)|H(1/2hcurv(u)+Ox(h3)其中其中D(u)表示微分算子，表示微分算子，|Ox(h3)|Ckh3,常数常数Ck依赖于依赖于u和和K，且，且（ii）对每一个紧集）对每一个紧集 K R2且且 K x,Du(x)=0 有有|Thu(x)u(x)|M2 h2|D2u(x)|+Ox(h3)其中其中 Ox(h3)Ckh3,常数常数Ck依赖于依赖于u和和K。（i）结论，刻画各向同性的形态学算
50、子的微分性质，）结论，刻画各向同性的形态学算子的微分性质，和第五章定理和第五章定理1类似，对类似，对Th有下面的结论：有下面的结论：令令h0，n，并且，并且nh2=t，那么，那么是下面偏微分方程初值问题在是下面偏微分方程初值问题在t时刻的解时刻的解其中其中g是一个单调函数。是一个单调函数。6.5.2 中值滤波的微分性质中值滤波的微分性质定义定义9中的结构元素中的结构元素B=D(0,h)，k测度是测度是B上的平均测上的平均测度，即度，即 k=lD(o,h)p ph h2 2所以所以这里选择了特殊的结构元素这里选择了特殊的结构元素B，所以此时，所以此时med是个欧氏是个欧氏不变的形态学算子。下面讨